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专题 03 分式（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
a2 b2
1．计算 − 的结果是（ ）
a−b a−b
a+b
A．a−b B．a+b C． D．1
a−b
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算、同分母分式加减法
【分析】根据分式加减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，再根据平方差公式分解因
式，化简计算即可求解．
a2−b2 (a−b)(a+b)
【详解】解：原式= = =a+b，
a−b a−b
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简、分式的加减等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
2．下列等式成立的是（ ）
1
A．|﹣2|=2 B．（√2﹣1）0=0 C．（﹣ ）﹣1=2 D．﹣（﹣2）=﹣2
2
【答案】A
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【详解】根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，可得:
A、|﹣2|=2，计算正确，故本选项正确；
B、（√2﹣1）0=1，原式计算错误，故本选项错误；
1
C、（﹣ ）﹣1=﹣2，原式计算错误，故本选项错误；
2
D、﹣（﹣2）=2，原式计算错误，故本选项错误；
故选A．
点睛：此题主要考查了绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，灵活运用绝对值、零指数幂
及负整数指数幂的运算法则进行计算是解决此类题目的关键.
3．下列各式中，变形不正确的是（ ）
2 2 −a a 5n −5n 3x 3x
A． =− B． = C．− = D． =−
−3x 3x −4b 4b 2m −2m −4 y 4 y
【答案】C【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以-1 ，分式的值不变，即分式的符号、分母
的符号、分子的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变；只改变其中的一个或同时改变其中的
三个，分式的值变成原来的相反数．
【详解】解：A． 同时改变分式的分母及分式的符号，其值不变，故该选项正确；
B．同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，故该选项正确；
C．同时改变分式的分子、分母、分式的符号，其值变化，故该选项不正确；
D．同时改变分式的分母及分式的符号，其值不变，故该选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，分式的符号变
化规律需要熟记．
4．在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m 克，铜丝重m 克，铁丝、
1 2
铜丝的截面半径分别为rcm和r cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度
1 2
为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是( )
m m
1 2
A．铁丝为 cm 铜丝为 cm
7.8πr 2 8.9πr 2
1 2
m m
1 2
B．铁丝为 cm 铜丝为 cm
r 2 πr 2
1 2
m m
1 2
C．铁丝为 cm 铜丝为 cm
r 2 r 2
1 2
m m
D．铁丝为
1
cm 铜丝为
2
cm
r r
1 2
【答案】A
【知识点】分式的值
【分析】首先根据m=ρV求出每cm铁丝和铜丝的质量，然后利用总质量除以单位质量得出答案．
m m
1 2
【详解】根据题意可得：铁丝为 cm，铜丝为 cm， 故选A．
7.8πr 2 8.9πr 2
1 2
【点睛】本题主要考查的是列代数式，本题还综合了科学中的部分知识点，难度中等．解决这个问
题的关键要理解单位单位质量的求法．
x
5．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则
−y2
的值为（ ）
y1 3
A．0 B． C．1 D．
2 2
【答案】D
【知识点】分式化简求值
3
【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣ 的值，从而可以求得所
y
求式子的值．
【详解】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，
1 3
∴x＝y+3，y2+ ﹣ ＝0，
2 y
3 1
∴y2﹣ ＝﹣
y 2
x
∴ ﹣y2
y
y+3
＝
−y2
y
3
＝1+
−y2
y
1
＝1﹣（﹣ ）
2
1
＝1+
2
3
＝ ，
2
故选D．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
6．在：√4,−20,(−3) −1,|−5|中，结果为正数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方根概念理解、负整数指数幂
【分析】根据算术平方根，零次幂，负整数指数幂，绝对值的意义，分别计算各个式子的值即可判
断.
1
【详解】解：√4=2,−20=−1,(−3) ﹣1=− ,|−5|=5．则其中的正数是：√4，|−5|共两个．
3
故选B．
【点睛】考查算术平方根，零次幂，负整数指数幂，绝对值的意义，比较基础，难度不大.x−2
7．要使分式 有意义，则应满足（ ）
x+1
A．x≠−1 B．x≠2 C．x≠±1 D．x≠−1或x≠2
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
8．某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，0.000000823用科学记数法表示，结果为（ ）
A．82.3×10−6 B．8.23×10−7 C．8.23×10−6 D．0.823×107
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可．
【详解】解：0.000000823=8.23×10−7．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为小数
点向右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 ．
√a2−1+√1−a2
9．若a，b为两个有理数，且b＝ +4，则a＋b的值为（ ）
a+1
A．±6 B．3 C．3或5 D．5
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】首先根据题意，列出不等式组，即可解得a=1，b=4，即可得解.
