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专题 03 分式（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 分式的定义】
1 3 x+1 x
1．（2022·江苏宿迁·模拟预测）下列式子：① ，② ，③ ，④ ，属于分式的个数为（ ）
3 x 4 x+ y
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
1 3 x+1 x
【详解】解：式子：① ，② ，③ ，④ 中，②④是分式，共2个，
3 x 4 x+ y
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
1 2xy 3abc 5 x y 10 x2
2．（2022·广东梅雁东山学校模拟预测）在式子 ； ； ； ； + ；9x+ ； 中，分式
a π 4 6+x 7 8 y x
的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据分式的定义作答即可．
1 2xy 3abc 5 x y 10 x2
【详解】解：在式 ； ； ； ； + ；9x+ ； 中，
a π 4 6+x 7 8 y x
1 5 10 x2
分式的有： ； ；9x+ ； ，
a 6+x y x
即分式有4个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中
是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分
母中含π的代数式不是分式，是整式．
3．（2022·广东·吴川市第一中学模拟预测）在下列式子中，属于分式是（ ）
3xy x x2 4a2bc
A． B． C． +1 D．
π x+1 3 5
【答案】B【分析】根据分式的定义对各选项进行判断即可．
3xy
【详解】A．由于在 中，π是数字，故它是整式，该选项不符合题意；
π
x
B．由于在 中，分母中有字母，故它是分式，该选项符合题意；
x+1
x2
C．由于在 +1，分母中不含字母，故它是整式，该选项不符合题意；
3
4a2bc
D．由于在 中，分母中不含字母，故它是整式，该选项不符合题意；
5
故答案为：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．
4．（2022·江苏连云港·模拟预测）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲：分式的值不可能为0；
乙：当x=-2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式：_________．
2
【答案】-
x
【分析】根据分式的值不为零的条件和当x=-2时，分式的值为1写出一个分式即可．
【详解】解：∵分式的值不可能为0，
∴分子不等于0，
∵当x=-2时，分式的值为1，
2
∴分式为：- ．
x
2
故答案为：- （答案不唯一）．
x
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等
于0是解题的关键．
1 x+ y 1 x 1
5．（2022·山东临沂·模拟预测）式子① ，② ，③ ，④ ， ⑤ (x+ y)中，分式有
x 5 2−a π−1 m
________个
【答案】①③⑤
【分析】根据分式的定义逐项判断即可．
1
【详解】解：① 的分母中含有字母，是分式；
x
x+ y
② 的分母中不含有字母，是整式；
51
③ 的分母中含有字母，是分式；
2−a
x
④ 的分母中不含有字母，是整式；
π−1
1
⑤ (x+ y)的分母含有字母，是分式；
m
综上，①③⑤．
故答案为：①③⑤
【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是判断是不是分式，只要判断分母中是否含有字母，需要注
意π是一个数，所以分母中含有π的不是分式．
【考点2 分式有意义的条件】
x−2
6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x＝_____时，分式 无意义．
2x+5
5
【答案】−
2
【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：由题意得，2x＋5＝0，
∴2x=−5,
5
∴x=− ,
2
5
故答案为：− .
2
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是解题的关键．
x+3
7．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）当x=2时，分式 无意义，则a=______．
5x−a
【答案】10
【分析】根据分母为零分式无意义，可得答案．
x+3
【详解】解：对于分式 ，
5x−a
当x=2时，分式无意义，得5×2-a=0，
解得a=10．
故答案是：10．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．√x
8．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学模拟预测）如果代数式 有意义，那么x的取值范围是
x−1
__________
【答案】x≥0且x≠1
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x≥0且x-1≠0，解得x≥0且x≠1，
故填：x≥0且x≠1．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9．（2022·江苏连云港·模拟预测）若代数式(3x+3) 0+(2x−1) −2有意义，则x的取值范围是___________.
1
【答案】x≠−1且x≠
2
【分析】零次幂和负整数幂均不为0.
【详解】∵代数式(3x+3) 0+(2x−1) −2有意义
∴3x+3≠0,2x-1≠0
1
∴x≠−1且x≠ .
2
【点睛】本题考查的是代数式，熟练掌握零次幂和负整数幂均不为0是解题的关键.
