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专题 03 分式（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 分式的定义】...........................................................................................................................................1
【考点2 分式有意义的条件】...............................................................................................................................2
【考点3 分式的值为零的条件】...........................................................................................................................6
【考点4 分式的值】...............................................................................................................................................7
【考点5 分式的基本性质】.................................................................................................................................10
【考点6 约分与通分】.........................................................................................................................................12
【考点7 最简分式与最简公分母】.....................................................................................................................14
【考点8 分式的运算】.........................................................................................................................................16
【考点9 分式的化简求值】.................................................................................................................................19
【考点10 零指数幂和负整数指数幂】.................................................................................................................22
【要点1 分式的定义】
A
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
B
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【考点1 分式的定义】
2 1 2 2 1 x+1
【例1】（2022·湖南怀化·中考真题）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有
5 π x2+4 3 x x+2
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即
可．
2 1 x+1
【详解】分母中含有字母的是 ， ， ，
x2+4 x x+2
∴分式有3个，
故选：B．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
【变式1-1】（2022·浙江台州·一模）下列代数式中，不是分式的为（ ）
1 2 a2 x
A． B．− x5 C． D．
x+1 3 a 5+ y
【答案】B
A
【分析】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式；据此可
B
以得到答案．
【详解】解：A、分母中含有字母，此代数式是分式，故此选项不符合题意；
B、分母中不含有字母，此代数式是整式，不是分式，故此选项符合题意；
C、分母中含有字母，此代数式是分式，故此选项不符合题意；
D、分母中含有字母，此代数式是分式，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查了分式的概念，熟练掌握分式的概念、整式与分式的区别，是解答此题的关键．
a−b x+3 1 a+b
【变式1-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）下列各式： ， ， ， ，
2 x 3 a−b
1
(x−y)中，是分式的共有（ ）
m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
A
【分析】利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，
B
进行解答即可．
a−b x+3 1 a+b 1 x+3 a+b 1
【详解】解：在 ， ， ， ， (x−y)中， ， ， (x−y)是分式，共3个，
2 x 3 a−b m x a−b m
故选：C．
【点睛】本题考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
【变式1-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：
3 1
=1+ ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
2 2
4 x+1
式”，如： ， ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
x+1 x2x+2 x2−1
“假分式”，如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和
x−1 2x+1
x+2 (x−1)+3 x−1 3 3
的形式，如： = = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
x2 (x2−4)+4 (x+2)(x−2) 4 4
= = + =x+2+ ．
x−2 x−2 x−2 x−2 x−2
x2
(1)分式 是________分式（填“真”或“假”）；
2x
3x+1 x2+3
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
x−1 x+2
2x2−1
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
x−1
【答案】(1)假
4 7
(2)3+ ，x−2+
x−1 x+2
2x2−1
(3)当x＝2或0时，分式 的值为整数
x−1
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
（1）
解：∵分子的次数大于分母的次数，
x2
∴分式 是假分式，
2x
故答案为：假；
（2）
3x+1
解：
x−1
3x−3+4
=
x−1
4
=3+ ，
x−1x2+3
x+2
x2−4+7
=
x+2
(x+2)(x−2)+7
=
x+2
7
=x−2+ ；
x+2
（3）
2x2−1
解：