【详解】根据题意，得
¿
解得a=1
∴b=4
∴a+b=5
故答案为D.
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题.
1 −1
10．(− ) 的值是（ ）
21 1
A．− B．2 C．-2 D．
2 2
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【分析】根据负整指数幂的运算法则计算即可．
1 −1
【详解】(− ) =(−2) 1=−2，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了负指数幂的运算，熟练掌握负指数幂的运算法则是本题的关键．
11．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，
于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出
√5−1 √5−1 √5+1 1 1
来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．设a= ,b= ，记S = + ，
2 2 2 1 1+a 1+b
1 1 1 1 1 1
S = + ，S = + ⋯，S = + ，则S +S +S +⋯+S 的值为
2 1+a2 1+b2 3 1+a3 1+b3 100 1+a100 1+b100 1 2 3 100
（ ）
A．100√5 B．200√2 C．100 D．505
【答案】C
【知识点】黄金分割、二次根式的混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及
运算规律是解题的关键．先计算S ，S ，S 的值，找出规律，然后求解即可．
1 2 3
√5−1 √5+1
【详解】解：∵a= ，b= ，
2 2
∴ab=1，
1 1
∵S = +
1 1+a 1+b
1+b+1+a
=
(1+a)(1+b)
2+a+b
=
1+a+b+ab
2+a+b
=
2+a+b
=1，
1 1
S = +
2 1+a2 1+b21+b2+1+a2
=
(1+a2 )(1+b2
)
2+a2+b2
=
1+a2+b2+a2b2
2+a2+b2
=
1+a2+b2+1
2+a2+b2
=
2+a2+b2
=1，
1 1
S = +
3 1+a3 1+b3
1+b3+1+a3
=
(1+a3 )(1+b3
)
2+a3+b3
=
1+a3+b3+a3b3
2+a3+b3
=
1+a3+b3+a3b3
2+a3+b3
=
1+a3+b3+1
2+a3+b3
=
2+a3+b3
=1，
……
1 1
S = +
n 1+an 1+bn
1+bn+an
=
(1+an )(1+bn
)
2+an+bn
=
1+an+bn+anbn2+an+bn
=
1+an+bn+1
2+an+bn
=
2+an+bn
=1，
∴S =1，
100
∴S +S +S +…+S
1 2 3 100
=1+1+……+1=100，
故选：C．
|x|−2
12．如果分式 =0则x为（ ）
x2−2x
A．2 B．-2 C．±2 D．0
【答案】B
【知识点】分式值为零的条件
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
|x|−2
【详解】解：∵ =0
x2−2x
∴|x|−2=0，x2−2x≠0
∴x=±2，x≠0，x≠2
∴x=−2
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0
是解题的关键．
√m+3
13．若式子 有意义，则实数的m的取值范围是（ ）
(m−2) 2
A．m≥−3且m≠2 B．m>−3且m≠2 C．m≥−2 D．m>−3
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
√m+3
【详解】解：∵式子 有意义，
(m−2) 2∴¿，
解得：m≥−3且m≠2，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于
零，二次根式的被开方数为非负数．
14．下列各数中是负数的是（ ）
A．|0| B．−32 C．﹣（﹣3） D．(−3) 2
【答案】B
【知识点】正负数的定义、绝对值的意义、求一个数的绝对值、整数指数幂的运算
【分析】先对各选项进行求绝对值、去括号和指数幂的运算，再根据负数的定义进行判断即可得到
答案.
【详解】A. |0|=0，不是负数，故错误；
B. −32=-9，是负数，故正确；
C. ﹣（﹣3）=3，是正数，故错误；
D. (−3) 2=9，是正数，故错误；
故选择B.