1
10．（2022·宁夏吴忠·二模）要使 有意义，则x的取值范围是________．
√4−x
【答案】x＜4
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组解答即可．
1
【详解】解：∵ 有意义
√4−x
∴¿ ，解得：x＜4．
故答案为x＜4．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，运用二次根式被开方数必须是非负数和分式的分
母不等于零列不等式是解答本题的关键．
【考点3 分式的值为零的条件】
x−1
11．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学一模）若分式 的值为0，则x=________．
x+3
【答案】1【分析】当分式的分子为零，分母不为零时，则分式的分值为零.考点：分式的值为零
【详解】由题意，x-1=0
则x=1
故答案为：x=1
(x2−1) 2 +||xy|−2|
12．（2022·贵州·石阡县教育局教研室模拟预测）已知 =0，则
(x+1)(y+2)
1 1 1
+ +⋅⋅⋅+
的值是___________．
xy (x+1)(y+1) (x+2022)(y+2022)
2023
【答案】
2024
【分析】根据分式等于0的条件可得x=1， y=2，再代入分式求值即可．
(x2−1) 2 +||xy|−2|
【详解】解：∵ =0，
(x+1)(y+2)
∴(x2−1) 2 +||xy|−2|=0且(x+1)(y+2)≠0，
∴(x2−1) 2 =0，||xy|−2|=0且x≠−1，y≠−2，
∴x=1， y=2，
1 1 1
∴
+ +⋅⋅⋅+
xy (x+1)(y+1) (x+2022)(y+2022)
1 1 1
=
+ +⋅⋅⋅+
1×2 2×3 2023×2024
1 1 1 1 1
=1− + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 2023 2014
1
=1−
2014
2023
= ，
2024
2023
故答案为： ．
2024
【点睛】本题主要主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出x=1，
y=2，是关键．x+1
13．（2022·辽宁葫芦岛·模拟预测）如果分式 的值是0，则a的取值范围是__________．
2x+a
【答案】a≠2
【分析】根据分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
x+1
【详解】解：∵分式 的值是0，
2x+a
∴x+1=0，2x+a≠0，
∴x=-1，
∴-2+a≠0，
∴a≠2．
故答案为：a≠2．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题
的关键．
|y|−5
14．（2022·云南·云大附中模拟预测）若分式 的值为0，则y＝_______
5−y
【答案】－5
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．
|y|−5
【详解】解：若分式 的值等于0，
5−y
则|y|-5=0，y=±5．
又∵5-y≠0，y≠5，
∴y=-5．
|y|−5
若分式 的值等于0，则y=-5．
5−y
故答案为-5．
【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件和绝对值的知识点，此题很容易出错，不考虑分母为0的情况．
x2−9
15．（2022·江苏·靖江市实验学校模拟预测）当x＝_______时，分式 的值为零．
|x+3|
【答案】3
【详解】解：由题意得x2−9=0,x+3≠0，
解得x＝3
故答案为：3．【考点4 分式的值】
x
16．（2022·北京东城·二模）若分式 的值为正，则实数x的取值范围是__________________.
x2+2
【答案】x＞0
【详解】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.
x
【详解】∵分式 的值为正，
x2+2
∴x与x2+2的符号同号，
∵x2+2>0，
∴x>0，
故答案为x>0.
【点睛】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键.
6
17．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）当x取何整数时，分式 的值是整数？
x-1
【答案】x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
6
【详解】当x-1是6的约数时，分式 的值才是整数.
x−1
6
解：∵分式 的值是整数
x−1
∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1
解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
3x−2 n
18．（2022·重庆·中考模拟）探索：（1）如果 =3+ ，则n= ；
x−1 x−1
5x−3 n
（2）如果 =5+ ，则n= ；
x+2 x+2
ax+b n
总结：如果 =a+ （其中a、b、c为常数），则n= ；
x+c x+c
4x−3
应用：利用上述结论解决：若代数式 的值为为整数，求满足条件的整数x的值．
x−1
【答案】探索：（1）n=1；（2）n=-13；总结：n=b-ac；应用：x=2或x=0．
3x−2 1
【分析】(1) 将 变形为3 + , 从而求出n的值
x−1 x−1
5x−3 −13 ax+b b−ac
(2) 将 变形为5 + , 从而求出n的值； 变形为 a+ , 从而求出n的值；
x+2 x+2 x+c x+c4x−3 1 4x−3 1
仿上方法将 化为4+ ，根据 为整数，得到 为整数，从而确定x的值.