x−1
2x2−2+1
=
x−1
2(x+1)(x−1)+1
=
x−1
1
＝2(x+1)+ ，
x−1
∵分式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得x=2或x=0，
2x2−1
∴当x＝2或0时，分式 的值为整数．
x−1
【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
【考点2 分式有意义的条件】
【例2】（2022·山东·济宁学院附属中学二模）当x为任意实数时，下列分式有意义的是（ ）
x+1 x 2 x
A． B． C． D．
x2 x−1 x+1 x2+1
【答案】D
【分析】根据分式的分母不能为0进行判断即可得．
x+1
【详解】解：A、当x=0时，x2=0，分式 没有意义，则此项不符题意；
x2
x
B、当x=1时，x−1=0，分式 没有意义，则此项不符题意；
x−1
2
C、当x=−1时，x+1=0，分式 没有意义，则此项不符题意；
x+1x
D、当x为任意实数时，x2+1≥1，所以分式 有意义，则此项符合题意；
x2+1
故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
x−2
【变式2-1】（2022·山东菏泽·二模）要使分式 有意义，x的取值应该满足（ ）
(x+1)(x−2)
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【答案】D
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得：(x+1)(x−2)≠0，
解得：x≠−1且x≠2，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母
为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
⇔ ⇔ x−2
【变式2-2】（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）对于分式 来说，当x=−1时，无意义，
x−a
则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．−1 D．−2
【答案】C
【分析】根据分式无意义的条件求解即可．
x−2
【详解】解：当分式 无意义时，x-a=0,
x−a
而此时x=-1
所以，-1-a=0
解得，a=-1
故选：C
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
x−5
【变式2-3】（2022·贵州毕节·一模）关于分式 ，有下列说法，错误的有（ ）个：
x2−4x+a
（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；
（2）当x＝5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分
析即可．
【详解】解：（1）当x取1时，x❑ 2−4x+a=1−4+a=a−3，要使分式有意义即a−3≠0，解得a≠3，
故说法正确；
（2）当x=5时，x❑ 2−4x+a=25−20+a=5+a，若a=−5，则分式无意义，
故说法错误；
（3）由题意得¿，解得¿，
故说法正确；
（4）当x取任何值时，分式一定有意义，即x❑ 2−4x+a≠0，则y＝x2﹣4x+a与x轴没有交点，
故说法正确；
综上所述：错误的说法有1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零
分母不等于零.
【考点3 分式的值为零的条件】
【例3】（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（ ）
1
A．x+2 B．x2−2 C． D．(x+2) 2
x+2
【答案】C
【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x的值即可判断．
【详解】解：A．当x=-2时，x+2=0，故本选项不合题意；
B．当x=±√2时，x2-2=0，故本选项不合题意；
1 1
C．在分式 中，因为x+2≠0，所以分式 ≠0，故本选项符合题意；
x+2 x+2
D．当x=-2时，（x+2）2=0，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式值为零和分式有意义的条件以及偶数的非负数性质，掌握分式值为零和分式有意
义的条件是解答本题的关键．|m|−5
【变式3-1】（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若分式 的值为零，则m=（ ）
m−5
A．−5 B．5 C．±5 D．0
【答案】A
【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得：|m|−5＝0且m−5≠0，
解得：m＝−5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题
的关键．
|x|−1
【变式3-2】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）若分式 的值为零，则x的值为
x−1
______．
【答案】-1
【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：|x|−1=0且x−1≠0，
解得：x=−1．
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等
于0是解题的关键．
a(b−c)+b(c−b)
【变式3-3】（2022·河北保定·二模）已知分式 有意义且值为零（a，b，c均为正实
a−c
数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件和分式的值为0得出a-c≠0且a(b-c)+b(c-b)=0，再求出即可．
a(b−c)+b(c−b)
【详解】解：∵ 分式有意义，
a−c
∴a−c≠0，
∴a≠c，
a(b−c)+b(c−b)
∵ 值为零，
a−c∴a(b−c)+b(c−b)=0，
∴a(b−c)+b(c−b)=(b−c)(a−b)=0，
解得：a=b或b=c，
∴三角形一定为等腰三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0，等腰三角形的判定和等边三角形的判定等知识点，
能求出a、b、c的关系式是解此题的关键．
【考点4 分式的值】
2x＋1
【例4】（2022·辽宁·盘山县教师进修学校八年级期末）若分式 的值为正，则x的取值范围为（ ）．
x2
1 1
A．x≥－ B．x≤－
2 2
1 1
C．x＞－ 且x≠0 D．x＜－
2 2
【答案】C
【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是
正数则可，从而列出不等式．
【详解】解：由题意得，x2>0，且x≠0，
2x＋1
∵分式 的值为正，
x2
∴2x+1＞0，
1
∴x＞- ，
2
1
所以x＞- 且x≠0．
2
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以
未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号
的方向．
1 a−ab+b
【变式4-1】（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且|a−b|= ，则 = ______．
2 a2+ab+1
1
【答案】
161 1
【分析】利用a与b互为相反数，|a−b|= ，求解a+b=0,ab=− , 再整体代入求值即可．
2 16
【详解】解：∵ a与b互为相反数，
∴a+b=0,
∴b=−a,
1
∵ |a−b|=
2
1
∴|2a|= ,
2
1
∴a=± ,
4
1 1
当a= , 则b=− ,
4 4
1 1
当a=− , 则b= ,
4 4
1
∴ab=− ,
16
a−ab+b −ab 1
∴ = =−ab= .