【点睛】本题考查负数的定义、求绝对值、去括号和指数幂的运算，解题的关键是掌握负数的定义、
求绝对值、去括号和指数幂的运算.
x- y
15．把分式 中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的5倍
B．不变
1
C．缩小到原来
5
D．扩大到原来的25倍
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
5x−5 y 5(x−y) x−y
【详解】由题意可得： = = ，
5x+5 y 5(x+ y) x+ y
x−y
∴当把分式 中的x、y的值都扩大到原来的5倍时，分式的值不变．
x+ y
故选B．二、填空题
√x−1
16．若代数式 >0，则x的取值范围是 ．
2−x
【答案】1<x<2
【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，由二次根
式有意义的条件及分式有意义的条件得¿，即可求解；二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是
解题的关键．
【详解】解：由题意得
¿，
解得：1<x<2；
故答案：1<x<2．
17．计算：(−2) 2−√27+(√2−1) 0= ．
【答案】5−3√3
【分析】分别根据有理数的平方、二次根式的性质和0指数幂的意义计算和化简各项，再合并即可．
【详解】解：原式=4−3√3+1=5−3√3．
故答案为：5−3√3．
【点睛】本题考查了有理数的平方、二次根式的性质和0指数幂的意义等知识，属于基础题型，熟
练掌握基本知识是解题的关键．
18．已知√3−x+√x−3−1= y，则xy= ．
1
【答案】
3
【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、负整数指数幂
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，先根据二次根式有意义的条件为被开
方数大于等于零，得出关于x的不等式组，再求x的值进而得到y的值，再计算即可．
【详解】∵√3−x+√x−3−1= y，
∴3−x≥0,x−3≥0，
∴x≥3,x≤3，
∴x=3，
∴y=−1，
1
∴xy=3−1=
，
31
故答案为： ．
3
√3−x
19．当 ，代数式 有意义．
x+2
【答案】x≤3且x≠−2
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，分别根据分母不为0，被开方数为非负数进
行列式计算，即可作答．
√3−x
【详解】解：∵代数式 有意义，
x+2
∴3−x≥0，x+2≠0，
∴x≤3且x≠−2，
故答案为：x≤3且x≠−2．
20．如图，长方形ABCD按如图所示分成9个部分，在m，n(m≥n)变化过程中，下列四个结论：
m
①图中总共有8个正方形；②若长方形ABCD的长与宽的比为 ，则m=n；③长方形ABCD的长与
n
6
宽的比可能为2；④若m= ，长方形ABCD的面积为2n2+48，则m，n的值分别为3，2．其中正
n
确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】分式化简求值、多项式乘多项式与图形面积、利用平方根解方程
【分析】别表示出长方形ABCD的长和宽，然后根据题干条件列方程求解，从而作出判断．
【详解】如图，图中共有8个正方形，分别为正方形LKMG，正方形HNTO，正方形EGHF，正方形
MPQN，正方形DKNF，正方形EMTC，正方形LAQH，正方形GPBO，
故①正确，符合题意；由题意，AB＝m＋n＋m＝2m＋n，AD＝n＋m＋n＝m＋2n，
m
当长方形ABCD的长与宽的比为 时，
n
2m+n m
= ，
m+2n n
∴n（2m＋n）＝m（m＋2n），
2mn＋n2＝m2＋2mn，
∴n2＝m2，
又∵m，n均为正数，
∴m＝n，故②正确，符合题意；
2m+n m
当长方形ABCD的长与宽的比 = =2时，
m+2n n
2m＋n＝2（m＋2n），
2m＋n＝2m＋4n，
∴n＝4n（不符合题意），故③错误，不符合题意；
长方形ABCD的面积为（2m＋n）（m＋2n）＝2m2＋5mn＋2n2，
6
当m= ，长方形ABCD的面积为2n2+48时，
n
6 6
2×（ ）2＋5× ×n＋2n2＝2n2+48，
n n
解得n＝±2（负值舍去），
∴m＝3，
即m，n的值分别为3，2，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形的概念，整式的混合运算，分式的化简求值，准确识图，掌握多项式乘多
项式的运算法则是解题关键．
2x+ y
21．若x2﹣xy﹣12y2＝0，则 ＝ ．
3x−y
1 9
【答案】 或
2 11【分析】先利用因式分解法得到（x+3y）（x﹣4y）＝0，则x+3y＝0或x﹣4y＝0，然后把x＝﹣3y
或x＝4y代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵x2﹣xy﹣12y2＝0，
∴（x+3y）（x﹣4y）＝0，
则x+3y＝0或x﹣4y＝0，
∴x＝﹣3y或x＝4y，
−6 y+ y 1
当x＝﹣3y时，原式＝ = ，
−9 y−y 2
8 y+ y 9
当x＝4y时，原式＝ = ；
12y−y 11
1 9
故答案为 或 ．
2 11
【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.
