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专题 03 动点问题中三角形、四边形的存在性问题
几何动态问题包括几何动点问题、几何线动问题和面动问题，本专题重点探究动点问题，线动和面动问
题，将在图形变换专题中进行探究。
几何动点问题的考查面比较多，但总体看以考查点在几何图形中运动时产生的线段的数量关系和位置关
系，角度关系以及三角形、四边形的存在性居多。线段和角度问题会在其他专题中进行分析，在这里只讨
论三角形和四边形的存在性问题。
在解决几何动点问题中的三角形和四边形存在性问题时，一般有以下几种情况：
1.等腰三角形存在性问题：在解等腰三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段
的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用等腰三角形的概念，有2条边相等
的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。
2.直角三角形存在性问题：在解直角三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段
的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用勾股定理的逆定理，同时进行分
类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。
3.全等三角形存在性问题：在解全等三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段
的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各边长，
最后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。
4.相似三角形存在性问题：在解相似三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变化
的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各
边长，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。
5.平行四边形的存在性问题：在解平行四边形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变
化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出平行四边形、矩形、菱形或正方形的其他各边的长度，最后
利用平行四边形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。
可见在解决此类问题时，关键是设出未知数x，并用x表示出各线段的长度，利用各几何图形的判定，列
出方程进行求解，是此类题型的共性，但要注意，在解决此类问题时，要注意分类讨论。（2022·山东枣庄·统考中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB
方向以每秒 cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运
动，设运动的时间为t秒．
(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
（1）根据勾股定理求出 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
（2）作 于 ， 于 ，证明出 为直角三角形，进一步得出 和 为等腰
直角三角形，再证明四边形 为矩形，利用勾股定理在 、 中，结合四边形 为
菱形，建立等式进行求解．
【答案】(1)当t＝2时，PQ⊥BC
(2)当t的值为 时，四边形QPCP′为菱形
【详解】（1）解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝ ＝ （cm），
由题意得，AP＝ tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（4 ﹣ t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ AC，
，
，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）解：作 于 ， 于 ，如图，， ，
， ，
为直角三角形，
，
和 为等腰直角三角形，
， ，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
四边形 为菱形，
，
，
， （舍去）．
的值为 ．
此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方
程的思想解决问题是解本题的关键．（2021·广西河池·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，D，E分别是AB，
BC边上的动点，以BD为直径的 交BC于点F．
（1）当 时，求证： ；
（2）当 是等腰三角形且 是直角三角形时，求AD的长．
（1）根据BD是圆的直径，可以得到∠BFD=90°，即∠DFC=90°，然后利用“HL”证明△CAD≌△CFD即
可；
（2）因为三角形CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于三角形DEB是直
角三角形，所以D和F都可以为直角的顶点，需要分两类讨论；当∠EDB=90°时，∠DEB＜90°，∠CED
是钝角，所以此时只能构造EC=ED的等腰三角形，故取D点使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，
可以证明DE=DC，且DE∥DC，得到△BDE∽△BAC即可求解；当∠AED=90°时，若三角形CED为等腰三
角形，则∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DE，利用三角函数或相似即可求出AD.
【答案】（1）证明见解析；（2） 或
【详解】解：（1）∵BD是圆的直径，
∴∠DFB=90°，
∴∠DFC=90°，
在Rt△CAD和Rt△FCD中，
，
∴△CAD≌△CFD（HL）；
（2）∵三角形DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角顶点只能是D点和E点，
若∠EDB=90°，如图在AB上取D点使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵∠CAB=∠EDB=90°，
∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE，
∴∠ECD=∠CDE，
∴CE=DE，
此时三角形ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，三角形DEB是E为直角顶点的直角三角形，
设CE=DE=x，
在直角三角形ABC中 ，
∴BE=5-x，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵DE∥AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ；若∠DEB=90°，如图所示，∠CED=90°，
∵△CED为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，
设EC=DC=y，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴AD的长为 或 .本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够利
用数形结合的思想进行分类讨论求解.