a2+ab+1 a(a+b)+1 16
1
故答案为：
16
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，绝对值方程的解法，分式的化简求值，熟练的求解
1
ab=− 是解本题的关键．
16
【变式4-2】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级阶段练习）已知正整数x，y满足
x+8
y= ，则符合条件的x，y的值有______组．
2x−1
【答案】2
x+8
【分析】根据x，y均为正整数，可知y= ≥1、x≥1，据此建立不等式x+8≥2x−1并求解可知
2x−1
x+8
x≤9，结合x≥1，可确定可知符合条件的x的值，然后根据y= 确定与之对应的y的值，即可确定
2x−1
符合条件的x，y的值的组数．
【详解】解：∵x，y均为正整数，x+8
∴y= ≥1，x≥1，
2x−1
∴2x−1≥1，
∴x+8≥2x−1，解得x≤9，
结合x≥1，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
10 11 12 13 14 15 16
对应的y的值为：9、 、 、 、 、 、 、 、1，
3 5 7 9 11 13 15
∴符合条件的x、y的值为¿，¿，
∴符合条件的x，y的值有2组．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题意建立不
等式并求解是解题关键．
2x−2
【变式4-3】（2022·山东聊城·八年级期末）已知x为整数，且分式 的值为整数，则满足条件的所有
x2−1
整数x的和是( )
A．-4 B．-5 C．1 D．3
【答案】B
【分析】先把分式进行化简，然后根据分式的值为整数，得到x+1能被2整除，然后求出x的值，再结合
x2−1≠0，即可得到x的值，即可得到答案.
2x−2 2(x−1) 2
【详解】解：∵ = = ，
x2−1 (x+1)(x−1) x+1
2x−2
又∵x为整数，且分式 的值为整数，
x2−1
∴x+1能被2整除，
∴x+1=−2或x+1=−1或x+1=2或x+1=1；
∴x=−3或−2或1或0；
∵x2−1≠0，
∴x≠±1，
∴x=−3或−2或0；
∴满足条件的所有整数x的和是：−3+(−2)+0=−5；
故选：B.
【点睛】本题考查了分式的值，分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则进行解题，注意分式的分母不能等于0.