22．写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是 ．
2
【答案】
x2+1
【知识点】分式有意义的条件
【分析】写一个分母不为零的分式即可．
2
【详解】解：由题意得： ，
x2+1
2
故答案为： ．
x2+1
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零
5 2m−4
23．计算：(m+2+ )⋅ = .
2−m 3−m
【答案】−2m−6
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
m2−9 2(m−2) (m+3)(m−3) 2(m−2)
【详解】解：原式= • = - • = -2（m+3）=-2m-6，
m−2 −(m−3) m−2 (m−3)
故答案为-2m-6
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(x−2)(x+3)
24．分式 的值为0，则x= ．
x2−4
【答案】-3
【知识点】分式值为零的条件【分析】要是分式的值为零，只需要在分母不为零的同时令分子为零即可．
(x−2)(x+3)
【详解】解：∵分式 的值为0，
x2−4
∴（x-2）（x+3）=0，x2-4≠0，
解得：x=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查的是分式的值为0的条件，掌握使分式的值为0的条件是解题的关键．
25．某单位锅炉房运来了120吨煤，原计划用x天，后来节约用煤，结果比原计划多用4天，后来
比原计划每天少用 吨煤.
480
【答案】 .
x(x+4)
【分析】用x的代数式表示出原计划和后来每天用煤的数量，两者作差化简即可.
【详解】解：原计划用x天，则后来用（x+4）天，根据题意，后来比原计划每天少用
120 120 120(x+4) 120x 480
− = − = 吨煤.
x x+4 x(x+4) x(x+4) x(x+4)
480
故答案为： .
x(x+4)
【点睛】本题考查了分式的加减运算，难度不大，正确理解题意、熟练掌握分式的加减运算法则是
关键.
三、解答题
3 1+2x+x2
26．先化简，再求值：(x+2+ )÷ ，其中x=√3−1．
x−2 2−x
x−1 2√3
【答案】− ， −1
x+1 3
【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算
【分析】先将括号内的部分通分，计算加法，再将各分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约
分计算，最后将x值代入即可．
( 3 ) 1+2x+x2
【详解】解： x+2+ ÷
x−2 2−x
(x2−4 3 ) 1+2x+x2
= + ÷
x−2 x−2 2−x(x+1)(x−1) 2−x
= ×
x−2 (x+1) 2
x−1
=−
x+1
将x=√3−1代入，
√3−1−1 2√3
原式=− = −1．
√3−1+1 3
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟知运算法则是解答此题的关键．
1 2
27．先化简，再求值： − ，其中x＝－2
x−1 x2−1
1
【答案】 ；-1
x+1
【知识点】运用平方差公式进行运算、分式化简求值
【分析】根据平方差公式通分化简，再代入求值即可．
x+1−2 x−1 1
= =
【详解】解：原式＝ ，
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) x+1
1
将x=−2代入原式： =−1．
−2+1
【点睛】本题考查了分式的化简求值、平方差公式；关键在于能利用平方差公式进行通分化简．
a2−b2
(
2ab+b2
)
28．先化简，再求值： ÷ a+ ，其中a=√2+1,b=√2−1．
a a
a−b √2
【答案】 ；
a+b 2
【知识点】利用二次根式的性质化简、分式化简求值
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
(a+b)(a−b) a2+2ab+b2
【详解】解：原式= ÷
a a
(a+b)(a−b) a
= ×
a (a+b) 2
a−b
= ，
a+b
∴当a=√2+1,b=√2−1时，
√2+1−(√2−1)
原式=
√2+1+√2−12
=
2√2
1
=
√2
√2
= ．
2
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
2 a2+4 1 1 1
29．先化简，再求值： ( −1)÷( − )，其中a= ．
a2−4 4a 2 a 2
1 2
【答案】 ；
a+2 5