1．（2022·上海松江·校考三模）如图 ，在梯形 中，
动点 在边 上，过点 作 ，与边 交于点 ，过点 作 ，与边 交于点 ，设线
段 ．
(1)求 关于 的函数解析式，并写出定义域；
(2)当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的值；
(3)如图 ，作 的外接圆 ，当点 在运动过程中，外接圆 的圆心 落在 的内部不包括
边上时，求出 的取值范围．
【答案】(1) ， ；(2) 或 ；(3)
【分析】（1）由题中条件 、 可知四边形 是平行四边形，故CE
；过点 作垂线 交 于点 ，交 于点 ，可得相似的 和
，用含 、 的表达式表示它们的边长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得 关于 的解
析式；下一步即为求得 和 的各自边长，过点 作垂线 交 延长线于点 ，由
且 可得四边形 为矩形，则 ；在 中，由勾股定理可算得 的长度；在 中， ，则可由勾股定理求得
的长度， ，至此已求得所有所需边长，
根据相似三角形边长比例关系： ，代入各边长表达式即可得 关于 的解析式，再根据题中要
求写出定义域即可；
（2）因为 是以 为腰的等腰三角形， ，由勾股定理知 ，过点 作
交 于点 ，则四边形 是矩形， ；在直角三角形 中，运用勾股
定理进行计算即可得解；
（3）根据三角形的外接圆圆心落在三角形的内部，得到 为锐角三角形，分析 点运动过程可知，
随 点向右运动角度不断减小，且 和 始终是锐角．
根据题意，令点 的位置满足 ，则 大于此时对应的长度就可使得外接圆圆 的圆心 落在
的内部．
【详解】（1）解：如图所示：过点 作 交 延长线于点 ，再过点 作垂线 交
于点 ，交 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
在 中，由勾股定理得：
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，，
，
，
，
化简得： ，
点在 上运动，故定义域为： ；
（2）如图所示，此时 是以 为腰的等腰三角形，过点 作 交 于点 ，
，
四边形 是矩形，
又 是以 为腰的等腰三角形，
，
由（ 得 ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
即 ，
解得： 的值为 或 ，
因此， 的值为 或 ；
（3）解：分析 点运动过程可知， 随 点向右运动角度不断减小，且 和 始终是锐角．根据题意，令点 的位置满足 ，则 大于此时对应的长度就可使得外接圆圆 的圆心 落在
的内部．
如下图所示，此时 ，
，
，
同角的余角相等 ，
同理可得： ，
∽ ，
，
，
，
解得： ，
综上可得，当 时，外接圆圆 的圆心 落在 的内部．
2．（2022·广东揭阳·校考三模）如图1，在矩形 中， ， ，E是 边上一点，连接
，将矩形 沿 折叠，顶点D恰好落在 边上点F处，延长 交 的延长线于点G．
(1)求线段 的长；
(2)如图2，M，N分别是线段 上的动点（与端点不重合），且 ，设 ．
①求证四边形AFGD为菱形；②是否存在这样的点N，使 是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；(2)①见解析；② 或2
【分析】（1）由翻折可知： ． ，设 ，则 ．在 中，
利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）①由 计算出 的长度，再证明四边形 是平行四边形，根据一组邻边相等的平
行四边形的菱形即可证明；
②若 是直角三角形，则有两种情况，一是当 时，二是当 时，分别利用相
似三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可计算得出．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知： ． ，设 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，
在 中，则有： ，
∴ ，
∴ ．
（2）①证明：∵四边形 是矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可得： ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，∴平行四边形 是菱形．
②∵ ，
∴若 是直角三角形，则有两种情况，
当 时，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴ ，
又∵ ， ，
∴
∴ ，即 ，
∴ ；
当 时，则 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵s ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，即
解得： ，综上所述： 或2．
