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专题07 二次函数中的将军饮马
1．如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为
．
（1）抛物线的顶点坐标是___________．
（2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当 的值最小时，点P的坐标是___________．
【答案】
【分析】（1）利用待定系数法求得解析式中m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时 的值最小时，然后利用待定系数法求
得直线BC的解析式，继而求得答案．
【详解】（1）把点 代入抛物线 ，解得 ，
∴该抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P，
∵抛物线 与y轴交于点C，∴点C的坐标为 ，
设直线BC的函数表达式为 ，
把 和 代入，得：
解得： ，
∴直线BC的函数表达式为 ．
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时， ，即当 的值最小时，点P的坐标为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，注意找到P点的
位置是解题的关键．
2．已知抛物线 的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为 ，与y轴
的交点坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
(2)根据图象回答：当x取何值时， ？
(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求 的值最小时的点P的坐标．
【答案】(1) ，点B的坐标为
(2)(3)
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）观察图象得：当 时， ，即可；
（3）作抛物线的对称轴与直线 交于点P，则交点 就是所求的点，求出直线 的解析式，即
可求解．
【详解】（1）解∶ 把点 ， 代入抛物线 可得方程组
，解得： ，
所以函数表达式为 ，
当 时， ，
解得 ；
另一个交点B的坐标为 ；
（2）解∶观察图象得：当 时， ；
（3）解∶ 如图，作抛物线的对称轴与直线 交于点P，则交点 就是所求的点．
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，∴直线 的函数式为 ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
当 时， ，
即点 ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的
性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关
键．
3．如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点．
(1)该抛物线的解析式为______．
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的值最小？若存
在求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得 的面积最大？若存在，求出点P的坐标
及 的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，点P的坐标为 ，面积最大值为8
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据题意得：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则直线 与抛物线对称轴 的交点为Q，此时 最小．求出直线 的解析式，即可求解；
（3）过点P作 轴于点E，交BC于点D．设P点 ，则D点
，可得 ，再根据 结合二次函的性
质，即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图1，
根据题意得：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则直线 与抛物线对称轴 的交点为
Q，此时 最小．
设直线BC的解析式为： ，
将点 ， 代入得： ，
解得： ．
∴直线 解析式为： ，解方程组 得： ，
∴点 即为所求；
（3）解：如图2，过点P作 轴于点E，交 于点D．
设P点 ，则D点 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 最大值 ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，特别是
要注意数形结合思想的应用．
4．已知二次函数 的图象经过点 和点 ．(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)点 在该函数图象上（其中 ），求m的值；
(4)在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使 的值最小，若存在
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)对称轴：直线 ，顶点坐标：
(3)6
(4)存在，当点P坐标为 时， 最小
【分析】（1）利用待定系数法解答解答，即可求解；
（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解；
（3）把 代入二次函数的解析式，即可求解；
（4）作点B关于对称轴的对称点 ，连接 与对称轴的交点即为所求的点P．求出直线
的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：将点 和点 代入，得∶
，解得： ，∴该二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵
∴对称轴为直线 ，顶点坐标： ；
（3）解：∵点 在函数图象上，
∴ ，
∴ 或6．
∵ ，
∴m的值为6；
（4）解：存在．
如图，由（2）可知 ，作点B关于对称轴的对称点 ，连接 与对称轴的交点即为
所求的点P．
设直线 的解析式为 ，
把点 、 代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，
∴ ．∴当点P坐标为 时， 最小．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数
法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中， 两点在坐标轴上， 绕点原点 顺时针旋转 后
得到 ， ，抛物线 经过点 、 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点 ，使 得最小值？若存在，请求出点 点的坐标；
若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线上有一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，请直接写出 点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3) 或 或
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ， ，然后求出点B和点C的坐标，然后
代入 求解即可；
（2）首先根据二次函数的性质得到点A和点B关于直线 对称，然后根据题意得到
，求出点D的坐标，求出直线BD的解析式，代入 即可求出点P的坐
标；（3）设 ，根据题意表示出 ， ，
，分情况讨论分别列出方程求解即可．
（1）
∵ 绕点原点O顺时针旋转90°后得到 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
把 ， 代入 得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）
存在．
点A与点B为抛物线上的对称点，则 与对称轴 的交点为P，如图1，
