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专题 03 分式（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 分式的定义】...........................................................................................................................................1
【考点2 分式有意义的条件】...............................................................................................................................1
【考点3 分式的值为零的条件】...........................................................................................................................2
【考点4 分式的值】...............................................................................................................................................2
【考点5 分式的基本性质】...................................................................................................................................3
【考点6 约分与通分】...........................................................................................................................................4
【考点7 最简分式与最简公分母】.......................................................................................................................4
【考点8 分式的运算】...........................................................................................................................................5
【考点9 分式的化简求值】...................................................................................................................................6
【考点10 零指数幂和负整数指数幂】...................................................................................................................6
【要点1 分式的定义】
A
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
B
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【考点1 分式的定义】
2 1 2 2 1 x+1
【例1】（2022·湖南怀化·中考真题）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有
5 π x2+4 3 x x+2
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2022·浙江台州·一模）下列代数式中，不是分式的为（ ）
1 2 a2 x
A． B．− x5 C． D．
x+1 3 a 5+ y
a−b x+3 1 a+b
【变式1-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）下列各式： ， ， ， ，
2 x 3 a−b
1
(x−y)中，是分式的共有（ ）
m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：
3 1
=1+ ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
2 2
4 x+1
式”，如： ， ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
x+1 x2
x+2 x2−1
“假分式”，如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和
x−1 2x+1
x+2 (x−1)+3 x−1 3 3
的形式，如： = = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
x2 (x2−4)+4 (x+2)(x−2) 4 4 ．
= = + =x+2+
x−2 x−2 x−2 x−2 x−2
x2
(1)分式 是________分式（填“真”或“假”）；
2x
3x+1 x2+3
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
x−1 x+2
2x2−1
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
x−1
【考点2 分式有意义的条件】
【例2】（2022·山东·济宁学院附属中学二模）当x为任意实数时，下列分式有意义的是（ ）
x+1 x 2 x
A． B． C． D．
x2 x−1 x+1 x2+1
x−2
【变式2-1】（2022·山东菏泽·二模）要使分式 有意义，x的取值应该满足（ ）
(x+1)(x−2)
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
x−2
【变式2-2】（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）对于分式 来说，当x=−1时，无意义，
x−a
则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．−1 D．−2
【考点3 分式的值为零的条件】
【例3】（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（ ）1
A．x+2 B．x2−2 C． D．(x+2) 2
x+2
|m|−5
【变式3-1】（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若分式 的值为零，则m=（ ）
m−5
A．−5 B．5 C．±5 D．0
|x|−1
【变式3-2】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）若分式 的值为零，则x的值为
x−1
______．
a(b−c)+b(c−b)
【变式3-3】（2022·河北保定·二模）已知分式 有意义且值为零（a，b，c均为正实
a−c
数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点4 分式的值】
2x＋1
【例4】（2022·辽宁·盘山县教师进修学校八年级期末）若分式 的值为正，则x的取值范围为（ ）．
x2
1 1
A．x≥－ B．x≤－
2 2
1 1
C．x＞－ 且x≠0 D．x＜－
2 2
1 a−ab+b
【变式4-1】（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且|a−b|= ，则 = ______．
2 a2+ab+1
【变式4-2】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级阶段练习）已知正整数x，y满足
x+8
y= ，则符合条件的x，y的值有______组．
2x−1
2x−2
【变式4-3】（2022·山东聊城·八年级期末）已知x为整数，且分式 的值为整数，则满足条件的所有
x2−1
整数x的和是( )
A．-4 B．-5 C．1 D．3
【要点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C
=
B B⋅C
； （C≠0）。【考点5 分式的基本性质】
a
【例5】（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数b>a>1．则下列各式中比 的值大的是
b
（ ）
A．2a B．a2 C．a−1 D．a+1
2b b2 b−1 b+1
2a
【变式5-1】（2022·河北·一模）如果要使分式 的值保持不变，那么分式应（ ）
a−3b
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
0.02x+0.5 y
【变式5-2】（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数化为整
x+0.004 y
数，其结果为（ ）
20x+500 y 20x+500 y 2x+50 y 2x+5 y
A． B． C． D．
1000x+4 y 100x+4 y 1000x+4 y x+4 y
【变式5-3】（2022·安徽·模拟预测）下列代数式变形正确的是（ ）
x2+ y2 −x+ y x+ y
A． =x+ y B． =−
x+ y 3 3
C． x2−y2 x+ y D．0.2x+ y 2x+ y
= =
(x−y) 2 x−y 0.2 2
【要点3 约分与通分】
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分
式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【考点6 约分与通分】
x2−4
【例6】（2022·河北·模拟预测）化简 的结果是（ ）
x(x+2)
x−2 x+2 2 x−2
A． B． C． D．
x x x x+2
【变式6-1】（2022·重庆八中三模）把下列各式通分：2y2
(1)x−y与 ；
x+ y
2 a−1 a
(2) , 与 .
