文档内容
专题 03 分式（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
a2 b2
1．计算 − 的结果是（ ）
a−b a−b
a+b
A．a−b B．a+b C． D．1
a−b
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算、同分母分式加减法
【分析】根据分式加减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，再根据平方差公式分解因
式，化简计算即可求解．
a2−b2 (a−b)(a+b)
【详解】解：原式= = =a+b，
a−b a−b
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简、分式的加减等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
2．下列等式成立的是（ ）
1
A．|﹣2|=2 B．（√2﹣1）0=0 C．（﹣ ）﹣1=2 D．﹣（﹣2）=﹣2
2
【答案】A
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【详解】根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，可得:
A、|﹣2|=2，计算正确，故本选项正确；
B、（√2﹣1）0=1，原式计算错误，故本选项错误；
1
C、（﹣ ）﹣1=﹣2，原式计算错误，故本选项错误；
2
D、﹣（﹣2）=2，原式计算错误，故本选项错误；
故选A．
点睛：此题主要考查了绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，灵活运用绝对值、零指数幂
及负整数指数幂的运算法则进行计算是解决此类题目的关键.
3．下列各式中，变形不正确的是（ ）
2 2 −a a 5n −5n 3x 3x
A． =− B． = C．− = D． =−
−3x 3x −4b 4b 2m −2m −4 y 4 y
【答案】C【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以-1 ，分式的值不变，即分式的符号、分母
的符号、分子的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变；只改变其中的一个或同时改变其中的
三个，分式的值变成原来的相反数．
【详解】解：A． 同时改变分式的分母及分式的符号，其值不变，故该选项正确；
B．同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，故该选项正确；
C．同时改变分式的分子、分母、分式的符号，其值变化，故该选项不正确；
D．同时改变分式的分母及分式的符号，其值不变，故该选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，分式的符号变
化规律需要熟记．
4．在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m 克，铜丝重m 克，铁丝、
1 2
铜丝的截面半径分别为rcm和r cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度
1 2
为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是( )
m m
1 2
A．铁丝为 cm 铜丝为 cm
7.8πr 2 8.9πr 2
1 2
m m
1 2
B．铁丝为 cm 铜丝为 cm
r 2 πr 2
1 2
m m
1 2
C．铁丝为 cm 铜丝为 cm
r 2 r 2
1 2
m m
D．铁丝为
1
cm 铜丝为
2
cm
r r
1 2
【答案】A
【知识点】分式的值
【分析】首先根据m=ρV求出每cm铁丝和铜丝的质量，然后利用总质量除以单位质量得出答案．
m m
1 2
【详解】根据题意可得：铁丝为 cm，铜丝为 cm， 故选A．
7.8πr 2 8.9πr 2
1 2
【点睛】本题主要考查的是列代数式，本题还综合了科学中的部分知识点，难度中等．解决这个问
题的关键要理解单位单位质量的求法．
x
5．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则
−y2
的值为（ ）
y1 3
A．0 B． C．1 D．
2 2
【答案】D
【知识点】分式化简求值
3
【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣ 的值，从而可以求得所
y
求式子的值．
【详解】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，
1 3
∴x＝y+3，y2+ ﹣ ＝0，
2 y
3 1
∴y2﹣ ＝﹣
y 2
x
∴ ﹣y2
y
y+3
＝
−y2
y
3
＝1+
−y2
y
1
＝1﹣（﹣ ）
2
1
＝1+
2
3
＝ ，
2
故选D．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
6．在：√4,−20,(−3) −1,|−5|中，结果为正数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方根概念理解、负整数指数幂
【分析】根据算术平方根，零次幂，负整数指数幂，绝对值的意义，分别计算各个式子的值即可判
断.
1
【详解】解：√4=2,−20=−1,(−3) ﹣1=− ,|−5|=5．则其中的正数是：√4，|−5|共两个．
3
故选B．
【点睛】考查算术平方根，零次幂，负整数指数幂，绝对值的意义，比较基础，难度不大.x−2
7．要使分式 有意义，则应满足（ ）
x+1
A．x≠−1 B．x≠2 C．x≠±1 D．x≠−1或x≠2
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
8．某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，0.000000823用科学记数法表示，结果为（ ）
A．82.3×10−6 B．8.23×10−7 C．8.23×10−6 D．0.823×107
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可．
【详解】解：0.000000823=8.23×10−7．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为小数
点向右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 ．
√a2−1+√1−a2
9．若a，b为两个有理数，且b＝ +4，则a＋b的值为（ ）
a+1
A．±6 B．3 C．3或5 D．5
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】首先根据题意，列出不等式组，即可解得a=1，b=4，即可得解.
【详解】根据题意，得
¿
解得a=1
∴b=4
∴a+b=5
故答案为D.
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题.
