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专题 1.1-2 等腰三角形与直角三角形
典例体系 （本专题共 8 9 题 7 5 页）
一、知识点
1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；
2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）
等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）
3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）
等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬
②等边三角形的每条边都存在三线合一；
4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；
6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
7、勾股定理的逆定理：两个边平方之和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
第三边即为直角三角形的斜边。勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形
二、考点点拨与训练
考点1：等腰三角形的性质
典例：（2020·河北河间初二期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么
∠ACB与∠B有怎样的数量关系？
小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．进而得到
△ABD≌△AED，便可得到∠ACB与∠B的数量关系．请结合小明的思路，写出两个角的数量关系，并证
明结论．
方法或规律点拨
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东芝罘初一期中）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交
AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是 （ ）
A．50° B．36° C．40° D．45°
2．（2020·四川成华初一期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF
对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°
3．（2020·陕西西安高新一中初一期末）如图， 中， 是 的角平分线， 的
垂直平分线分别交 于点 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·四川龙泉驿初一期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，
则∠A等于( )
A．30° B．40° C．45° D．36°
5．（2020·山东槐荫初一期末）如图，在第1个△ABC中，∠B＝30°，AB＝CB；在边AB上任取一点
1 1 1
D，延长CA 到A，使AA＝AD，得到第2个△AAD；在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3
AA＝AE，得到第3个△AAE，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A 为顶点的底角度数是（
2 3 2 2 3 n
）
A．（ ）n•75° B．（ ）n﹣1•65°
C．（ ）n﹣1•75° D．（ ）n•85°
6．（2020·河南罗山初二期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
7．（2020·山东中区济南外国语学校初二期末）如图，在 中， ， ，AB的
垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·浙江南浔初三其他）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图
所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相
连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（
）
A．63° B．65° C．75° D．84°
9．（2020·山东历下初一期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
10．（2019·河南宜阳初二期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C=______．
11．（2020·广东龙岗初一期末）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，
BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC=∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB=AD；
（2）若∠COD=70°，求∠APB的度数．
12．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延长BC至D，使BD＝
BA，连接AD．点E在AC上，且CE＝CD，连接BE并延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：BF是AD的垂直平分线；
（3）连接DE，若AB＝10，求△DCE的周长．
考点2：等腰三角形的判定
典例：（2020·黑龙江牡丹江）在等腰 中， ，点D，E在射线 上， ，过点
E作 ，交射线 于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段 上， 是 的角平分线时，如图①，求证： ；（提示：延
长 ， 交于点M．）
（2）当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，如图②；当点E在线段 的延长线上，
是 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若 ，则 ___________．
方法或规律点拨
本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角
平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．巩固练习
1．（2019·薛城区祁连山路中学初一期中）如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过
点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ，则线段 的长为（ ）
A．8 B．．7 C．6 D．5
2．（2020·湖北黄州初二期末）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB
于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长
为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是____．
3．（2020·广东英德初二期中）如图所示，在四边形 中， ， ， ， 平分
交 边于点 ，求 的长．
4．（2020·广东高州初三月考）如图，已知等腰△ABC顶角∠A=36°．
（1）尺规作图：在AC上作一点D，使AD=BD；（保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
5．（2020·广东佛山初二月考）如图，在 和 中， ， ，AC与BD
相交于点O.（1）求证： ；
（2） 是何种三角形？
6．（2020·江苏海安初二月考）已知∠MAN=30°，点B在射线AM上，且 AB=6，点C在射线AN上．
（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；
（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有 个；
（3）设BC=x，当△ABC唯一确定时， 直接写出 的取值范围．
7．（2020·黑龙江南岗初三其他）已知:在 中, ,线段 的垂直平分线交 于点 ,
点 在 上，且 ,连接
如图1 ,求证:
如图2,当 时.在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形．
∴AD=BD，
8．（2020·黑龙江哈尔滨初三二模）图1、图2分别是 的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段 的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个 ，使得 是面积为10的直角三角形，所画图形的各顶点必须在小正方形
的顶点上；
（2）在图2中画一个以线段 为一边的钝角等腰三角形，并且面积等于10，所画等腰三角形的各顶点
必须在小正方形的顶点上．
9．（2020·镇江实验学校初三一模）（1）如图1, ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC
分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).