x−1 x−1 x−1 x−1
3x−2 1 n
【详解】解： (1)∵ =3+ =3+
x−1 x−1 x−1
∴n=1
故答案为： 1
5x−3 −13 n
(2)∵ =5+ =5+
x+2 x+2 x+2
∴n=−13
故答案为：-13
ax+b b−ac n
总结 :∵ =a+ =a+
x+c x+c x+c
∴n=b−ac
故答案为： b−ac
4x−3 1
应用 :∵ =4+
x−1 x−1
4x−3
又∵代数式 的值为整数
x−1
1
∴ 为整数
x−1
∴x−1=1 或 x−1=−1
∴x=2 或 0
【点睛】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．
x2 y2
19．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知：x≠ y，y=−x+8，求代数式 + 的值．
x−y y−x
【答案】8
【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将y=−x+8代入计算可得．
x2 y2 x2 y2 x2−y2 (x+ y)(x−y)
【详解】原式= + = − = = =x+ y，
x−y y−x x−y x−y x−y x−y
当x≠ y，y=−x+8时，
原式=x+(−x+8)=8．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多
问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题
技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
4xy+ y2
20．（2022·浙江杭州·模拟预测）（1）已知4x−y=0，求分式 的值．
x2−2xy
1 1 3x−2xy+3 y
（2）已知 + =3，求分式 的值．
x y x+xy+ y
32 7
【答案】（1）− ；（2） ．
7 4
【分析】（1）先根据已知等式可得y=4x，再代入利用分式的基本性质求值即可得；
（2）先根据已知等式可得x+ y=3xy，再代入利用分式的基本性质求值即可得．
【详解】（1）∵4x−y=0，
∴y=4x，
4xy+ y2 4x⋅4x+(4x) 2
∴ = ，
x2−2xy x2−2x⋅4x
16x2+16x2
= ，
x2−8x2
32x2
= ，
−7x2
32
=− ；
7
1 1
（2）∵ + =3，
x y
x+ y
∴ =3，即x+ y=3xy，
xy
3x−2xy+3 y 3(x+ y)−2xy
∴ = ，
x+xy+ y (x+ y)+xy
9xy−2xy
= ，
3xy+xy
7xy
= ，
4xy
7
= ．
4
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质和整体代入思想是解题关键．【考点5 分式的基本性质】
−a
21．（2022·河北·新河县教师发展中心二模）根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
a−b
a a a a
A． B． C． D．
−a−b b−a a+b a−b
【答案】B
【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，
分式的值不变．
−a a
【详解】解： = ．
a−b b−a
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
a
22．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数b>a>1．则下列各式中比 的值大的是（ ）
b
2a a2 a−1 a+1
A． B． C． D．
2b b2 b−1 b+1
【答案】D
【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．
a
【详解】解：因为b>a>1，所以，0< <1，
b
2a a
A． = ，故此选项不符合题意；
2b b
a2 a
B． < ，故此选项不符合题意；
b2 b
a−1 a
C． < ，故此选项不符合题意；
b−1 b
a+1 a
D． > ，符合题意；
b+1 b
故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
x2+ y2
23．（2022·河北·一模）如果将分式 中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的2倍 B．不变1
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的 ．
4
【答案】A
【分析】x，y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原
来的式子的关系．
(2x) 2+(2y) 2 2x2+2y2
【详解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得： = ,
2x+2y x+ y
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原
式比较，最终得出结论．
1 1
x−
3 6
24．（2022·广东江门·一模）把分式 的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
1 1
x+
2 4
3x−6 4x−2 2x−1 2x−2
A． B． C． D．
2x+4 6x+3 2x+1 3x+4
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
1 1 1 1
x− ( x− )×12
3 6 3 6 4x−2
= = ，
1 1 1 1 6x+3
x+ ( x+ )×12
2 4 2 4
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除
以同一个不为0的整式，分式的值不变．
25．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，
−x+ y
则 = ___________．
−2x−y
x−y
【答案】
2x+ y
【分析】把分子分母同时除以−1，即可求解．−x+ y x−y
【详解】解： = ．
−2x−y 2x+ y
x−y
故答案为：
2x+ y
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，
分式的值不变是解题的关键．
【考点6 约分与通分】
x2−9
26．（2022·浙江·松阳县教育局教研室二模）化简： =_____
x−3
【答案】x+3
【分析】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．据
此化简．
x2−9 (x+3)(x−3)
【详解】解： = =x+3．
x−3 x−3
故答案为：x+3.
