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专题 14 反比例函数的图像、性质及应用【十二大题型】
【题型1 判断反比例函数图象】..............................................................................................................................2
【题型2 反比例函数上点的坐标特征】..................................................................................................................4
【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】.........................................................................................................4
【题型4 判断反比例函数经过象限】......................................................................................................................5
【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】......................................................................................................6
【题型6 由反比例函数增减性求值】......................................................................................................................7
【题型7 由反比例函数的性质比较大小】..............................................................................................................7
【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】.....................................................................................................7
【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】..............................................................................................................9
【题型10 反比例函数的实际应用】........................................................................................................................11
【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】.......................................................................................................13
【题型12 反比例函数与几何综合】........................................................................................................................14
【知识点 反比例函数】
1.定义
k
y=
x y=kx−1 xy=k
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式： 或 。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y轴永
不 相交 ．
2.反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
y＝
k>0 k<0
(k为常数，k≠0)
图 象
所在象限 一.三(x，y同号) 二.四(x，y异号)
在每个象限内，y 在每个象限内，y
性 质
随x的增大而减小 随x的增大而增大
3.反比例函数的k的几何意义
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由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为 | k | .
如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
矩形PAOB
同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
△OPA △OPB
【题型1 判断反比例函数图象】
5 3
【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y= (x>0)和函数y=− (x<0)在同一平面直角坐标系的图
x x
象如图所示，则坐标系的纵轴是（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
2022
【变式1-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）反比例函数y= 的大致图象是（ ）
x
A． B．
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C． D．
1
【变式1-2】（2023·河北沧州·模拟预测）用绘图软件绘制直线l:y= x+1，直线与坐标轴的交点分别为
10
A，B，其中B不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．若
1 k
使点B在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的 （k为整数），则y= (x>0)的
k x
图象是（ ）
A． B．
C． D．
1
【变式1-3】（2023·湖南娄底·统考二模）函数y＝ 的大致图象是（ ）
x+1
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A． B．
C． D．
【题型2 反比例函数上点的坐标特征】
【例2】（2023·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点 ， 皆落于反
A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2
7
比例函数y= 图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x ⋅x 的值等于（ ）
x 1 2
A．−1 B．1 C．−7 D．7
k
【变式2-1】（2023·广西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)
x
的图象交于 ， 两点，则 的值是 ．
A(x ,y ) B(x ,y ) y + y
1 1 2 2 1 2
m
【变式2-2】（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y= 交于A，B
x
两点．若点A，B的纵坐标分别为y ,y ，则y + y 的值为 ．
1 2 1 2
【变式2-3】（2023·辽宁·中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点
4 k
C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象上，则k的值为 ．
x x
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【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】
k
【例3】（2023·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，则k的值可
x
能是（ ）
A．5 B．12 C．−5 D．−12
【变式3-1】（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）如图所示，其函数解析式可能是（ ）
6 3
A． y=2x2 B．y= C．y=− D． y=3x
x x
k
【变式3-2】（2023·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，点A，B在反比例函数y= （k>0）的图
x
象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ．
k
【变式3-3】（2023·江苏无锡·统考二模）反比例函数y＝ 的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，
x
若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（ ）
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A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
【题型4 判断反比例函数经过象限】
k
【例4】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点M(2,a)在反比例函数y= 的图象上，其中a，k为常数，
x
且k>0﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
k
【变式4-1】（2023·河北保定·校考模拟预测）如果反比例函数y= （k是常数，且k≠0）的图象经过点
x
A(1,−2)，那么这个反比例函数的图象在第 象限．
k
【变式4-2】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y= （k≠0），当x y ，那么一次函数y=kx+2的图象不经过（ ）
1 2 1 2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】
【例5】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若反比例函数 的图像在第二、
y=(2m−1)xm2−2
四象限，则m的值是（ ）
1
A．−1或1 B．小于 的任意实数 C．−1 D．不能确定
2
3−2m
【变式5-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）若反比例函数y= 的图象在二、四象限，则m的值可以是
x
（ ）
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A．−1 B．2 C．1 D．0
【变式5-2】（2023·四川成都·校考三模）若数a使关于x的不等式组¿有且仅有三个整数解，且使关于x的
3−2a
反比例函数y＝ 经过一，三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
x
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
k k k
【变式5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）反比例函数y = 1，y = 2，y = 3在同一坐标系中的图
1 x 2 x 3 x
象如图所示，则k ，k ，k 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．k >k >k B．k >k >k C．k >k >k D．k >k >k
3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【题型6 由反比例函数增减性求解】
k
【例6】（2023·湖南永州·统考二模）在反比例函数y= (k≠0)的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
x
且整式x2−kx+9是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
3−m
【变式6-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数y= 的图像在某象限内，y随着x的增大
x
而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m>−3 B．m<−3 C．m>3 D．m<3
1
【变式6-2】（2023·北京·101中学校考模拟预测）已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数y= 的图象
1 2 x
上，且y |x |
1 2 1 2
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式7-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知点 、 、 都在反比例函数
(x , y ) (x , y❑❑) (x , y )
1 1 2 2 3 3
4
y= 的图象上，若x <0b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
2023
【变式7-3】（2023·湖北武汉·校联考一模）已知点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y=− 的图像
1 1 2 2 x
上，且x ＜0＜x ，则下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．y + y ＜0 B．y + y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】
【例8】（2023·辽宁·统考一模）如图，点 ( √3)在直线 √3 上，过点 作 交直线
B 1, l :y= x B A B ⊥l
1 3 2 3 1 1 1 1
k
l:y=√3x于点A ，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为y= 1；再
1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
过点C 作A B ⊥l ，分别交直线l 和l 于A ,B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形
1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
k
A B C ，过C 的反比例函数为y= 2，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的k = ．（用
2 2 2 2 x n
含n的代数式表示）
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【变式8-1】（2023·河北张家口·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、
1
k
B分别在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使
1 x 1 1 1 1 2
顶点P 落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图
2 2 1 2 2 1 2 3 3
象上，…，依此规律，作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为（ ）
18 17 18 19 19
1 1 1 1
A．(218,
) B．(
,218
)
C．(215,
) D．(
,215
)
218 218 215 215
【变式8-2】（2023·江西·南昌市育新学校校联考一模）如图，四边形OP AB ，APAB ，
1 1 1 1 2 2 2
APAB ，……，A PAB 都是正方形，对角线OA ，AA，AA，……，A A 都在y轴上（n≥1的整
2 3 3 3 n-1 n n n 1 1 2 2 3 n-1 n
k
数），点P（x，y），P（x，y），……，P（x，y）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知
1 1 1 2 2 2 n n n
x
B （-1,1）.