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】首先将括号里面的分式进行通分，然后将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行乘
除法计算，最后将a的值代入化简后的式子进行计算．
2 (a−2) 2 2a 1
【详解】解：原式= ⋅ ⋅ =
(a+2)(a−2) 4a a−2 a+2
1 1 2
当a= 时，原式= = ．
2 a+2 5
【点睛】本题考查分式的化简求值．
( 4a ) a−4
30．先化简，再求值： 2a− ÷ ，其中a与2，3构成△ABC的三边长，且a为整数．
a−2 a2−4a+4
【答案】2a2−4a，6
【知识点】分式化简求值
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得
到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值．
( 4a ) a−4
【详解】解： 2a− ÷
a−2 a2−4a+4
2a2−4a−4a a−4
= ÷
a−2 (a−2) 2
2a(a−4) (a−2) 2
= ⋅
a−2 a−4
=2a2−4a．
∵a与2，3构成△ABC的三边长，∴ 3−2<a<3+2，即1<a<5．
∵ a为整数，
∴ a为2或3或4．
当a=2时，分母a−2=0（舍去）；
当a=4时，分母a−4=0（舍去）．
故a的值只能为3．
∴当a=3时，2a2−4a=2×32−4×3=6．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
31．观察以下等式:
2 1 1
第1个等式: = + ，
1 1 1
2 1 1
第2个等式: = + ，
3 2 6
2 1 1
第3个等式: = + ，
5 3 15
2 1 1
第4个等式: = + ，
7 4 28
2 1 1
第5个等式: = + ，
9 5 45
……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
2 1 1 2 1 1
【答案】（1） = + ；（2） = + ，见解析
11 6 66 2n−1 n n(2n−1)
【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法
【分析】观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边式子的分母的值从1开始，后一项的值比前
一个分母的值大2，分子不变，等式右边分子不变，第一个式子的分母等序增加，第二个分母的值
依次为：1,6，15,28,45，根据顺序关系可以记作第n组式子对应的分母为n（2n+1），然后解题即可．
2 1 1
【详解】解：（1）第6个等式： = +
11 6 66
2 1 1
（2） = +
2n-1 n n（2n-1）
1 1 2n-1+1 2
证明：∵右边= + = = =左边.
n n（2n-1） n（2n-1） 2n-1
∴等式成立．
【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
a−b a2−b2
32．（1）化简 1− ÷
a+2b a2+4ab+4b2
2−x 1
（2）解方程 − =3
x−3 3−x
（3）分解因式 −8ax2+16axy−8a y2
b
【答案】（1）− ；（2）无解；（3）−8a(x−y) 2
a+b
【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程
【分析】（1）直接根据分式知识化简即可；
（2）去分母然后解方程即可；
（3）先提公因式，再根据完全平方因式分解即可.
a−b (a+2b) 2
【详解】解：（1）1− ·
a+2b (a+b)(a−b)
a+2b
=1−
a+b
(a+b)−(a−2b)
=
a+b
(a+b)−(a+2b)
=
a+b
b
=− ；
a+b
2−x 1
（2） + =3
x−3 x−3
2−x+1=3x−9
x=3
检验：把x=3代入得：x-3=0，
则x=3为方程的增根，
故原方程无解；
（3）原式=−8ax2+16axy−8a y2
=−8a(x2−2xy+ y2)
=−8a(x−y) 2.
【点睛】本题是对计算的综合考查，熟练掌握分式化简，分式方程及因式分解是解决本题的关键.33．计算：
(1)(x−y) 2−x(y−2x)
3 x2+4x+4
(2)( −x+1)÷ .
x+1 x+1
2−x
【答案】（1）3x2-3xy+y2；（2） .
x+2
【知识点】整式乘法混合运算、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）先进行整式的完全平方和乘法运算，然后在合并同类项即可；（2）先通分，然后把
除法变成乘法进行约分，然后整理即可.