△
（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三
角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.
10．（2018·额尔古纳市三河中学初二期末）如图，在四边形 中， ， 是 的中点，
连接 并延长交 的延长线于点 ，点 在边 上，且 ．
（1）求证： ≌ ．
（2）连接 ，判断 与 的位置关系并说明理由．
考点3：等边三角形的性质
典例：（2020·四川凉山中考真题）如图，点P、Q分别是等边 边AB、BC上的动点（端点除外），
点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M， 的大小是否变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M， 的大小是否变
化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
方法或规律点拨
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质
证全等是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·内蒙古林西初二期末）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC
为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下
三个结论：①AE=BD ； ②CN=CM； ③MN∥AB； ④∠CDB=∠NBE． 其中正确结论的个数是
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2020·山东槐荫初一期末）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相
交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；
③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是__________（填序号）
3．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图， 和 都是等边三角形，∠EBD=78°，则∠AEB=_________度．
4．（2020·河南嵩县初二期末）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将
△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝_____．
5．（2020·广东新丰初三其他）如图，点 在射线 上，点 在射线 上，
， ，△ 、△ 、 △ 均为等边三角形，则 的长为
__．
6．（2020·宁夏银川市教育局初三其他）如图，是由9个等边三角形拼成的一个六边形，如果中间最小的
等边三角形的边长是1，则右上角的最大的正三角形的边长是_____．
7．（2020·福建安溪初三二模）如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连
接CE．求证：BD＝CE．
8．（2020·山东章丘初一期末）(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同
一直线上，连接BE．①请直接写出∠AEB的度数为_____；
②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2， △ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同－直线上，
CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说
明理由．
9．（2020·广东龙岗初二期末）如图，已知 ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且
AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BFD的度数．
10．（2020·江西广丰初一期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD=30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD=15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD=10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
11．（2020·陕西西安初一期末）（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB
的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的
数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证
明；
（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索
CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
考点4：等边三角形的判定
典例：（2018·山西吕梁初二期末）问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等
边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与
DE的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问
题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之
间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的
形状(不要求证明)．方法或规律点拨
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质
等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东广饶初一期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分
∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD 是
等边三角形．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
2．（2019·山东肥城初二开学考试）如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则
△DEF的形状是（ ）．
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
3．（2019·湖南长沙初二期中）已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，
点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下列结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝
∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP；其中正确的序号是（ ）A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③
4．（2019·北京师大附中初二期中）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在
OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
5．（2019·东安县舜德学校初二期中）如图所示， 是等边 中 边上的点， ，
， 则对 的形状判断最准确的是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
6．（2019·山东曹县）如图， 为等边三角形， 为 延长线上一点，CE=BD， 平分 ，
下列结论:(1) ；(2) ；(3) 是等边三角形，其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2020·广西初三三模）如图， 中， ， ， ，
， 平分 ， 与 相交于点 ，则 的长等于_____.
8．（2019·广西兴宾初二期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点(不与点B、C重合)，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）若点D在线段BC上，问点D运动到何处时，AC⊥DE？请说明理由；
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．(直接写出结果，无需写出求解过
程)
9．（2020·佛山市南海区桂城街道映月中学初二月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分
∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
考点5：含30°锐角三角函数的直角三角形
典例：（2020·广西东兰初二期末） 如图，已知 为等边三角形，AE=CD, , 相交于点 F,
于点Q．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ，求 的长．
方法或规律点拨
本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的
判定条件．巩固练习
1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在 中， ， ，AD是 的
中线，AE是 的角平分线， 交AE的延长线于点F，则DF的长是
A．2 B．4 C．5 D．
2．（2020·内蒙古杭锦后旗初二期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA
交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
3．（2020·广西防城港初二期中）如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与
地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
4．（2020·山东岚山初二期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结
CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是
__________．
5．（2020·湖南渌口初三其他）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，
则在①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中AP长不可能是_____ （填序号）6．（2020·广东南海初二期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB
方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________．
△
7．（2020·贵州铜仁伟才学校初二期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若
AD=6，则CD=_______.