3a2b
27．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）（1）约分：
6ab
2b a
（2）通分： 与
3a2 bc
a 2b2c 3a3
【答案】（1） ；（2） 与
2 3a2bc 3a2bc
【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；
（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．
3a2b 3ab×a a
【详解】解：（1） = = ；
6ab 3ab×2 2
2b a
（2） 与 最简公分母为：3a2bc，
3a2 bc
2b 2b×bc 2b2c
则： = = ，
3a2 3a2×bc 3a2bc
a a×3a2 3a3
= = ．
bc bc×3a2 3a2bc
【点睛】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）如图，图①是一个边长为a的正方形减去一个边长为1的小正
S
方形，图②是一个边长为a−1的正方形，记图①和图②中阴影部分的面积分别为S ,S ，请化简 1 ．
1 2 S
2
a+1
【答案】
a−1
【分析】先利用正方形的面积公式分别求出S ,S ，再利用平方差公式进行化简即可得．
1 2
【详解】解：由图可知，S =a2−1，S =(a−1) 2 ，
1 2
S a2−1
则
1=
S (a−1) 2
2
(a+1)(a−1)
=
(a−1) 2
a+1
= ．
a−1
【点睛】本题考查了平方差公式、分式的化简，熟记平方差公式是解题关键．
29．（2022·浙江丽水·一模）从三个代数式：①a2−2ab+b2，②3a−3b，③a 2−b2中任选两个分别作为
❑
分式的分子和分母：
(1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们．
(2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果．
【答案】(1)6个，见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用分式的概念可得；（2）利用分式的基本性质约分化简即可求解．
（1）
解：一共能得到6个不同的分式：
3a−3b a2−b2 a2−2ab+b2 a2−b2 a2−2ab+b2 3a−3b
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．
a2−2ab+b2 a2−2ab+b2 3a−3b 3a−3b a2−b2 a2−b2
（2）
3a−3b 3(a−b) 3
= =
解：① ；
a2−2ab+b2 (a−b) 2 a−b
a2−b2 (a−b)(a+b) a+b
② = = ；
a2−2ab+b2 (a−b) 2 a−b
a2−2ab+b2 (a−b) 2 a−b
③ = = ；
3a−3b 3(a−b) 3
a2−b2 (a−b)(a+b) a+b
④ = = ；
3a−3b 3(a−b) 3
a2−2ab+b2 (a−b) 2 a−b
⑤ = = ；
a2−b2 (a+b)(a−b) a+b
3a−3b 3(a−b) 3
⑥ = = ；
a2−b2 (a+b)(a−b) a+b
综上可知，③④能化为整式，得：
a2−2ab+b a−b a2−b2 a+b
= =
3a−3b 3 3a−3b 3
【点睛】本题考查了分式的概念和分式的基本性质，熟练掌握分式约分的方法是解题的关键．
30．（2022·广东·丰顺县球山中学二模）通分：
x y 2
(1) ， ， ；
x−y x2+2xy+ y2 x2−y2
1 3 x
(2) ， ， ．
2x+2 x2−1 x2+2x+1
x(x+ y) 2 y(x−y) 2(x+ y)
【答案】(1) ， ，
(x+ y) 2 (x−y) (x+ y) 2 (x−y) (x+ y) 2 (x−y)(x+1)(x−1) 6(x+1) 2x(x−1)
(2) ， ，
2(x+1) 2 (x−1) 2(x+1) 2 (x−1) 2(x+1) 2 (x−1)
【分析】（1）先找出最简公分母(x+ y) 2 (x−y)，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母(2x+1) 2 (x−1)，然后通分即可．
（1）
y y
=
解：∵ ，
x2+2xy+ y2 (x+ y) 2
2 2
=
，
x2−y2 (x+ y)(x−y)
x y 2
∴ ， ， 的最简公分母为：(x+ y) 2 (x−y)，
x−y x2+2xy+ y2 x2−y2
x(x+ y) 2 y(x−y) 2(x+ y)
∴三个分式通分为： ， ， ．
(x+ y) 2 (x−y) (x+ y) 2 (x−y) (x+ y) 2 (x−y)
（2）
1 1
=
解：∵ ，
2x+2 2(x+1)
3 3
=
，
x2−1 (x+1)(x−1)
x x
=
，
x2+2x+1 (x+1) 2
1 3 x
∴分式 ， ， 的最简公分母为：2(x+1) 2 (x−1)，
2x+2 x2−1 x2+2x+1
(x+1)(x−1) 6(x+1) 2x(x−1)
三个分式通分为： ， ， ．
2(x+1) 2 (x−1) 2(x+1) 2 (x−1) 2(x+1) 2 (x−1)
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍
数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
【考点7 最简分式与最简公分母】
31．（2022·湖北黄冈·三模）下列分式是最简分式的（ ）a+b a 2a a2−ab