3．（2022·浙江丽水·一模）在菱形 中， ， ，点E在 边上， ，点P是边
上一个动点，连结 ，将 沿 翻折得到 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)若点F落在对角线 上，求证： ；
(3)若点P在射线 上运动，设直线 与直线 交于点H，问当 为何值时， 为直角三角形．
【答案】(1)60°；(2)见解析；(3) 或 或 或 ．
【分析】（1）由平行线的性质得 ，求得 ，由翻折的性质可得 ，
即可求解；
（2）易证 是等边三角形，由翻折可得 ，证得 ，即可证明相似；
（3）如图2，当点P在线段AB上，∠PHB=90°，延长EF交AB的延长线于点K，
由翻折的性质可得：AP=FP， ， ，设AP=x，则FP=x，
求得 ， ， ，在 中， ，求解即可得
；如图3，当点P在线段AB上，∠HPB=90°，过点E作EQ⊥AB于点Q，由折叠的性质可得：
，求得 ， ， ，即可得AP的长度；
如图4，当点P在BA的延长线上，∠HPB=90°，过点E作EM⊥AB于点M，设AP=a，易得 ，
，在 中， ，
∴ ，求解即可；如图5，当点P在BA延长线上，∠PHB=90°，
延长EF交AB于点N，由翻折的性质可得：AP=FP， ， ，证得， ， ，即可求得AP的长度．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∵ 是由 翻折得到，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：当点F在BD上时，如图1所示，
∵菱形ABCD中， ，
∴AD=AB， 是等边三角形，
∴
∵ 是由 翻折得到，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
在 和 中，
∴ ；
（3）解：如图2，当点P在线段AB上，∠PHB=90°，
延长EF交AB的延长线于点K，由翻折的性质可得：AP=FP， ，
设AP=x，则FP=x，
∵∠PHB=90°，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
即 ，解得： ，
即 ；
如图3，当点P在线段AB上，∠HPB=90°，
过点E作EQ⊥AB于点Q，
由折叠的性质可得： ，
∵EQ⊥AB，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图4，当点P在BA的延长线上，∠HPB=90°，
过点E作EM⊥AB于点M，设AP=a，
∵EM⊥AB， ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
∵EM⊥AB，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
如图5，当点P在BA延长线上，∠PHB=90°，
延长EF交AB于点N，由翻折的性质可得：AP=FP， ，
∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上，AP的长度为 或 或 或 ．
4．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，在菱形 中，点P为对角线 上的动点，连接 ，将 绕
点D按逆时针方向旋转至 ，使 与 交于点E．(1)求证： ；
(2)已知 ，
①当 时，求 的面积；
②连接 ，当 为直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2)① ；② 的值等于4或
【分析】（1） 与 为两个等腰三角形，得到 ，从而推算出 从
而证明 ；
（2） ①根据勾股定理算出DO，证明 ，根据相似比分别求出DP、AP，计算出 面
积，再利用三角形的相似比计算出 的面；
②当 时，证明 得出AP=CP计算出AP；当 证明
，根据相似比计算出AP．
【详解】（1）证明：在菱形 中，
∴ ．
∵
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ， ，
∴ ．∵
∴
（2）解：如图2，连接 在菱形 中， 与 互相垂直平分，
得 ，
∵
∴
∵
∴
∴
得
∴ ．
∵
∴
∴
②如下图所示, 当 时，∵
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴ ,
∴ ．
∵
∴ ．
如下图所示，当 时，延长 交 于H，
设 ，则 ．
∵
∴ ．∵
∴ ，
∴
∴
解得
∵
当 时
∴ 的情况不存在
综上所述， 的值等于4或 ．
5．（2022·宁夏吴忠·统考二模）如图，在四边形ABCD中， ， ， ，
， ，动点E从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，动点F从点
C出发，在线段CB上以每秒2cm的速度运动向点B运动，点E、F分别从点A、C同时出发，当点F运动
到点B时，点E随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示DE， ______；
