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专题 1.1-2 等腰三角形与直角三角形
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·湖南怀化市·八年级期末）已知，如图在 中， ， 是三角形的高，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵AB＝AC，AD是△ABC的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠B＝∠C，
∴∠B＝ ＝70°，
故选：D．
2．（2021·山东泰安市·七年级期末）等腰三角形的两边长分别为1cm，2cm，则其周长为（ ）
A．3cm B．4cm C．4cm或5cm D．5cm
【答案】D
【详解】
解：当2为底时，三角形的三边为1，2，1，∵1+1=2，∴不能构成三角形；
当1为底时，三角形的三边为1，2，2，可以构成三角形，周长为：1+2+2=5cm．
综上可知，其周长为5cm．
故选：D．
3．（2021·山东滨州市·八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图
所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA， OB组成，两根棒在O点
相连并可绕O转动，C点固定， ，点D，E可在槽中滑动，若 ，则
的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，
∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．
故选：A．
4．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）如图，在 中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，点D是线段
AE上的一点（不包括端点），则下列结论不正确的是（ ）
A．AE⊥BC B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，故选项A不符合题意；
BE=CE，∠DEB=∠DEC=90°，∠BAD=∠CAD
在△BED和△CED中，
∴ ，故选项B不符合题意；
在△BAD和△CAD中，
∴ ，故选项C不符合题意
题目中所含条件无法证明 ，故选项D符合题意
故选：D．
5．（2021·江西吉安市·八年级期末）下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A．4，6，8 B． ， ， C．5，12，14 D． ， ，
【答案】D
【详解】
A. 4，6，8，
，
∴ ，
∴A选项不能够作为直角三角形的三边长；
B. ， ， ，
，
∴ ，
∴B选项不能够作为直角三角形的三边长；
C. 5，12，14，
，
∴ ，
∴C选项不能够作为直角三角形的三边长；
D. ， ， ，
，
∴ ，
∴D选项不能够作为直角三角形的三边长，
故选择：D．
6．（2021·山东东营市·七年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD=AE，BD=CE，则∠ACE的度数是
（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=60°，在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
故选：C．
7．（2021·湖北咸宁市·八年级期末）若△ABC的三边长 满足 ，则
△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【详解】
解：∵
∴
∴
∴ ，
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形
故选：D
8．（2021·江西吉安市·八年级期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中
不正确的是（ ）
A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
【答案】B
【详解】
解：A、∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A＝∠B＋∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
B、如果a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；
C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，
解得：x=30°，则3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
故选：B．
9．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，在 中， // ， 和 的平分线分别交
于点 、 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】B
【详解】
解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB＋EC＝DF＋GE＝ED−FG＝6−2＝4，
故选：B．
10．（2021·安徽滁州市·八年级期末）如图，已知 ，点 在射线 上，点
…在射线 上， 均为等边三角形，若 ，则
的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，
∵△AB A 是等边三角形，
1 1 2
∴AB =A B ，∠2=60°，
1 1 2 1
∵∠MON=30°，
∴∠MON=∠1=30°，
∴OA =A B =1，
1 1 1
∴AB = A A=1，
2 1 1 2
∵△AB A 是等边三角形，
2 2 3
同理可得：OA =B A=2，
2 2 2
同理；OA =B A= ，
3 3 3
OA =B A= ，
4 4 4
OA =B A= ，
5 5 5
…，
以此类推：
所以OA =B A= ，
7 7 7
故选：C．
11．（2021·广西玉林市·八年级期末）如图，在 中， ，点 是 的中点，
交 于 ；点 在 上， ， ， ，则 的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【详解】
连接OC，过点O作 于F，如图，∵ ， ，
∴ ，
在Rt CDE中， ，
∴ △ ， ，
∵D为AC的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt OEF中，
∵ ，
△
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案选C．
12．（2021·湖北十堰市·八年级期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已
知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B【详解】
解：如图，在 上截取 连接
平分
故选：
13．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A
在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】
解：如图所示，①当 时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
②当 时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；
③当 时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，
综上，B点总共有4个，
故选：D．
14．（2021·山东日照市·八年级期末）如图，在边长为9的等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E、F分别
是边AB、AC上的两个点，且AE=CF=4cm，在CD上有一动点P，则PE+PF的最小值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．8
【答案】C
【详解】
作点E关于AD的对称点G，连接FG与CD的交点即为P点，如图：
∴PG=PE，
此时PF+PE=PF+ PG有最小值，最小值为FG，
∵△ABC是边长为9等边三角形，且CD⊥AB，AE=CF=4，∴AD=BD= AB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，∠A=60 ，
∴ED=GD= AD- AE=4.5-4=0.5，
∴AG=AE+ED+GD=5= AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴FG= AF=5，
∴PF+PE的最小值是5，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·河南郑州市·九年级月考）如图，在 中， ，若 ， ，
则 的度数是______
【答案】
【详解】
解：∵BD∥AE，
∴∠DBA+∠EAB=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠EAB=∠CAE+∠CAB，∠DBA=∠DBC+∠CBA， ，
∴∠CAE=180°-90°-20°=70°；