A． B． C． D．
a2+b2 a2−3a 3a2b a2−b2
【答案】A
【分析】利用最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，可得结果．
【详解】解：A．分子分母不能分解因式，也没有公因式，是最简分式，符合题意；
a a 1
B． = = ，不是最简分式，不符合题意；
a2−3a a(a−3) a−3
2a 2
C． = ，不是最简分式，不符合题意；
3a2b 3ab
a2−ab a(a−b) a
D． = = ，不是最简分式，不符合题意．
a2−b2 (a+b)(a−b) a+b
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简分式，先将分子分母因式分解是解答此题的关键．
b a+b a4−b4 m2−8m
32．（2022·湖南张家界·二模）分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）
2a ab+a a2+b2 64−m2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】分子，分母没有公因式的分式是最简分式，根据定义逐一分析即可.
a4−b4 (a2+b2)(a2−b2)
【详解】解： = =a2−b2,
a2+b2 a2+b2
m2−8m m(m−8) m
= =− ,
64−m2 −(m+8)(m−8) m+8
b a+b
∴最简分式有 ， ，共2个，
2a ab+a
故选B.
【点睛】本题考查的是分式的约分，最简分式的判断，掌握“最简分式的含义”是解本题的关键.
x 1
33．（2022·广东广州·二模）分式 与 的最简公分母是__________．
6xyz 8x2y2
【答案】24x2y2z
【分析】根据最简公分母的定义进行求解即可．【详解】解：∵6xyz与8x2y2的最小公倍数为24x2y2z，
x 1
∴分式 与 的最简公分母是24x2y2z，
6xyz 8x2y2
故答案为：24x2y2z．
【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握最简公分母的求解方法是解题的关键，求最简公分母实际上就是
求各分母的最小公倍数．
1 5x 1−x
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）下列三个分式 ， ， 中的最简
x2−x x2−2x+1 x+x2
公分母是 ______．
【答案】x(x+1)(x−1) 2
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数，
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
1 5x 1−x
【详解】解：三个分式 ， ， 的最简公分母是x(x+1)(x−1) 2；
x2−x x2−2x+1 x+x2
故答案为：x(x+1)(x−1) 2．
【点睛】此题考查了最简公分母的定义及求法，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
x+ y x−y x−y x+ y
35．（2022·河北保定·一模下列四个分式： 、 、 、 ，其中最简分式有
x2+ y2 x2−y2 x2+ y2 x2−y2
__________个．
【答案】2##两
【分析】最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答．
x+ y
【详解】解： 是最简分式，
x2+ y2
x−y x−y 1
= = ，不是最简分式，
x2−y2 (x+ y)(x−y) x+ y
x−y
是最简分式，
x2+ y2
x+ y x+ y 1
= = ，不是最简分式，
x2−y2 (x+ y)(x−y) x−y
故最简分式有2个，故答案为：2．
【点睛】本题考查最简最简分式，判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子、分母是不是有公因式．
【考点8 分式的运算】
3 5 7
36．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：a = ，a = ，a = ，…，
1 1×2×3 2 2×3×4 3 3×4×5
2n+1
a = ．记S =a +a +a +…+a ，则S = __．
n n(n+1)(n+2) n 1 2 3 n 12
201
【答案】
182
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
3 1 1 1 3 1
【详解】解：a = = = ×1+ − × ；
1 1×2×3 2 2 2 2 1+2
5 5 1 1 1 3 1
a = = = × + − × ；
2 2×3×4 24 2 2 2 2 2+2
7 7 1 1 1 3 1
a = = = × + − × ；
3 3×4×5 60 2 3 2 2 3+2
…，
2n+1 1 1 1 3 1
a = = × + − × ，
n n(n+1)(n+2) 2 n n+1 2 n+2
当n=12时，
1( 1 1 1 ) (1 1 1 ) 3 (1 1 1 )
原式= 1+ + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅ − × + +⋅⋅⋅+
2 2 3 12 2 3 13 2 3 4 14
201
= ，
182
201
故答案为： ．
182
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
a−3 a2−4 2