【详解】解：（1）原式=x2-2xy+y2-xy+2x2
=3x2-3xy+y2；
3−（x−1）（x+1） x+1
（2）原式= ×
x+1 (x+2) 2
3−x2+1 x+1
= ×
x+1 (x+2) 2
(2−x)(2+x) x+1
= ×
x+1 (x+2) 2
2−x
=
x+2
【点睛】本题是对整式乘法和分式除法的考查，熟练掌握整式乘法公式和分式的运算是解决本题的
关键，难度不大，注意计算的准确性.
a+b a2+2ab+b2
34．先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中a＝1＋√3，b＝1﹣√3．
a−b a2−ab
b 1−√3
【答案】 ，
a+b 2
【知识点】分式化简求值
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解
答本题．
a+b a2+2ab+b2
【详解】解：1﹣ ÷
a−b a2−ab
a+b a(a−b)
＝1﹣ ⋅
a−b (a+b) 2a
＝1﹣
a+b
a+b−a
＝
a+b
b
＝ ，
a+b
1−√3 1−√3
当a＝1＋√3，b＝1﹣√3时，原式＝ ＝ ．
1+√3+1−√3 2
【点睛】本题属于计算类综合题，应严格按照题目要求，先化简到最简形式再代数计算.
x2−2xy+ y2 x2−xy 2
35． ÷ − ，其中实数x、y满足y=√x−2−√4−2x−1．
x2−y2 x x+ y
1
【答案】− ，－1．
x+ y
【知识点】二次根式有意义的条件、分式化简求值
【分析】根据二次根式有意义的条件分别求出＋x、y，根据分式的混合运算法则把原式化简，把x、
y的值代入计算即可．
【详解】要使√x−2有意义，必须x﹣2≥0，即x≥2，
要使√4−2x有意义，必须4﹣2x≥0，即x≤2，
∴x＝2，
∴y＝﹣1，
（x−y）2 x 2
原式= × −
（x+ y）（x−y） x（x−y） x+ y
x−y 1 2
= × −
x+ y x−y x+ y
1 2
= −
x+ y x+ y
1
=−
x+ y
1
=−
2−1
＝﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，及分式的混合运算法则，熟练掌握运算法则是解题的
关键．
【能力提升】
36．阅读下面材料并解决有关问题：（一）由于(a−b) 2≥0，所以a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，并且当a=b时，a2+b2=2ab；对
于两个非负实数a，b，由于(√a−√b) 2 ≥0,所以(√a) 2 −2√a√b+(√b) 2 ≥0，即a−2√ab+b≥0，所
以a+b≥2√ab，并且当a=b时，a+b=2√ab；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学
里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分
式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：
x+1 x−1+2 x−1 2 2
= = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
2x+3 x2+1 x x4+1
(1)在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
x+1 x x2+1 x2
x 1 x2
(2)已知： = ，求代数式 的值；
x2+1 3 x4+1
x+3√x+2+5
(3)当x为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
√x+2+1
【答案】(1)①②④
1
(2)
7
x+3√x+2+5
(3)x=−2时， 有最小值，最小值为3
√x+2+1
【知识点】利用二次根式的性质化简、分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用
等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
x 1 x2+1 1
（2）先根据 = ，得到 =3，进而得到x+ =3，即可得到
x2+1 3 x x
x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=7，利用倒数的定义即可求出 x2 = 1 ；
x2 x2 x x4+1 7
x+3√x+2+5 1
（3）先求出x≥−2，再将 变形为√x+2+1+1+ 根据（一）结论得到
√x+2+1 √x+2+11 √ 1 ，即可求出当且仅当
=√x+2+1+1+ ≥2× (√x+2+1)× +1 ≥2+1=3
√x+2+1 √x+2+1
1 x+3√x+2+5
=√x+2+1，即x=−2时， 有最小值，最小值为3．
√x+2+1 √x+2+1
【详解】（1）解：①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．
x 1
（2）解：∵ = ，
x2+1 3
x2+1
∴ =3，
x
1
∴x+ =3，
x
∴ x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=7，
x2 x2 x
x2 1
∴ = ；
x4+1 7
（3）解：由题意，x+2≥0，
∴x≥−2．
x+2+3√x+2+3 (√x+2+1) 2+√x+2+1+1
原式= =
√x+2+1 √x+2+1
1 √ 1
=√x+2+1+1+ ≥2× (√x+2+1)× +1