故答案为：70°．
16．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图所示是屋架设计图的一部分，立柱 垂直于
横梁 ， ， ，则立柱 的长度为___________．
【答案】
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，AB＝8m，∠A＝30°，
∴BC＝ AB＝4m．则立柱BC的长度为 ．
故答案为： ．
17．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）已知一个三角形三边的长分别为 ，则这个三
角形的面积是_________________．
【答案】
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴该三角形为直角三角形，
∴其面积为 ，
故答案为： ．
18．（2021·江苏淮安市·八年级期末）如图， 为 内部一条射线，点 为射线
上一点， ，点 分别为 边上动点，则 周长的最小值为______．
【答案】6
【详解】
解：作点P关于OA的对称点P，点P关于OB的对称点P，连结PP 与OA的交点即为点M，与OB的交
1 2 1 2
点即为点N，
PMN的最小周长为PM＋MN＋PN＝PM＋MN＋PN＝PP，即为线段PP 的长，
1 2 1 2 1 2
连结OP 、OP ，则OP ＝OP ＝OP＝6，
△ 1 2 1 2
又∵∠POP ＝2∠AOB＝60°，
1 2
∴△OP P 是等边三角形，
1 2
∴PP＝OP ＝6，
1 2 1
即△PMN的周长的最小值是6．
故答案是：6．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·山东济南市·八年级期末）如图△ABC中， 的平分线交于点O，过O点做
，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
【答案】CF＋BE＝EF，理由见解析
【详解】
解：CF＋BE＝EF．
证明如下：
∵BO平分∠ABC
∴∠EBO＝∠CBO ，
∵
∴∠EOB＝∠OBC ，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EO＝BE ，
同理可得：CF＝FO，
∵EO＋FO＝EF ，
∴CF＋BE＝EF．
20．（2021·山东泰安市·七年级期末）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B
＝65°．
（1）求∠BCE的度数；
（2）若∠A＝20°，求∠ACE的度数．【答案】（1）50°；（2）45°．
【详解】
解：（1）∵△ABC≌△DEC，
∴CB＝CE，
∴∠CEB＝∠B＝65°，
在△BEC中，∠CEB+∠B+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
（2）∵∠A＝20°，∠B＝65°
∴∠ACB＝95°，
在△ABC中，
∠ACE＝180-∠A-∠B-∠ECB＝180°-20°-65°-50°＝45°．
21．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为 ，小正方形的顶点称为
格点．已知 、 、 都是格点．
（1）小明发现 是直角，请补全他的思路；
小明的思路
先利用勾股定理求出 的三条边长，可得 ， _______， _______．从而可得
、 、 之间的数量关系是_____________________，根据____________________________，
可得 是直角．
（2）请用一种不同于小明的方法说明 是直角．
【答案】（1） ， ， ，勾股定理逆定理；（2）见解析．
【详解】
（1）先利用勾股定理求出 的三条边长，可得 ， ， ．从而可得 、
、 之间的数量关系是 ，根据勾股定理逆定理，可得 是直角．
（2）作图如图，由图可得： ， ， ．
在 和 中，，
，
．
在 中， ，
．
∵D、B、E三点共线，
，
．
22．（2021·山东泰安市·七年级期末）如图，△ABC中，AC＝15，AB＝25，CD⊥AB于点D，CD＝12．
（1）求线段AD的长度；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】（1）9；（2）△ABC是直角三角形，理由见详解．
【详解】
（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt ADC中，
∵∠ADC＝90°，AC＝15，CD＝12，
△
∴AD2＝AC2−CD2＝152−122＝81，
∵AD＞0，
∴AD＝9；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB＝25，AD＝9，
∴BD＝AB−AD＝25−9＝16，
在Rt CDB中，
△∵∠BDC＝90°，
∴BC2＝CD2＋BD2＝122＋162＝400，
∵BC＞0，
∴BC＝20，
∵AC2＋BC2＝152＋202＝252＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
23．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图，在 中， ， ，
在线段 延长线上取一点 ，以 为直角边，点 为直角顶点，在射线 上方作等腰 ，
过点 作 ，垂足为点 ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）连接 ，并延长交 的延长线于点 ，试求线段 与 的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ，证明见解析
【详解】
解：（1） 依题意补全图形；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ；
（3）线段 与 的数量关系是： ．
∵ ≌ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 为等腰直角三角形，
∴
∴△BCG为等腰直角三角形，
∴BC=CG，
∴CG=AC．
24．（2021·山东泰安市·七年级期末）已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝
CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，求证：△DFC是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵AB＝BC，BD是中线
∴BD⊥AC，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，
∵CE＝CD，∠ACB＝60°
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠E＝∠CBD＝30°，
∴DB＝DE，
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°
∵FD⊥DE，∠E＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∴∠DFC＝∠DCF＝60°
∴△DCF是等边三角形．
25．（2021·宁夏石嘴山市·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重
合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设 ， ．
①如图2，当点在线段BC上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】（1）90°；（2）有 ，理由见解析；② 或
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵AB=AC，AD=AE，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴
（2） ．
理由：∵ ，
∴ ．
即 ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
②如图：
∵ ，
∴ ．
即 ．
在 和 中
，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
，
．
26．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系 中，点O为坐标原点，直线
与直线 交于点 ，与x轴分别交于点 和点C．点D为线段上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x轴于点F．
（1）求直线 的函数表达式．
（2）若点D在线段 上．
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．
②当 与 的面积相等时，求线段 的长．
（3）若 为直角三角形，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1） ；（2）① ，② ；（3） 或 ．
【详解】
解：（1）把点 代入 ，
∴直线 为
把点 代入 ，得
把 代入 得，
直线 的函数表达式 ．
（2）①如图，过点A作 轴于点H，则 ，
点坐标为②
即
而
点D为 的中点
，
当 时，
即
（3）由对折可得：
为直角三角形，分两种情况讨论：
当 时，
如图，由对折可得：过 作 于
如图，当 时，
由对折可得：
由 两点坐标可得：
设 则．
综上： 或 ．