∴ ，
∴此时 的值最小，
当 时， ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，∴满足条件的P点坐标为 ；
（3）
如图2，设 ，
， ， ，
当 时， ，即 ，
整理得 ，
∴ ， ，此时Q的坐标为 或 ；
当 时， ，即 ，
整理得 ，
∴ ， ，此时Q的坐标为 或 ；
综上所述，满足条件的Q点坐标为 或 或 ；
【点睛】此题考查了旋转的性质，二次函数综合问题，数形结合思想，直角三角形存在性问题等
知识，解题关键是根据题意求出二次函数表达式，熟练掌握二次函数的性质．
6．如图，已知抛物线 经过B(−3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线 经过B，C两点，则m=_____________；n=_____________；
(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得 的值最小，直接写出点E的坐标；
(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使 为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P
的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2)1，3
(3)点E（ 1，2）；
(4)点P的坐标为(0，0)或(3，0)或( ，0)或( ，0)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）点A、B关于对称轴l对称，则BC与对称轴l的交点即为所求的点E，进而求解；
（4）求得BC的长，分B为顶点、C为顶点、BC底边三种情况讨论，进而求解．
（1）
解：将点B(−3，0)，C(0，3)的坐标代入抛物线解析式得
，解得 ，
故抛物线的解析式为 ；
（2）
解：∵直线 经过B(−3，0)，C(0，3)两点，
∴ ，解得 ，∴直线BC的解析式为y=x+3；
故答案为：1，3；
（3）
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点A、B关于直线l对称，
∴BC与对称轴l的交点即为点E，如下图，
则此时AE+CE=BE+CE=BC为最小，
当 时，y=x+3=2，
∴点E（ 1，2）；
（4）
解：∵B(−3，0)，C(0，3)，
∴OB=OC=3，
∴BC= ，
当B为顶角的顶点时，
则PB= ，
∴点P的坐标为( ，0)或( ，0)；
当C为顶角的顶点时，
则PC=BC，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴点P的坐标为(3，0)；
当BC为底边时，
则PC=PB，即点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P的坐标为(0，0)；综上，点P的坐标为(0，0)或(3，0)或( ，0)或( ，0)．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段
之间的关系．
7．如图，二次函数 的图象过点 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)点P是对称轴上一点，当 达到最小值时，求P的坐标．
【答案】(1)
(2)直线x＝1
(3)点P（1，2）
【分析】（1）把点 ， 代入抛物线解析式求出b,c即可．
（2）由顶点式可得对称轴直线x＝1，
（3）当A、P、B在同一直线上时， 达到最小值,求直线BA解析式，把x＝1代入即求得点
P纵坐标．
（1）
∵抛物线过点 ，
∴把点A（0，3）代入得： c＝3
∴c＝3
∴把点 代入得： -9+3b+3＝0∴b＝2
∴抛物线解析式为
（2）
∵抛物线解析式为
∴
∴对称轴为直线x＝1
（3）
当A、P、B在同一直线上时，PA+PB＝AB最小
设直线BA解析式为y＝kx+3
把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1
∴直线BA：y＝﹣x+3
∵点P在对称轴上
∴ ＝﹣1+3＝2
∴当点P（1，2）时， 最小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，
解题的关键要准确求出二次函数的解析式．
8．如图，抛物线 经过点 ， ，与 轴正半轴交于点 ，且 ，
抛物线的顶点为 ，对称轴交 轴于点 ，直线 经过 ， 两点．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)点 是抛物线对称轴上一点，当 的值最小时，求出点 的坐标及 的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据 ，求出 点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）点 、 关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交 于点 ，则点 为所求点，此
时 的值最小，根据 的横坐标，代入直线 的函数表达式即可求出 的坐标，利用勾股
定理求出 的长度即可．
（1）
由点 的坐标知， ，
∵ ，故点 的坐标为 ，
将点 、 、 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 .
故抛物线的表达式为 ；
将点 、 的坐标代入一次函数表达式得： ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）
∵点 、 关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交 于点 ，则点 为所求点，此时 的值最小，
理由：由函数的对称性知， ，
则 为最小，
当 时， ，故点 ，
由点 、 的坐标知， ，
则 ，
即点 的坐标为 、 的最小值为 ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用：线段周长问题．解题的关键是：利用待定系数法正确的
求出函数解析式，根据二次函数的性质进行解题．本题考查将军饮马问题，找到定点的对称点，
与另一定点形成的线段即为线段和的最小值．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直
线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接BC，BC与直线l的交点即为M．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为： ，
将点C（0，﹣3）代入得： ，
解得： ，
∴ ；∴函数的解析式为： ．
（2）解：抛物线的对称轴为： ；
点A关于直线l的对称点为点B，
连接BC，则BC是点M到点A，点C的距离之和的最小值，
设直线BC的解析式为： ，则：
，解得： ，
∴ ，
设 ，代入得：
，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题
是解题的关键．本题的动点问题是将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一个定点形成的线段
即为最短距离．
10．如图，抛物线 与x轴交于点 、 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求 的最小值；
(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作 于点Q，线段PQ是否存在最大值？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)线段PQ存在最大值，此时点P坐标为
【分析】（1）根据点A和点B坐标使用待定系数法求解即可．
（2）连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短
确定当点M与点N重合时，MB+MC取得最小值为AC，根据二次函数解析式求出点C坐标，再根
据勾股定理即可求解．
（3）过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设 ，其中 ，设直线AC