√x+2+1 √x+2+1
≥2+1=3．
1
当且仅当 =√x+2+1，即x=−2时，等号成立．
√x+2+1
∴原式的最小值为3．
37．（阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大
小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若
x−y>0，则x>y；若x−y=0，则x= y；若x−y<0，则x<y．例：已知M=a2−ab，N=ab−b2，其中a≠b，求证：M>N．
证明：M−N=a2−ab−ab+b2=(a−b) 2，
因为a≠b，所以(a−b) 2>0，故M>N．
【新知理解】
（1）比较大小：2x−2______x2．（填“>”，“=”，“<”）
【问题解决】
（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a>0)，其面积分别为S ，S ，请比较S ，S 的
1 2 1 2
大小关系．
【拓展应用】
（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的
购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均
为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且m≠n），试分析小莹和小亮
谁的购货方式更合算？
【答案】（1）<（2）S <S （3）小莹的购货方式更合算，理由见解析
1 2
【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、分式加减的实际应用
【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的
应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题中的方法作差解答；
（2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断；
（3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断．
【详解】（1）∵x2−(2x−2)=x2−2x+1+1=(x−1) 2+1>0，
∴x2>2x−2，即2x−2<x2
故答案为：<；
（2）∵S =(a+4)(a+3)=a2+7a+12，
1
S =(a+7)(a+2)=a2+9a+14，
2∴S −S =(a2+7a+12)−(a2+9a+14)
1 2
=a2+7a+12−a2−9a−14
=−2a−2．
∵a>0，
∴−2a−2<0，
∵S −S <0，即S <S ．
1 2 1 2
m+n
（3）小亮两次购买苹果共花费(m+n)元，两次购买苹果的平均单价为 元/千克；
2
20 2mn
=
小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为10 10 m+n元/千克；
+
m n
m+n 2mn (m+n) 2−4mn (m−n) 2
∴ − = = ，
2 m+n 2(m+n) 2(m+n)
∵ m，n是正数，且m≠n，
(m−n) 2
∴ >0，
2(m+n)
m+n 2mn
∴ > ，
2 m+n
∴小莹的购货方式更合算．
38．阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我
4 x+1
们称之为“真分式”，如： , ．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假
x−1 x2
x+1 x2+1
分式”，如： , ．假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：
x−1 x+1
x+1 (x−1)+2 2
= =1+ ．
x−1 x−1 x−1
解决问题：
（1）下列分式中属于真分式的是（ ）
x2 x−1 3 x2+1
A． B． C．− D．
x−1 x+1 2x−1 x2−1
3x+1 x2+1
（2）将假分式 、 分别化为带分式；
x−1 x+12x2+3x−6
（3）若假分式 的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值．
x+3
【答案】（1）C；
4 2
（2）3+ ，x−1+ ；
x−1 x+1
（3）x可能的整数值为0，-2，-4，-6.
【知识点】按要求构造分式、同分母分式加减法
【分析】（1）根据真分式的定义，即可选出正确答案；
（2）利用题中的方法把分子分别变形为3(x−1)+4和(x+1)(x−1)+2，然后写成带分式即可；
（3）先把分式化为带分式，然后利用有理数的整除性求解．
【详解】（1）A.分子的次数为2，分母的次数为1，所以错误；
B. 分子的次数为1，分母的次数为1，故错误；
C. 分子的次数为0，分母的次数为1，故正确；
D. 分子的次数为2，分母的次数为2，故错误；
所以选C；
3x+1 3(x−1)+4 4
（2） = =3+ ，
x−1 x−1 x−1
x2+1 x2−1+2 (x+1)(x−1)+2 2
= = =x−1+ ，
x+1 x+1 x+1 x+1
（3）
2x2+3x−6
x+3
2x2+3x−6
=
x+3
2x2−18+3x+9+3
=
x+3
2(x+3)(x−3)+3(x+3)+3
=
x+3
3
=2(x−3)+3+
x+3
3
=2x−3+
x+3
∵该分式的值为整数，
3
∴ 的值为整数，
x+3
所以x+3可取得整数值为±3，±1，
x可能的整数值为0，-2，-4，-6.