1
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k
（1）求反比例函数y= 的解析式；
x
（2）求点P 和P 的坐标；
2 3
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出： PB O的面积为 ，点P 的坐标为______（用含n
n n n
的式子表示）. △
【变式8-3】（2023·浙江衢州·统考一模）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正
1
方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y= 的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，
x
一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是
．（用含n的代数式表示）
【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】
k
【例9】（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线AB与反比例函数y= (x<0)的图象交于点
x
A(−2,m)，B(n,2)，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使OC=2OD，连接
BC，AD．若△ACD的面积是6．
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(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于△BAC面积的2倍，求点P的坐标．
2
【变式9-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在直线l：y=x−4上方的双曲线y= (x>0)上有一
x
个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 ．
m
【变式9-2】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y= (m>0)
x
的图象交于A(3，4)，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数
图象交于点D，E．
(1)求k，m的值及C点坐标；
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(2)连接AD，CD，求△ACD的面积．
【变式9-3】（2023·江苏泰州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，
m m−a
B(m−a，0)(a>m>0)的位置和函数y = (x>0)、y = (x<0)的图像如图所示．以AB为边在x
1 x 2 x
轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y 的图像相交于点E，CD边与函数y 、y 的图像分别相交于点G、
1 1 2
H，一次函数y 的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
3
(1)m=2，a=4，求函数y 的表达式及△PGH的面积；
3
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y 的图像上？并说明理由．
2
【题型10 反比例函数的实际应用】
【例10】（2023·广东肇庆·统考二模）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压
p （KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3，π取3）；
3
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【变式10-1】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中
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点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在
O25cm(L =25cm) 9.8N(F =9.8N)
1 1
中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧
秤的示数F（单位：N）满足FL=F L ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F
1 1
关于L的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬
浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，
当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．
(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
【变式10-3】（2023·福建莆田·校考三模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式
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摆放，记录桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足
此关系）．
桌面所受压强
100 200 400 500 800
P(Pa)
受力面积S(m2) 2 1 0.5 0.4 0.25
(1)求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数表达式；
(2)现有另一长、宽、高分别为0.3m，0.2m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B，已知该玻璃桌面能承受
的最大压强为4500Pa，将长方体B任意水平放置于该玻璃桌面上是否安全？并说明理由．
【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】
【例11】（2023·山东·统考中考真题）如图，已知坐标轴上两点A(0,4),B(2,0)，连接AB，过点B作
k
BC⊥AB，交反比例函数y= 在第一象限的图象于点C(a,1)．
x
k
(1)求反比例函数y= 和直线OC的表达式；
x
3
(2)将直线OC向上平移 个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
2
【变式11-1】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=√3x+b的图象分别
k
与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为
x
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CA 1
(2,0), = ，则k的值是（ ）．
AB 2
A．√3 B．2√3 C．3√3 D．4√3
【变式11-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交
m
于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,2)，与反比例函数y= 在第四象限内的图象交于点C(6,a)．
x
(1)求反比例函数的表达式：
m
(2)当kx+b> 时，直接写出x的取值范围；
x
m
(3)在双曲线y= 上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐
x
标；若不存在，请说明理由．
【变式11-3】（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的
k
直角顶点C(3，0)，顶点A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
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(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【题型12 反比例函数与几何综合】
k
【例12】（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB⊥y轴于
x
1
点B，tan∠AOB= ，AB=2．
2
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．
【变式12-1】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为
k
O(0,0),A(2√3,0),B(√3,1),△OA'B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y= (k>0,x>0)的图
x
象与A'B交于点C．若A'C=BC，则k的值为（ ）
3√3 √3
A．2√3 B． C．√3 D．
2 2
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【变式12-2】（2023·安徽·统考中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴
k
上，AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
k
【变式12-3】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)的
x
图象交于点A(4,n)．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐
k
标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中点C在反比例函数y= (x>0)的图象上．
x
(1)求n,k的值；
(2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大?最大值是多少?
17