37．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ⋅ + ＝____________．
a2+4a+4 a−3 a+2
a
【答案】
a+2
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．a−3 a2−4 2
【详解】 ⋅ +
a2+4a+4 a−3 a+2
a−3 (a+2)(a−2) 2
= ⋅ +
(a+2) 2 a−3 a+2
a−2 2 a
= + =
a+2 a+2 a+2
a
故答案为
a+2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
a2+2a a 2
38．（2022·西藏·中考真题）计算： ⋅ − ．
a a2−4 a−2
【答案】1
【分析】首先对各项进行因式分解，然后约分，最后得到的两个分式相减即可得到答案．
a2+2a a 2
【详解】 · −
a a2−4 a−2
a(a+2) a 2
= · −
a (a+2)(a−2) a−2
a 2
= −
a−2 a−2
=1
【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计
算是本题的解题关键．
a2−b2
(
b2−2ab)
39．（2022·湖北十堰·中考真题）计算： ÷ a+ ．
a a
a+b
【答案】
a−b
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
(a+b)(a−b) (a2+b2−2ab)
【详解】解：原式＝ ÷
a a(a+b)(a−b) a
= ×
a (a−b) 2
a+b
= ．
a−b
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
m2−3m+1 m2−1
40．（2022·四川泸州·中考真题）化简：( +1)÷ .
m m
m−1
【答案】
m+1
【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．
m2−3m+1 m2−1
【详解】解：( +1)÷
m m
m2−3m+1+m (m+1)(m−`1)
= ÷
m m
m2−2m+1 m
= ⋅
m (m+1)(m−`1)
(m−1) 2 m
= ⋅
m (m+1)(m−`1)
m−1
= ．
m+1
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【考点9 分式的化简求值】
a2−6a+9 ( 1 )
41．（2022·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值： ÷ 1− ，其中a=4．
a2−2a a−2
a−3 1
【答案】 ；
a 4
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
(a−3) 2 (a−2 1 )
【详解】解：原式= ÷ −
a(a−2) a−2 a−2
(a−3) 2 a−3
= ÷
a(a−2) a−2(a−3) 2 a−2
= ⋅
a(a−2) a−3
a−3
= ，
a
4−3 1
当a=4时，原式= = ．
4 4
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
3x+2y x
42．（2022·湖北宜昌·中考真题）求代数式 + 的值，其中x=2+ y．
x2−y2 y2−x2
【答案】1
【分析】先将原式化为同分母，再利用同分母分式的减法法则计算，约分到最简结果，将x=2+ y代入计
算即可求出值．
3x+2y x 2x+2y 2(x+ y) 2
【详解】原式= − = = = ；
x2−y2 x2−y2 x2−y2 (x+ y)(x−y) x−y
当x=2+ y时，x−y=2，
2
原式= =1．
2
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
( 4 ) x3
43．（2022·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值： x+2+ ÷ ，其中x是满足条件x≤2
x−2 x2−4x+4
的合适的非负整数．
x−2
【答案】 ， −1
x
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，在根据分式的性质化简，最后将x=1
代入求解
(x+2)(x−2)+4 (x−2) 2
【详解】解：原式＝ ×
x−2 x3
x2−4+4 (x−2) 2
= ⋅
x−2 x3
x−2
= ；
x
∵ x≤2的非负整数，x≠0,21−2
∴当x=1时，原式＝ =−1
1
【点睛】本题考查了分式的化简求值，不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
44．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案
与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
2 x−1
先化简 ÷（ − 1），再将x＝5代入求值．
x2−x x2−x
2 x−1 2
解：原式 = ÷ − ÷ 1……第1步
x2−x x2−x x2−x
2 2
= − ⋯⋯第2步
x−1 x2−x
2x 2
= − ⋯⋯第3步
x(x−1) x(x−1)
2x−2
= ⋯⋯第4步
x(x−1)
2(x−1)
= ⋯⋯第5步
x(x−1)
2
= ⋯⋯第6步
x
2
当x＝5时，原式= ⋯⋯第7步
5
(1)以上步骤中，第 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 ；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．