8．（2020·山西寿阳初二期中）如图，将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm，则阴影部分的面
积是__．
9．（2020·广东高州初二期中）如图，已知在 中， ， 为 边的中点，过点 作
， ，垂足分别为 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长.
10．（2020·甘肃省武威市第十中学初三三模）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点
M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的长．考点6：最短路径问题
典例：（2019·湖北十堰初二期中）如图，在平面直角坐标系中
（1）做出△ABC关于y轴对称的 ,并求出 三个顶点的坐标；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
方法或规律点拨
本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点
是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东槐荫初一期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵
站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线） 表示小河， 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的
管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）.
A． B．C． D．
2．（2020·河南内黄初二期末）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点
C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
3．（2019·河南汝州初二期末）如图，等腰三角形 的底边 长为 ，面积是 ， 腰 的垂直平
分线 分别交 边于 点．若点 为 边的中点，点 为线段EF上一动点，则 周
长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·山东历下初一期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上
的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝__________．
5．（2020·山东历下初一期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE
＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．6．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图，在Rt 中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，
将Rt 折叠，使得点C恰好落在AB边的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则 的
周长最小值为___________．
7．（2020·沈阳市第一二七中学初一期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q
分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最
小值为_____cm
8．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，等腰三角形 的底边 长为6，面积是36，腰
的垂直平分线 分别交 ， 边于 ， 点，若点 为 边的中点，点 为线段 上一动
点，则 周长的最小值____．
9．（2020·重庆南岸初一期末）如图所示，在街道 的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街
道的距离分别为AC，BD．现准备在街道 旁设置一个快递中转站．（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明
AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，
BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作
出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
10．（2019·河南汝州初一期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点
A、B和直线 ．
（1）求作点A关于直线 的对称点 ；
（2） 为直线 上的点，连接 、 ，求 周长的最小值．
考点7:判断三边能否构成直角三角形
典例：（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图，点 是等边 内的一点， ， ，
.若点 是 外的一点，且 ，则 的度数为_____．
方法或规律点拨
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边
三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·江苏淮安市·八年级期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2， 3， 4 B．4，6，7 C．3，4， 5 D．6，8，112．（2021·云南文山壮族苗族自治州·八年级期末）下列条件中，使 不是直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
3．（2021·陕西咸阳市·八年级期末）下列各组数中，以 ， ， 为边的三角形不是直角三角形的是
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．（2021·福建泉州市·八年级期末）以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，4，6 B．4，6，8 C．5，12，13 D．8，10，12
5．（2021·江苏苏州市·八年级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能
判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5
6．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．4、5、6 B．5、12、13 C．3、4、5 D．1、 、
7．（2021·江苏连云港市·八年级期末）由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
8．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误
的是（ ）
A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
考点8：利用勾股定理逆定理求解
典例：（2021·江苏扬州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，
AD=24cm，∠ABC=90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．方法或规律点拨
本题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图， ， ， ， ， ．求
该图形的面积．
2．（2021·江西吉安市·八年级期末）如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段
AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
3．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，
CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
4．（2021·重庆北碚区·八年级期末）如图，在 中， ，点D是BC的中点，连接AD，
，BE分别交AC，AD于点E、 ，若 ，求AF的长度．5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线
AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
6．（2020·唐河县桐寨铺镇第一初级中学八年级月考）如图，在四边形ABDC中， ， ，
， ， ．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求 的面积．
7．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，
CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点 不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．8．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
9．（2021·全国八年级）在图中，A（1，3），B（﹣2，0）和C（2，﹣4）是一个直角三角形的顶点．
（1）求AB和BC的长度，答案以根式表示；
（2）求△ABC的面积．
11．（2019·镇江实验学校八年级期中）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形
和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容
易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三
角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，
当∠ACD=30°时， ．
