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专题 03 分式（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
a2 b2
1．计算 − 的结果是（ ）
a−b a−b
a+b
A．a−b B．a+b C． D．1
a−b
2．下列等式成立的是（ ）
1
A．|﹣2|=2 B．（√2﹣1）0=0 C．（﹣ ）﹣1=2 D．﹣（﹣2）=﹣2
2
3．下列各式中，变形不正确的是（ ）
2 2 −a a 5n −5n 3x 3x
A． =− B． = C．− = D． =−
−3x 3x −4b 4b 2m −2m −4 y 4 y
4．在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m 克，铜丝重m 克，铁丝、
1 2
铜丝的截面半径分别为rcm和r cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度
1 2
为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是( )
m m
A．铁丝为 1 cm 铜丝为 2 cm
7.8πr 2 8.9πr 2
1 2
m m
B．铁丝为 1cm 铜丝为 2 cm
r 2 πr 2
1 2
m m
C．铁丝为 1cm 铜丝为 2cm
r 2 r 2
1 2
D．铁丝为 m cm 铜丝为 m cm
1 2
r r
1 2
x
5．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则 −y2的值为（ ）
y
1 3
A．0 B． C．1 D．
2 2
6．在： 中，结果为正数的个数有（ ）
√4,−20,(−3) −1,|−5|
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x−2
7．要使分式 有意义，则应满足（ ）
x+1A．x≠−1 B．x≠2 C．x≠±1 D．x≠−1或x≠2
8．某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，0.000000823用科学记数法表示，结果为（ ）
A．82.3×10−6 B．8.23×10−7 C．8.23×10−6 D．0.823×107
9．若a，b为两个有理数，且b＝√a2−1+√1−a2 ，则a＋b的值为（ ）
+4
a+1
A．±6 B．3 C．3或5 D．5
1 −1
10．(− ) 的值是（ ）
2
1 1
A．− B．2 C．-2 D．
2 2
11．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，
于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出
√5−1 √5−1 √5+1 1 1
来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．设a= ,b= ，记S = + ，
2 2 2 1 1+a 1+b
1 1 1 1 1 1
S = + ，S = + ⋯，S = + ，则S +S +S +⋯+S 的值为
2 1+a2 1+b2 3 1+a3 1+b3 100 1+a100 1+b100 1 2 3 100
（ ）
A．100√5 B．200√2 C．100 D．505
12．如果分式|x|−2 则x为（ ）
=0
x2−2x
A．2 B．-2 C．±2 D．0
13．若式子 √m+3 有意义，则实数的m的取值范围是（ ）
(m−2) 2
A．m≥−3且m≠2 B．m>−3且m≠2 C．m≥−2 D．m>−3
14．下列各数中是负数的是（ ）
A． B． C．﹣（﹣3） D．
|0| −32 (−3) 2
x- y
15．把分式 中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的5倍
B．不变
1
C．缩小到原来
5D．扩大到原来的25倍
二、填空题
√x−1
16．若代数式 >0，则x的取值范围是 ．
2−x
17．计算： ．
(−2) 2−√27+(√2−1) 0=
18．已知√3−x+√x−3−1= y，则xy= ．
√3−x
19．当 ，代数式 有意义．
x+2
20．如图，长方形ABCD按如图所示分成9个部分，在m，n(m≥n)变化过程中，下列四个结论：
m
①图中总共有8个正方形；②若长方形ABCD的长与宽的比为 ，则m=n；③长方形ABCD的长与
n
6
宽的比可能为2；④若m= ，长方形ABCD的面积为2n2+48，则m，n的值分别为3，2．其中正
n
确的结论是 （填写序号）．
2x+ y
21．若x2﹣xy﹣12y2＝0，则 ＝ ．
3x−y
22．写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是 ．
5 2m−4
23．计算：(m+2+ )⋅ = .
2−m 3−m
24．分式(x−2)(x+3)的值为0，则x= ．
x2−4
25．某单位锅炉房运来了120吨煤，原计划用x天，后来节约用煤，结果比原计划多用4天，后来
比原计划每天少用 吨煤.