【点睛】本题主要考查分式的性质，要结合分式的基本性质依照题目中的案例，会对分式进行适当x2+1
的变形.（1）根据真分式的定义判断即可；（2） 可借助平方差公式，先给x2减1再加1，将它
x+1
3
凑成平方差公式x2-1=（x+1）（x-1）；（3）需将假分式等量变形成带分式，然后对 取整.
x+3
39．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数
量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起
售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上
再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
【答案】(1)该商品的单价为21元
(2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②26或28
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用、二元一次方程的解、分式加减乘
除混合运算
【分析】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进
的数量少10件列出方程求解即可；
（2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；
②先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为50件 二月份甲购进的商品数量为70件，设一月份售
出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出(120−m−n)件，再根据销售额=成本+利润
150−5m
列出方程推出n= ，再由m、n都是正整数，得到m<30，由2月份第一次按标价9折售出
2
一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到m≥25，进而得到25≤m<30且m是正整数，再由
150−5m
也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为26或28．
2
由题意得，30m+30×0.9n+(30×0.9−2)(120−m−n)=1050+1050+1050，
【详解】（1）解：设该商品的单价为x元，
1050 1260
由题意得， +10= ，
x x
解得x=21，
经检验，x=21是原方程的解，
∴该商品的单价为21元；1050 1050 1050+50a
（2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为 + = 件，
21 a a
1260 1260 1260+60a
乙两次一共购买的商品数量为 + = ，
21 a a
1050×2 42a
=
∴甲的平均单价为1050+50a a+21，
a
2520 42a
=
乙的平均单价为1260+60a a+21，
a
42a 42a
即 = ，
a+21 a+21
∴甲的平均单价等于乙的平均单价；
1050
②甲商品一月份一共购进的商品数量为 =50件
21
1050
当a=15时，则二月份甲购进的商品数量为 =70件，
15
设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出50+70−m−n=(120−m−n)件，
由题意得，30m+30×0.9n+(30×0.9−2)(120−m−n)=1050+1050+1050，
∴30m+27n+3000−25m−25n=3150，
∴5m+2n=150；
150−5m
∴n= ，
2
∵m、n都是正整数，
∴150−5m>0，
∴m<30，
∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，
m
∴n≤ ，
2
150−5m m
∴ ≤ ，
2 2
∴m≥25，
∴25≤m<30且m是正整数，
150−5m
又∵n= 也是正整数，
2
∴m必须是偶数，
∴m的值为26或28．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键．
40．如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，
m+m′
把m的百位和个位互换位置得到数m′．并规定F(m)= ，例如918，∵9=1+8且百位是9，
9
918+819
∴918是“尔畔数”，F(918)= =193．
9
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F(936)；
F(s)
（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F(s)+F(t)=570，并规定K= ，求K的最大值为多少？
F(t)
101
【答案】（1）946不是“尔畔数”； F(936)=175；（2）K的最大值为 ．
83
【知识点】分式加减乘除混合运算、新定义下的实数运算
【分析】（1）仿照样例进行计算便可；
（2）设s和t的个位数分别是x 、x ，且0<x ≤9，0<x ≤9，根据样例求出F(s)，F(t)，再根据
1 2 1 2
2F(s)+F(t)=570，求得x =23−2x ，，进而求得K的最大值．
2 1
【详解】（1）∵4+6=10≠9，
∴946不是“尔畔数”；
936+639
F(936)= =175；
9
（2）∵s和t都是“尔畔数”，
设s和t的个位数分别是x 、x ，且0<x ≤9，0<x ≤9，
1 2 1 2
∴s=900+10(9−x )+x =990−9x ，
1 1 1
t=900+10(9−x )+x =990−9x ，
2 2 2
s =100x +10(9−x )+9=99+90x ，
1 1 1 1
t =100x +10(9−x )+9=99+90x ，
1 2 2 2
990−9x +99+90x
∴F(s)= 1 1=121+9x ，
9 1
990−9x +99+90x
F(t)= 2 2=121+9x ，
9 2
∵2F(s)+F(t)=570，
∴2(121+9x )+121+9x =570，
1 2∴2x +x =23，即x =23−2x ，
1 2 2 1
F(s) 121+9x 121+9x 121+9x 1 285
∴K= = 1= 1 = 1 =− + ，
F(t) 121+9x 121+9(23−2x ) 328−18x 2 328−18x
2 1 1 1
285
∴x 越大， 才越大，
1 328−18x
1
1 285 101
∴当x =9时，K最大，最大值为− + = ，
1 2 328−18×9 83
101
∴K的最大值为 ．
83
【点睛】本题主要考查了新定义，分式的运算，关键是根据新定义，把新知识转化为常规知识进行
解答．