解析式为y=kx+d．根据等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边确定QE=PQ，根据勾股定理
确定 ，进而确定当EP取得最大值时，PQ取得最大值，根据点A和点C坐标使用待定
系数法求出直线AC解析式，进而用p表示EP的长度，再根据二次函数的最值求出p的值，最后代入计算即可．
（1）
解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得
解得
所以抛物线的解析式为 ．
（2）
解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．
∵ 、 ，
∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．
∴MA=MB．
∴MB+MC=MA+MC．
∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．
∵抛物线 与y轴交于点C，
∴ ．
∴OC=2．
∴ ．∴MB+MC的最小值为 ．
（3）
解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设 ，其中 ，
设直线AC解析式为y=kx+d．
∵OA=2，OC=2，
∴OA=OC．
∴ ．
∵PD⊥x轴，
∴∠ADE=90°．
∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．
∴∠QEP=∠DEA=45°．
∵PQ⊥AC，
∴∠PQE=90°， ．
∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．
∴∠QPE=∠QEP．
∴QE=PQ．
∴ ．
∴ ．∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．
把点A和点C坐标代入直线AC解析式得
解得
∴直线AC解析式为 ．
∴ ．
∴ ．
∴当 时，EP取得最大值．
∴ ．
∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，两点之间，线段最短，勾股定
理，等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的
最值，综合应用这些知识点是解题关键．
11．如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C ，点Q为线
段 上的动点．
(1)求抛物线的解析式；(2)求 的最小值
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）设 ，将 代入求解即可；
（2）作点O关于直线BC的对称点 ，连接 ，利用勾股定理及轴对称的性质求
解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于 两点，
∴设 ，将 代入，
得： ，
解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点 ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∵O、 关于直线 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ 垂直平分 ，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，即点Q位于直线 与直线 交点时，
有最小值10．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段最短及轴对
称的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴
于点D．已知A（－1，0），C（0，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得 的值最大，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如
果不存在，请说明理由．
【答案】(1)该抛物线的解析式为 ；
(2)点M（1，6）；(3)点P的坐标为（1，6）或 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）根据抛物线的对称性得，点B关于抛物线对称轴的对称点是点A，从而可得当A，C，M三
点共线时， 最小，连接AC，并延长AC交抛物线的对称轴于点M，求出直线AC的解析
式，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
（1）
解：∵抛物线 经过A（-1，0），C（0，3）两点，
∴ ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）
解：由抛物线的对称性得，点B关于抛物线对称轴的对称点是点A，
∴BM=AM，
∴ ，
∴当A，C，M三点共线时， 最小，
如图，连接AC，并延长AC交抛物线的对称轴于点M，
设直线AC的解析式为y＝kx＋d，把A（-1，0），C（0，3）代入得：
，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
当x＝1时，y＝3＋3＝6，
∴点M（1，6）；
（3）
解：根据题意得：点D（1，0），
∴ ，
设P（1，t），则 ， ，
当PC＝CD时，则 ，
解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），
∴P（1，6）；
当CD＝PD时，则 ，
解得： ，
∴ ， ；
③当PC＝PD时，则 ，解得： ，
∴ ；
综上所述，点P的坐标为（1，6）或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二
次函数的性质、轴对称形；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想．13．如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点
．
(1)求直线 及抛物线的函数表达式；
(2)P为x轴上方抛物线上一点．
①若 ，请直接写出点P的坐标；
②如图， 轴交 于点D， 轴交 于点E，求 的最大值；
(3)Q为抛物线上一点，若 ，求点Q的坐标．
【答案】(1) ，
(2)① ；②
(3)
【分析】（1）将点 代入 ，解方程即可求得 的值，根据二次
函数的定义取舍 的值，进而令 ，即可求得 的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可求
解；
（2）①令 ，求得 的坐标，过点A作 ，求得 的解析式，联立抛物线解析，即可
求得点 的坐标；
②求得得直线 的表达式为 ，设点 ，则点 ， ，求得 ，根据二次函数的性质求解即可；
（3）在抛物线上取点Q，使 ，过点B作 ，交 的延长线于点M，过点M
作 轴于点N， ，求得直线 的解析式为 ，设点 ，
代入 ，求得 的值，即可求得点 的坐标．
（1）
解：将点 代入 ，
化简，得 ，
解得 （舍）或 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
令 ，得
∴ ．
设直线 的函数表达式为 ．
将点 ， 代入，
得 ．
解得 ．
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）
由 ，令 ，
解得 ，
，
①如图①，过点A作 ，则 ．设直线 的表达式为 ．
将点 代入得 ，
∴直线 的表达式为 ．
联立 ．
解得 或 ．
∴ ．
②由（1）知直线 的表达式为 ，
由点 ， ，得直线 的表达式为 ．
设点 ，
则点 ， ．
∴ ，
．
∴ ．
∴当 时， 取最大值 ．
（3）如图②，在抛物线上取点Q，使 ，
过点B作 ，交 的延长线于点M，过点M作 轴于点N．
由点 ， 知 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得，
解得
∴直线 的解析式为 ．
设点 ，
代入 ，
∴ ．
整理，得 ．解得 或 （舍）．
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问
题，线段问题，正切的定义，二次函数的性质求最值，综合运用以上知识是解题的关键．