三、解答题
3 1+2x+x2
26．先化简，再求值：(x+2+ )÷ ，其中x=√3−1．
x−2 2−x1 2
27．先化简，再求值： − ，其中x＝－2
x−1 x2−1
28．先化简，再求值：a2−b2 ( 2ab+b2 )，其中 ．
÷ a+ a=√2+1,b=√2−1
a a
29．先化简，再求值： 2 a2+4 1 1 ，其中 1．
( −1)÷( − ) a=
a2−4 4a 2 a 2
30．先化简，再求值：( 4a ) a−4 ，其中 与2，3构成 的三边长，且 为整数．
2a− ÷ a △ABC a
a−2 a2−4a+4
31．观察以下等式:
2 1 1
第1个等式: = + ，
1 1 1
2 1 1
第2个等式: = + ，
3 2 6
2 1 1
第3个等式: = + ，
5 3 15
2 1 1
第4个等式: = + ，
7 4 28
2 1 1
第5个等式: = + ，
9 5 45
……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
32．（1）化简 a−b a2−b2
1− ÷
a+2b a2+4ab+4b2
2−x 1
（2）解方程 − =3
x−3 3−x
（3）分解因式 −8ax2+16axy−8a y2
33．计算：
(1)
(x−y) 2−x(y−2x)
3 x2+4x+4
(2)( −x+1)÷ .
x+1 x+1
34．先化简，再求值：1﹣a+b a2+2ab+b2，其中a＝1＋ ，b＝1﹣ ．
÷ √3 √3
a−b a2−ab35．x2−2xy+ y2 x2−xy 2 ，其中实数x、y满足y 1．
÷ − =√x−2−√4−2x−
x2−y2 x x+ y
【能力提升】
36．阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ，所以 ，即 ，并且当 时， ；对
(a−b) 2≥0 a2−2ab+b2≥0 a2+b2≥2ab a=b a2+b2=2ab
于两个非负实数 ， ，由于 所以 ，即 ，所
a b (√a−√b) 2 ≥0, (√a) 2 −2√a√b+(√b) 2 ≥0 a−2√ab+b≥0
以a+b≥2√ab，并且当a=b时，a+b=2√ab；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学
里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分
式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：
x+1 x−1+2 x−1 2 2
= = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
(1)在①2x+3、②x2+1、③ x 、④x4+1这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
x+1 x x2+1 x2
(2)已知： x 1，求代数式 x2 的值；
=
x2+1 3 x4+1
x+3√x+2+5
(3)当x为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
√x+2+1
37．（阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大
小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若
x−y>0，则x>y；若x−y=0，则x= y；若x−y<0，则xN．
证明： ，
M−N=a2−ab−ab+b2=(a−b) 2
因为 ，所以 ，故 ．
a≠b (a−b) 2>0 M>N
【新知理解】
（1）比较大小：2x−2______x2．（填“>”，“=”，“<”）
【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a>0)，其面积分别为S ，S ，请比较S ，S 的
1 2 1 2
大小关系．
【拓展应用】
（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的
购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均
为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且m≠n），试分析小莹和小亮
谁的购货方式更合算？
38．阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我
4 x+1
们称之为“真分式”，如： , ．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假
x−1 x2
x+1 x2+1
分式”，如： , ．假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：
x−1 x+1
x+1 (x−1)+2 2
= =1+ ．
x−1 x−1 x−1
解决问题：
（1）下列分式中属于真分式的是（ ）
A． x2 B．x−1 C． 3 D．x2+1
−
x−1 x+1 2x−1 x2−1
3x+1 x2+1
（2）将假分式 、 分别化为带分式；
x−1 x+1
2x2+3x−6
（3）若假分式 的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值．
x+3
39．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数
量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上
再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
40．如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，
m+m′
把m的百位和个位互换位置得到数m′．并规定F(m)= ，例如918，∵9=1+8且百位是9，
9
918+819
∴918是“尔畔数”，F(918)= =193．
9
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F(936)；
（2）已知 和 都是“尔畔数”，且 ，并规定 F(s)，求 的最大值为多少？
s t 2F(s)+F(t)=570 K= K
F(t)