【要点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C
=
B B⋅C
； （C≠0）。
【考点5 分式的基本性质】
a
【例5】（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数b>a>1．则下列各式中比 的值大的是
b
（ ）
2a a2 a−1 a+1
A． B． C． D．
2b b2 b−1 b+1
【答案】D
【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．
a
【详解】解：因为b>a>1，所以，0< <1，
b
2a a
A． = ，故此选项不符合题意；
2b b
a2 a
B． < ，故此选项不符合题意；
b2 b
a−1 a
C． < ，故此选项不符合题意；
b−1 b
a+1 a
D． > ，符合题意；
b+1 b
故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
2a
【变式5-1】（2022·河北·一模）如果要使分式 的值保持不变，那么分式应（ ）
a−3b
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
【答案】B
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．2×2a 4a 2a
【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, = ≠ ，故该选项不正确，不符合题意；
2a−3×3b 2a−9b a−3b
2×3a 6a 2a
B. a，b同时扩大3倍， = = ，故该选项正确，符合题意；
3a−3×3b 3a−9b a−3b
2×2a 4a 2a
= ≠
C. a扩大2倍，b缩小3倍， 1 2a−b a−3b，故该选项不正确，不符合题意；
2a−3× b
3
1
2× a
2 a 2a
D. a缩小2倍，b缩小3倍 = ≠ ，故该选项不正确，不符合题意；
1 2a−b a−3b
2a−3× b
3
故选B
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
0.02x+0.5 y
【变式5-2】（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数化为整
x+0.004 y
数，其结果为（ ）
20x+500 y 20x+500 y 2x+50 y 2x+5 y
A． B． C． D．
1000x+4 y 100x+4 y 1000x+4 y x+4 y
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
0.02x+0.5 y
【详解】解：
x+0.004 y
1000×(0.02x+0.5 y)
＝
1000×(x+0.004 y)
20x+500 y
＝ ，
1000x+4 y
故选：A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的
值不变．
【变式5-3】（2022·安徽·模拟预测）下列代数式变形正确的是（ ）
x2+ y2 −x+ y x+ y
A． =x+ y B． =−
x+ y 3 3
x2−y2 x+ y 0.2x+ y 2x+ y
C． = D． =
(x−y) 2 x−y 0.2 2【答案】C
【分析】根据提取公因式、平方差公式、分式的性质，对各个选项逐一计算，即可得到答案．
【详解】∵x2+ y2≠(x+ y) 2
x2+ y2
∴ ≠x+ y，即选项A错误；
x+ y
−x+ y x−y
=− ，即选项B错误；
3 3
x2−y2 (x+ y)(x−y) x+ y
= = ，即选项C正确；
(x−y) 2 (x−y) 2 x−y
0.2x+ y 2x+10 y
= =x+5 y，即选项D错误；
0.2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了提取公因式、分式化简、乘法公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式化简的性质，
从而完成求解．
【要点3 约分与通分】
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分
式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【考点6 约分与通分】
x2−4
【例6】（2022·河北·模拟预测）化简 的结果是（ ）
x(x+2)
x−2 x+2 2 x−2
A． B． C． D．
x x x x+2
【答案】A
【分析】根据因式分解法对分式进行化简，
x2−4
【详解】解：
x(x+2)
(x−2）(x+2)
=
x(x+2)
x−2
=
x
故选A.【点睛】标题主要考查了分式的约分，将分子进行正确因式分解是解答本题的关键.
【变式6-1】（2022·重庆八中三模）把下列各式通分：
2y2
(1)x−y与 ；
x+ y
2 a−1 a
(2) , 与 .
9−3a a2−9 a2−6a+9
x2−y2 2y2 2y2
【答案】(1) x−y= ， = ；
x+ y x+ y x+ y
2 2(a+3)(a−3) a−1 3(a−1)(a−3) a 3a(a+3)
(2) =− ; = ； = ；
9−3a 3(a+3)(a−3) 2 a2−9 3(a+3)(a−3) 2 a2−6a+9 3(a+3)(a−3) 2
【分析】（1）先找到最简公分母，再通分即可；
（2）先对分母因式分解，再找到最简公分母，通分即可．
【详解】(1)最简公分母：x+y，
(x−y)(x+ y) x2−y2
x−y= = ；
x+ y x+ y
2y2 2y2
= ；
x+ y x+ y
(2)最简公分母：3(a+3)(a−3)2；
2 2 2(a+3)(a−3)
= =− ，
9−3a 3(3−a) 3(a+3)(a−3) 2
a−1 a−1 3(a−1)(a−3)
= =
，
a2−9 (a+3)(a−3) 3(a+3)(a−3) 2
a a 3a(a+3)
= =
.
a2−6a+9 (a−3) 2 3(a+3)(a−3) 2
【点睛】此题考查通分，解题关键在于掌握运算法则.