【答案】(1)一、没按照正确的运算顺序计算
2 −2 1
(2) − ，当x＝5时，原式 = =−
(x−1) 2 (5−1) 2 8
(3)要正确应用运算律
【分析】（1）根据分式混合运算法则分析解答；
（2）根据分式混合运算法则计算即可；
（3）根据错误的原因提出建议即可．
【详解】（1）解：第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，
故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；2 x−1
（2）原式= ÷
[
−
1]
x2−x x(x−1)
2 1 x
= ÷（ − ）
x(x−1) x x
2 x
=
•
x(x−1) −(x−1)
2
=−
，
(x−1) 2
−2 1
当x＝5时，原式
= =−
；
(5−1) 2 8
（3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，正确掌握分式混合运算法则及运算顺序是解题的关键．
( x+2 x−1 ) x−4
45．（2022·辽宁辽宁·二模）先化简，再求值： − ÷ ，其中x=2+√2．
x2−2x x2−4x+4 x2
x 2+√2
【答案】 ， ．
(x−2) 2 2
【分析】先根据分式的四则混合运算法则化简，然后将x=2+√2代入计算即可．
[ x+2 x−1 ] x2
【详解】解：原式 = − ×
x(x−2) (x−2) 2 x−4
[(x+2)(x−2) x(x−1) ] x2
= − ×
x(x−2) 2 x(x−2) 2 x−4
x−4 x2
= ⋅
x(x−2) 2 x−4
x
=
．
(x−2) 2
2+√2 2+√2
当x=2+√2时，原式 = = ．
(2+√2−2) 2 2
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式四则混合运算法则成为解答本题的关键．
【考点10 零指数幂和负整数指数幂】
46．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）KN95型口罩能过滤空气中95%的粒径约为
0.0000003 m的非油性颗粒．用科学记数法表示0.0000003是（ ）A．0.3×10−6 B．0.3×10−7 C．3×10−6 D．3×10−7
【答案】D
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n
是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：0.0000003=3×10−7，
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
47．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于2的是（ ）
A．20 B．√4 C．√2 D．(−2) −1
【答案】B
【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可．
【详解】解：A、20=1，故此选项不符合题意；
B、√4=2，故此选项符合题意；
C、√2≠2，故此选项不符合题意；
1
D、(−2) −1=− ，故此选项不符合题意．
2
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，算术平方根，负整数指数幂．熟练掌握零指数幂的运算法则，算术平方根
的定义，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
48．（2022·广东北江实验学校三模）某微生物的直径用科学记数法表示为3.2×10−5，则原数中“0”有
_____个．
【答案】5
【分析】把3.2×10−5“还原”成原数，即可求解．
【详解】解：3.2×10−5=0.000032，
∴原数中“0”有5个．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法，熟练掌握a×10−n（1≤|a|<10其中n正整数）表示
的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得的数是解题的关键．
7 0
49．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）−3−2+(
−
) +(−1)−2019=__________________．
81
【答案】−
9
【分析】根据负整指数幂和零指数幂的运算法则求解即可．
1
【详解】解：原式=− +1−1
9
1
=− ．
9
1
故答案为：− ．
9
【点睛】此题主要考查了零指数幂和负整指数幂的运算法则，正确化简各数是解题关键．
50．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知|2x−4|+√x2+ y2+2xy=0，则xy=______．
1
【答案】
4
【分析】将原式整理为|2x−4|+√(x+ y) 2=0，根据绝对值以及二次根式的非负性得出x,y的值，代入计
算即可．
【详解】∵|2x−4|+√x2+ y2+2xy=0，
∴|2x−4|+√(x+ y) 2=0，
∴2x−4=0，x+ y=0，
解得：x=2,y=−2，
1 1
∴xy=2−2= =
，
22 4
1
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了绝对值以及二次根式的非负性，利用非负性得出2x−4=0，x+ y=0是解本题的关键．