(2)若四边形EFCD是平行四边形，求此时t的值；
(3)是否存在点F，使△FCD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ；(2)5；(3)存在， 或5或
【分析】（1）由题意得的 cm，即可得出结论．
（2）由平行四边形的性质得 ，再分两种情况，当 时，当 时，分别求解即可．
（3）过D作 于G，则四边形ABGD是矩形，得 ， ，再由勾股定理求出 ，然后分情况讨论：① ② ，③ ，由等腰三角形的性质和勾股
定理分别求解即可．
【详解】（1）解：经过ts后 cm，
则 ， ，
故答案为： ．
（2）当 时 ，解得： ；
∵ ，
∴ ，
∴当 时四边形EFCD是平行四边形．
（3）存在点F，使△FCD是等腰三角形，理由如下：
过D作 于G，则四边形ABGD是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：
分情况讨论：
① ，如图1，则 ，解得： ；
② ，如图2，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，∴ ；③ ，如图3，在RT△FDG中，
由勾股定理得：
∵ ，
，
∴ ，
，解得： ，
综上所述，存在点F，使△FCD是等腰三角形，t的值为 或5或 ．
6．（2022·浙江金华·校联考三模）在四边形 中， ， ， ．
(1)如图1，①求证： ；
②求 的正切值；
(2)如图2，动点 从点 出发，以1个单位每秒速度，沿折线 运动，同时，动点 从点 出发，
以2个单位每秒速度，沿射线 运动，当点 到达点 时，点 ， 同时停止运动，设运动时间为 秒，
以 为斜边作 ，使点 落在线段 或 上，在整个运动过程中，当不再连接其他线段，且
图中存在与 相似的三角形时，求 的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2) 或 或 或
【分析】（1）①连接AC，根据“SSS”证明 ，即可得出结论；
②过点A作 ，交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，先证明四边形 为矩形，得出
，∠AEF=90°，再根据“ASA”证明 ，得出 ，设 ，则
，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出结果；
（2）按照点M、N、P的位置， 或 ，以及当三角形全等也是特殊的相似，进
行分类讨论，求出t的值即可．
【详解】（1）证明：①连接AC，如图所示：
∵在△ABC和△ADC中， ，
∴ ，
∴ ；
②过点A作 ，交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∵∠EFC=90°，
∴四边形 为矩形，
∴ ，∠AEF=90°，
∴ ，
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
，
解得： ，
， ，
，
，
．（2） 当点M在AD上， 时，过点M作 交CD于点E，延长BA，交EM于点
G，如图所示：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
，
∴ ，
，
∴四边形BNMG为矩形，
同理可得四边形GBFE为矩形，
∴GM=BN=2t， ， ，
， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： ；
②当点M在AD上， 时，过点M作 交CD于点E，延长BA，交EM于点G，过点
P作PH⊥MN于点H，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形GEFB为矩形，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∵DM=t，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴PH=PB，
，
∴ （HL），
∴ ，NH=NB=2t，
， ，
，
∵ ，PM=PM，
∴ （AAS），
∴PH=PG，MH=GM，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∵ ，
，∴ ，即 ，
解得： ；
③当M与A点重合，N与C点重合时，P在B点或在D点时， ，此时相似比为1，符合要求，
此时 ；
④当点M在AB上，N在BC的延长线上时， ，
∵MN=MN，
∴此时 ，
∴NP=NB=2t，PM=MB=10-t，
过点D作 ，过点N作 ，DE与NF交于点E，延长AD，交NF于点F，过点M作
MH⊥DH，交DA的延长线于点H，延长BA交ED于点G，如图所示：
， ，
四边形DCNE为平行四边形，
， ，
，
∴ ，
，，
∴ ，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，即 ，
解得： ，
，∴ ，
解得： 或 （舍去）；
综上分析可知， 或 或 或 ．