x−1
【变式6-2】（2022·上海·位育中学模拟预测）化简： = ________．
x2−3x+2
1
【答案】
x−2
【分析】对分母进行因式分解后约分即可．
x−1
【详解】解：
x2−3x+2x−1
=
(x−1)(x−2)
1
= ．
x−2
1
故答案为： ．
x−2
【点睛】本题考查的是分式的化简，能用十字相乘法对分母进行因式分解是关键．
5x−7 A B
【变式6-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）若 = + ，则A、B
x2−4x−5 x+1 x−5
的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
【答案】B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系数相
等，即可求出A，B．
A B A(x−5)+B(x+1)
【详解】解： + =
x+1 x−5 (x+1)(x−5)
Ax−5A+Bx+B
=
x2−4x−5
(A+B)x+(−5A+B)
= ．
x2−4x−5
5x−7 A B
= +
∵ ，
x2−4x−5 x+1 x−5
5x−7 (A+B)x+(−5A+B)
∴ = ，
x2−4x−5 x2−4x−5
∴¿，
①−②得：6A=12，
∴A=2．
将A=2代入①中，解得：B=3，
∴方程组¿的解为：¿．
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让
所得分子的对应系数相等是解题的关键．【考点7 最简分式与最简公分母】
2 x2+ y2 x2−1 x+1
【例7】（2022·河南南阳·八年级期中）下列分式：① ；② ；③ ；④ ，其中最简
2x+4 x+ y x2+x x2+1
分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
2 2 1
= =
【详解】解：① ，故此分式不是最简分式，不符合题意；
2x+4 2(x+2) x+2
x2+ y2
② 是最简分式，符合题意；
x+ y
x2−1 (x+1)(x−1) x−1
③ = = ，故此分式不是最简分式，不符合题意；
x2+x x(x+1) x
x+1
④ 是最简分式，符合题意；
x2+1
故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式的判定，解的关键是正确理解最简分式的定义．
1 1
【变式7-1】（2022·湖南常德·八年级期中）分式 , 的最简公分母是____________________．
2x2y 6x y3
【答案】6x2y3
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
1 1
【详解】解：分式 , 的最简公分母为6x2y3，
2x2y 6x y3
故答案是：6x2y3．
【点睛】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
【变式7-2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区教师进修学校八年级期末）下列四个分式中，是
最简分式的是( )
a2+b2 x2+2x+1 2ax a2−b2
A． B． C． D．
a+b x+1 3ay a−b【答案】A
【分析】根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.
a2+b2 x2+2x+1 (x+1) 2 2ax 2x
【详解】 是最简分式； = =x+1，不是最简分式； = ，不是最简分式；
a+b x+1 x+1 3ay 3 y
a2−b2 (a+b)(a−b)
= =a+b，不是最简分式.
a−b a−b
故选A.
【点睛】此题主要考查了最简分式的概念， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，
看分式的分子分母有没有能约分的公因式是解题关键.
2 3x−1 2x+1
【变式7-3】（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中） ， ， 的最简公分母是
x−1 x2−1 2x+2
______________．
【答案】2(x+1)(x−1)
【分析】先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出．
【详解】解：∵x2−1=(x+1)(x−1)，2x+2=2(x+1)，
2 3x−1 2x+1
∴ ， ， 的最简公分母是2(x+1)(x−1)．
x−1 x2−1 2x+2
故答案为：2(x+1)(x−1)
【点睛】本题主要考查了求分式的最简公分母，熟练掌握通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公
分母，这样的公分母叫最简公分母是解题的关键．
【要点4 分式的运算】
分式的乘除
①乘法法则：
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
②除法法则：
a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
b d b c b⋅c
③分式的乘方：
分式的加减
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
【考点8 分式的运算】
【例8】（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
x 1 2
( − )÷
x2−4 x+2 x−2
x x−2 x−2
=( − )⋅ ⋯⋯第一步
x2−4 x2−4 2
x−x−2 x−2
= ⋅ ⋯⋯第二步
x2−4 2
−2 x−2
= ⋅ ⋯⋯第三步
(x+2)(x−2) 2
1
=− ⋯⋯第四步
x+2
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
1
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
x+2
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：①一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：
x 1 2
( − )÷
x2−4 x+2 x−2x x−2 x−2
=( − )⋅
x2−4 x2−4 2
x−x+2 x−2
= ⋅
x2−4 2
2 x−2
= ⋅
(x+2)(x−2) 2
1
= ．
x+2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
x2−4 x2+2x 1
【变式8-1】（2022·辽宁大连·中考真题）计算 ÷ − ．
x2−4x+4 2x−4 x
1
【答案】
x
【分析】先把除法转化为乘法运算，再进行乘法运算，最后计算减法运算即可.