1 −1
10．(− ) 的值是（ ）
21 1
A．− B．2 C．-2 D．
2 2
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【分析】根据负整指数幂的运算法则计算即可．
1 −1
【详解】(− ) =(−2) 1=−2，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了负指数幂的运算，熟练掌握负指数幂的运算法则是本题的关键．
11．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，
于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出
√5−1 √5−1 √5+1 1 1
来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．设a= ,b= ，记S = + ，
2 2 2 1 1+a 1+b
1 1 1 1 1 1
S = + ，S = + ⋯，S = + ，则S +S +S +⋯+S 的值为
2 1+a2 1+b2 3 1+a3 1+b3 100 1+a100 1+b100 1 2 3 100
（ ）
A．100√5 B．200√2 C．100 D．505
【答案】C
【知识点】黄金分割、二次根式的混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及
运算规律是解题的关键．先计算S ，S ，S 的值，找出规律，然后求解即可．
1 2 3
√5−1 √5+1
【详解】解：∵a= ，b= ，
2 2
∴ab=1，
1 1
∵S = +
1 1+a 1+b
1+b+1+a
=
(1+a)(1+b)
2+a+b
=
1+a+b+ab
2+a+b
=
2+a+b
=1，
1 1
S = +
2 1+a2 1+b21+b2+1+a2
=
(1+a2 )(1+b2
)
2+a2+b2
=
1+a2+b2+a2b2
2+a2+b2
=
1+a2+b2+1
2+a2+b2
=
2+a2+b2
=1，
1 1
S = +
3 1+a3 1+b3
1+b3+1+a3
=
(1+a3 )(1+b3
)
2+a3+b3
=
1+a3+b3+a3b3
2+a3+b3
=
1+a3+b3+a3b3
2+a3+b3
=
1+a3+b3+1
2+a3+b3
=
2+a3+b3
=1，
……
1 1
S = +
n 1+an 1+bn
1+bn+an
=
(1+an )(1+bn
)
2+an+bn
=
1+an+bn+anbn2+an+bn
=
1+an+bn+1
2+an+bn
=
2+an+bn
=1，
∴S =1，
100
∴S +S +S +…+S
1 2 3 100
=1+1+……+1=100，
故选：C．
|x|−2
12．如果分式 =0则x为（ ）
x2−2x
A．2 B．-2 C．±2 D．0
【答案】B
【知识点】分式值为零的条件
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
|x|−2
【详解】解：∵ =0
x2−2x
∴|x|−2=0，x2−2x≠0
∴x=±2，x≠0，x≠2
∴x=−2
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0
是解题的关键．
√m+3
13．若式子 有意义，则实数的m的取值范围是（ ）
(m−2) 2
A．m≥−3且m≠2 B．m>−3且m≠2 C．m≥−2 D．m>−3
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
√m+3
【详解】解：∵式子 有意义，
(m−2) 2∴¿，
解得：m≥−3且m≠2，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于
零，二次根式的被开方数为非负数．
14．下列各数中是负数的是（ ）
A．|0| B．−32 C．﹣（﹣3） D．(−3) 2
【答案】B
【知识点】正负数的定义、绝对值的意义、求一个数的绝对值、整数指数幂的运算
【分析】先对各选项进行求绝对值、去括号和指数幂的运算，再根据负数的定义进行判断即可得到
答案.
【详解】A. |0|=0，不是负数，故错误；
B. −32=-9，是负数，故正确；
C. ﹣（﹣3）=3，是正数，故错误；
D. (−3) 2=9，是正数，故错误；
故选择B.
【点睛】本题考查负数的定义、求绝对值、去括号和指数幂的运算，解题的关键是掌握负数的定义、
求绝对值、去括号和指数幂的运算.
x- y
15．把分式 中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的5倍
B．不变
1
C．缩小到原来
5
D．扩大到原来的25倍
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
5x−5 y 5(x−y) x−y
【详解】由题意可得： = = ，
5x+5 y 5(x+ y) x+ y
x−y
∴当把分式 中的x、y的值都扩大到原来的5倍时，分式的值不变．
x+ y
故选B．二、填空题
√x−1
16．若代数式 >0，则x的取值范围是 ．
2−x
【答案】10，则x>y；若x−y=0，则x= y；若x−y<0，则xN．
证明：M−N=a2−ab−ab+b2=(a−b) 2，
因为a≠b，所以(a−b) 2>0，故M>N．
【新知理解】
（1）比较大小：2x−2______x2．（填“>”，“=”，“<”）
【问题解决】
（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a>0)，其面积分别为S ，S ，请比较S ，S 的
1 2 1 2
大小关系．
【拓展应用】
（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的
购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均
为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且m≠n），试分析小莹和小亮
谁的购货方式更合算？
【答案】（1）<（2）S 0，
∴x2>2x−2，即2x−20，
∴−2a−2<0，
∵S −S <0，即S 0，
2(m+n)
m+n 2mn
∴ > ，
2 m+n
∴小莹的购货方式更合算．
38．阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我
4 x+1
们称之为“真分式”，如： , ．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假
x−1 x2
x+1 x2+1
分式”，如： , ．假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：
x−1 x+1
x+1 (x−1)+2 2
= =1+ ．
x−1 x−1 x−1
解决问题：
（1）下列分式中属于真分式的是（ ）
x2 x−1 3 x2+1
A． B． C．− D．
x−1 x+1 2x−1 x2−1
3x+1 x2+1
（2）将假分式 、 分别化为带分式；
x−1 x+12x2+3x−6
（3）若假分式 的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值．
x+3
【答案】（1）C；
4 2
（2）3+ ，x−1+ ；
x−1 x+1
（3）x可能的整数值为0，-2，-4，-6.