9−3a a2−9 a2−6a+9
x−1
【变式6-2】（2022·上海·位育中学模拟预测）化简： = ________．
x2−3x+2
5x−7 A B
【变式6-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）若 = + ，则A、B
x2−4x−5 x+1 x−5
的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
【考点7 最简分式与最简公分母】
【例7】（2022·河南南阳·八年级期中）下列分式：① 2 ；②x2+ y2；③x2−1；④ x+1 ，其中最简
2x+4 x+ y x2+x x2+1
分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 1
【变式7-1】（2022·湖南常德·八年级期中）分式 , 的最简公分母是____________________．
2x2y 6x y3
【变式7-2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区教师进修学校八年级期末）下列四个分式中，是
最简分式的是( )
a2+b2 x2+2x+1 2ax a2−b2
A． B． C． D．
a+b x+1 3ay a−b
2 3x−1 2x+1
【变式7-3】（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中） ， ， 的最简公分母是
x−1 x2−1 2x+2
______________．
【要点4 分式的运算】
分式的乘除
①乘法法则：
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
②除法法则：a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
b d b c b⋅c
③分式的乘方：
分式的加减
①同分母分式的加减：
；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
【考点8 分式的运算】
【例8】（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
x 1 2
( − )÷
x2−4 x+2 x−2
x x−2 x−2
=( − )⋅ ⋯⋯第一步
x2−4 x2−4 2
x−x−2 x−2
= ⋅ ⋯⋯第二步
x2−4 2
−2 x−2
= ⋅ ⋯⋯第三步
(x+2)(x−2) 2
1
=− ⋯⋯第四步
x+2
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【变式8-1】（2022·辽宁大连·中考真题）计算 x2−4 x2+2x 1．
÷ −
x2−4x+4 2x−4 x【变式8-2】（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示 2x x2−4 的值的对应点落在下图
−
x+2 (x+2) 2
数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
3 5 7
【变式8-3】（2022·湖南·中考真题）有一组数据：a = ，a = ，a = ，…，
1 1×2×3 2 2×3×4 3 3×4×5
2n+1
a = ．记S =a +a +a +…+a ，则S =__．
n n(n+1)(n+2) n 1 2 3 n 12
【考点9 分式的化简求值】
( 3 ) x2−4x+4
【例9】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值： −x−1 ÷ ，其中x=3．
x−1 x−1
( 4) a−2
【变式9-1】（2022·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值： a− ÷ ，请从不等式组¿ 的整数解
a a2
中选择一个合适的数求值．
【变式9-2】（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，
已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b，且a>b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是___________；
（2）若代数式 的值为零，则S 的值是___________．
a2−2ab−b2 四边形ABCD
S
矩形PQMN
【变式9-3】（2022·四川南充·中考真题）已知 ，且 ，则(1 1) 2 ( 1 1 )的值是
a>b>0 a2+b2=3ab + ÷ −
a b a2 b2（ ）
√5 √5
A．√5 B．−√5 C． D．−
5 5
【考点10 零指数幂和负整数指数幂】
【例10】（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（ ）
A． B． C． D．
|−2| −|2| 2−1 (−2) 0
【变式10-1】（2022·湖北荆门·中考真题）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数
据0.000000001用科学记数法表示为( )
A． 10−10 B． 10−9 C． 10−8 D． 10−7
【变式10-2】（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
【变式10-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）计算：
1 −1
(−1) 2020×(π−3) 0+(− ) +|−2|．
2