x2−4 x2+2x 1
【详解】解： ÷ −
x2−4x+4 2x−4 x
(x+2)(x−2) 2(x−2) 1
= · −
(x−2) 2 x(x+2) x
2 1 1
= − = .
x x x
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.
2x x2−4
【变式8-2】（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示 − 的值的对应点落在下图
x+2 (x+2) 2
数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
【答案】B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．2x x2−4
【详解】解： −
x+2 (x+2) 2
2x(x+2) x2−4
= −
(x+2) 2 (x+2) 2
2x2+4x−x2+4
=
(x+2) 2
(x+2) 2
=
(x+2) 2
=1；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
3 5 7
【变式8-3】（2022·湖南·中考真题）有一组数据：a = ，a = ，a = ，…，
1 1×2×3 2 2×3×4 3 3×4×5
2n+1
a = ．记S =a +a +a +…+a ，则S = __．
n n(n+1)(n+2) n 1 2 3 n 12
201
【答案】
182
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
3 1 1 1 3 1
【详解】解：a = = = ×1+ − × ；
1 1×2×3 2 2 2 2 1+2
5 5 1 1 1 3 1
a = = = × + − × ；
2 2×3×4 24 2 2 2 2 2+2
7 7 1 1 1 3 1
a = = = × + − × ；
3 3×4×5 60 2 3 2 2 3+2
…，
2n+1 1 1 1 3 1
a = = × + − × ，
n n(n+1)(n+2) 2 n n+1 2 n+2
当n=12时，
1( 1 1 1 ) (1 1 1 ) 3 (1 1 1 )
原式= 1+ + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅ − × + +⋅⋅⋅+
2 2 3 12 2 3 13 2 3 4 14
201
= ，
182201
故答案为： ．
182
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
【考点9 分式的化简求值】
( 3 ) x2−4x+4
【例9】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值： −x−1 ÷ ，其中x=3．
x−1 x−1
2+x
【答案】 ，−5
2−x
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
[ 3 (x+1)(x−1)] x−1
【详解】解：原式= − ⋅
x−1 x−1 (x−2) 2
3−(x+1)(x−1) x−1
= ⋅
x−1 (x−2) 2
4−x2 x−1
= ⋅
x−1 (x−2) 2
(2+x)(2−x) x−1
= ⋅
x−1 (2−x) 2
2+x
=
2−x
当x=3时，原式=−5，
故答案是：−5 ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要
约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
( 4) a−2
【变式9-1】（2022·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值： a− ÷ ，请从不等式组¿ 的整数解
a a2
中选择一个合适的数求值．
【答案】a2+2a，3
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可
求出答案．
( 4) a−2
【详解】解： a− ÷
a a2a2−4 a2
= ⋅
a a−2
(a+2)(a−2) a2
= ⋅
a a−2
=a2+2a，
¿，
解不等式①得：a>−1
解不等式②得：a≤2，
∴−1b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是___________；
S
（2）若代数式a2−2ab−b2的值为零，则 四边形ABCD 的值是___________．
S
矩形PQMN
【答案】 a−b 3+2√2
【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；
（2）根据a2−2ab−b2=0分解因式可得(a−b+√2b)(a−b−√2b)=0，继而求得a=b+√2b，根据这5 5
四个矩形的面积都是5，可得EP= ,EN= ，再进行变形化简即可求解．
a b
【详解】（1）∵①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a,DE=b，