【知识点】按要求构造分式、同分母分式加减法
【分析】（1）根据真分式的定义，即可选出正确答案；
（2）利用题中的方法把分子分别变形为3(x−1)+4和(x+1)(x−1)+2，然后写成带分式即可；
（3）先把分式化为带分式，然后利用有理数的整除性求解．
【详解】（1）A.分子的次数为2，分母的次数为1，所以错误；
B. 分子的次数为1，分母的次数为1，故错误；
C. 分子的次数为0，分母的次数为1，故正确；
D. 分子的次数为2，分母的次数为2，故错误；
所以选C；
3x+1 3(x−1)+4 4
（2） = =3+ ，
x−1 x−1 x−1
x2+1 x2−1+2 (x+1)(x−1)+2 2
= = =x−1+ ，
x+1 x+1 x+1 x+1
（3）
2x2+3x−6
x+3
2x2+3x−6
=
x+3
2x2−18+3x+9+3
=
x+3
2(x+3)(x−3)+3(x+3)+3
=
x+3
3
=2(x−3)+3+
x+3
3
=2x−3+
x+3
∵该分式的值为整数，
3
∴ 的值为整数，
x+3
所以x+3可取得整数值为±3，±1，
x可能的整数值为0，-2，-4，-6.
【点睛】本题主要考查分式的性质，要结合分式的基本性质依照题目中的案例，会对分式进行适当x2+1
的变形.（1）根据真分式的定义判断即可；（2） 可借助平方差公式，先给x2减1再加1，将它
x+1
3
凑成平方差公式x2-1=（x+1）（x-1）；（3）需将假分式等量变形成带分式，然后对 取整.
x+3
39．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数
量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起
售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上
再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
【答案】(1)该商品的单价为21元
(2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②26或28
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用、二元一次方程的解、分式加减乘
除混合运算
【分析】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进
的数量少10件列出方程求解即可；
（2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；
②先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为50件 二月份甲购进的商品数量为70件，设一月份售
出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出(120−m−n)件，再根据销售额=成本+利润
150−5m
列出方程推出n= ，再由m、n都是正整数，得到m<30，由2月份第一次按标价9折售出
2
一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到m≥25，进而得到25≤m<30且m是正整数，再由
150−5m
也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为26或28．
2
由题意得，30m+30×0.9n+(30×0.9−2)(120−m−n)=1050+1050+1050，
【详解】（1）解：设该商品的单价为x元，
1050 1260
由题意得， +10= ，
x x
解得x=21，
经检验，x=21是原方程的解，
∴该商品的单价为21元；1050 1050 1050+50a
（2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为 + = 件，
21 a a
1260 1260 1260+60a
乙两次一共购买的商品数量为 + = ，
21 a a
1050×2 42a
=
∴甲的平均单价为1050+50a a+21，
a
2520 42a
=
乙的平均单价为1260+60a a+21，
a
42a 42a
即 = ，
a+21 a+21
∴甲的平均单价等于乙的平均单价；
1050
②甲商品一月份一共购进的商品数量为 =50件
21
1050
当a=15时，则二月份甲购进的商品数量为 =70件，
15
设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出50+70−m−n=(120−m−n)件，
由题意得，30m+30×0.9n+(30×0.9−2)(120−m−n)=1050+1050+1050，
∴30m+27n+3000−25m−25n=3150，
∴5m+2n=150；
150−5m
∴n= ，
2
∵m、n都是正整数，
∴150−5m>0，
∴m<30，
∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，
m
∴n≤ ，
2
150−5m m
∴ ≤ ，
2 2
∴m≥25，
∴25≤m<30且m是正整数，
150−5m
又∵n= 也是正整数，
2
∴m必须是偶数，
∴m的值为26或28．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键．
40．如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，
m+m′
把m的百位和个位互换位置得到数m′．并规定F(m)= ，例如918，∵9=1+8且百位是9，
9
918+819
∴918是“尔畔数”，F(918)= =193．
9
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F(936)；
F(s)
（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F(s)+F(t)=570，并规定K= ，求K的最大值为多少？
F(t)
101
【答案】（1）946不是“尔畔数”； F(936)=175；（2）K的最大值为 ．
83
【知识点】分式加减乘除混合运算、新定义下的实数运算
【分析】（1）仿照样例进行计算便可；
（2）设s和t的个位数分别是x 、x ，且0