∴PQ=a−b，
故答案为：a−b；
（2）∵a2−2ab−b2=0，
∴a2−2ab+b2−2b2=(a−b) 2−2b2=(a−b+√2b)(a−b−√2b)=0，
∴a−b+√2b=0或a−b−√2b=0，即a=b−√2b（负舍）或a=b+√2b
∵这四个矩形的面积都是5，
5 5
∴EP= ,EN= ，
a b
(5 5) 5(a+b)
(a+b)⋅ + (a+b)⋅
S b a ab (a+b) 2
∴ 四边形ABCD= = = ，
S
矩形PQMN (a−b)
(5
−
5)
(a−b)⋅
5(a−b) (a−b) 2
b a ab
a2+b2+2ab a2+b2+a2−b2 a2
= = = ，
a2+b2−2ab a2+b2−a2+b2 b2
(b+√2b) 2
= =3+2√2．
b2
【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．
(1 1) 2 ( 1 1 )
【变式9-3】（2022·四川南充·中考真题）已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则 + ÷ − 的值是
a b a2 b2
（ ）
√5 √5
A．√5 B．−√5 C． D．−
5 5
【答案】B
a+b
【分析】先将分式进件化简为 ，然后利用完全平方公式得出a−b=√ab，a+b=√5ab，代入计算即
b−a
可得出结果．1 1 2 1 1
【详解】解：( + ) ÷( − )
a b a2 b2
a+b 2 b2−a2
=( ) ÷
ab a2b2
(a+b) 2 a2b2
= ×
a2b2 (b+a)(b−a)
a+b
= ，
b−a
a2+b2=3ab，
∵a2−2ab+b2=ab，
∴
(a−b) 2=ab，
∴
，
∵aa>−bb>=0√ab，
∴a2+b2=3ab，
∵a2+2ab+b2=5ab，
∴
(a+b) 2=5ab，
∴
，
∵aa>+bb>=0√5ab，
∴ √5ab
原式
−√ab
∴ =
=−√5，
故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
【考点10 零指数幂和负整数指数幂】
【例10】（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（ ）
A．|−2| B．−|2| C．2−1 D．(−2) 0
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂逐项判断即可得．【详解】解：A、|−2|=2，则此项符合题意；
B、−|2|=−2，则此项不符合题意；
1
C、2−1=
，则此项不符合题意；
2
D、(−2) 0=1，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键．
【变式10-1】（2022·湖北荆门·中考真题）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数
据0.000000001用科学记数法表示为( )
A． 10−10 B． 10−9 C． 10−8 D． 10−7
【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n，（1≤|a|<10且n为整数），确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于1时，n是正数；当原
数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】0.000000001变成1，小数点向左移动了9位，且|0.000000001|<1，所以a=1，n=−9，即10−9．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，确定a及n的值是解题的关键．
【变式10-2】（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
1
【分析】先计算2−2= ，30=1，然后比较大小即可．
4
1
【详解】解：2−2= ，30=1，
4
1
<1，
4
∵
2−2<30，
∴故答案为： ．
【点睛】本<题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解
题关键．
【变式10-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）计算：1 −1
(−1) 2020×(π−3) 0+(− ) +|−2|．
2
【答案】1
【分析】根据(−1) n运算、零指数幂、负整数指数幂及绝对值运算分别求解后，利用有理数的混合运算法
则求解即可得到结论
1 −1
【详解】解：(−1) 2020×(π−3) 0+(− ) +|−2|
2
=1×1−2+2
=1．
【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及到(−1) n运算、零指数幂、负整数指数幂及绝对值运算等知识，
熟练掌握运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
