文档内容
专题 2-4 导数证明不等式归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】不等式证明基础思维.............................................................................................................................2
【题型二】极值点偏移1：零点型..........................................................................................................................2
【题型三】极值点偏移2：水平线交点型............................................................................................................3
【题型四】极值点偏移3：极值型..........................................................................................................................3
【题型五】极值点偏移4：多极值点型.................................................................................................................4
【题型七】零点偏移型................................................................................................................................................4
【题型八】条件不等式（等式）型........................................................................................................................5
【题型十】数列不等式型...........................................................................................................................................5
【题型十一】水平线分割型（凸凹翻转型）......................................................................................................5
【题型十二】两根差的绝对值型.............................................................................................................................6
【题型十三】两边夹放缩型......................................................................................................................................6
【题型十四】三角函数型不等式.............................................................................................................................7
专题训练............................................................................................................................................................................7
讲高考
1.已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
2.已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
2022年新高考全国II卷数学真题
3.已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
2022年新高考北京数学高考真题
4.已知 ，函数 ．设 ，记曲线 在点
处的切线为l．
(1)求l的方程；
(2)设l与x轴交点为 ．证明：
① ；②若 ，则 ．
2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课标）题型全归纳
【题型一】不等式证明基础思维
【讲题型】
例题1.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求 在 内的单调区间.
（2）设函数 ，证明： .
【讲技巧】
应用导数证明不等式基础思维：
欲证f（x）>g（x），移项为h（x）=f（x）-g（x），证明h（x）min>0,求导求最值
【练题型】
1.已知函数 ， .
（1）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（2）若函数 的图象在点 处的切线平行于 轴，求证： .
2.已知函数 ．
（1）证明：
（2）若对任意 都有 ，求 的最大值．
【题型二】极值点偏移1：零点型
【讲题型】
例题1.已知函数 ， ．
（1）若 ，求函数 在 为自然对数的底数）上的零点个数；
（2）若方程 恰有一个实根，求 的取值集合；
（3）若方程 有两个不同的实根 ， ，求证： ．
【讲技巧】
零点型，注意数形结合思想的应用：
1. 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。2. 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
【练题型】
已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当函数 与函数 图象的公切线 经过坐标原点时，求实数 的取值集合；
（3）证明：当 时，函数 有两个零点 ， ，且满足 ．
【题型三】极值点偏移2：水平线交点型
【讲题型】
例题1..已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，证明： .
【练题型】
已知函数 在点 处的切线方程与 轴平行．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有两个不同的零点 ， ．
①求 的取值范围；②证明： ．
【题型四】极值点偏移3：极值型
【讲题型】
例题1.已知函数 ．
（1）讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若f（x）有3个极值点x，x，x（其中x＜x＜x），证明：xx＜x2．
1 2 3 1 2 3 1 3 2
【练题型】
已知 ，关于x的方程 的不同实数解个数为k.
（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；（2）若方程 的三个不同的根从小到大依次为 ，求证： .
【题型五】极值点偏移4：多极值点型
【讲题型】
例题1.已知 ，关于x的方程 的不同实数解个数为k.
（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；
（2）若方程 的三个不同的根从小到大依次为 ，求证： .
【讲技巧】
一般情况下，第一步转化是消元，把三个根用一个变量t表示，
第二步构造关于变量的新函数g（t），证明新函数g（t）的最小（大）值的正负，
第三步由导数求得极小（大）值点t0的范围，并对 变形，最终转化为关于 的多
项式不等式，问题易于解决．
【练题型】
．已知函数 （其中 为常数）．
（1）当 时，求函数 的单调减区间和极值点；
（2）当 时，设函数 的3个极值点为 ， ， ，且 ，
①求 的取值范围；
②证明：当 时， ．
【题型七】零点偏移型
【讲题型】
例题1.已知 ， ．
（1）求 在 处的切线方程；
（2）已知 的两个零点为 ，且 为 的唯一极值点．
①求实数 的取值范围；
②求证： ．
【练题型】
设函数 ， ( ).
（1）若 在 处的切线平行于直线 ，求实数 的值；
（2）设函数 ，判断 的零点的个数；
（3）设 是 的极值点， 是 的一个零点，且 ，求证： .【题型八】条件不等式（等式）型
【讲题型】
例题1.已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，分别解答下面两题：
（i）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
（ii）若 ， 是两个不相等的正数， ，求证： ．
【练题型】
已知函数 ， ．
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在实数 ， 满足 ，求证： ．
【题型十】数列不等式型
【讲题型】
例题1.已知 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设函数 ，若关于 的方程 有解，求实数 的最小值；
（3）证明不等式： .
【练题型】
已知二次函数 图象经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 项
和为 ，点 均在函数 的图象上；又 ， ，且
，对任意 都成立.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）求证：① ；② .
【题型十一】水平线分割型（凸凹翻转型）
【讲题型】
例题1.已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；（2）当 时，求 的最小值；
（3）当 时，证明： .
【练题型】
已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明： .
【题型十二】两根差的绝对值型
【讲题型】
例题1.已知函数 ，其中 ．
（1）当 ， 时，证明： ；
（2）若函数 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有两个不同的零点 、 ，证明： ．
【练题型】
已知函数 .
（1）当 时，求 的极值点.
（2）当 时，若 ，且 ，证明 .
【题型十三】两边夹放缩型
【讲题型】
例题1.已知函数 ．
（1）求证： 恒成立；
（2）若函数 有两个不同零点 ， ，求证：
．【练题型】
已知函数 ， ．
（1）求函数 的极值；
（2）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，求曲线在点 处的切线方程；
（3）若方程 为实数）有两个实数根 ， 且 ，求证： ．
【题型十四】三角函数型不等式
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ．
（1）若 ，证明： ；
（2）对任意 都有 ，求整数 的最大值．
【练题型】
已知函数 ．
（1）若 ，求函数 零点的个数；
（2）若 ，对于任意 ，求证： ．
1．已知函数 .
(1)若 最小值为0，求 的值；
(2) ，若 ，证明 .
2．已知函数
(1)若 存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若 是 的零点，求证：
3．已知函数 ， ．(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若存在 ， ，使得 ，则 ．
4．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若直线 与曲线 相切，求证： ．
5．已知函数
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若关于x的方程 有两个不同的实根，证明： ．
6．已知函数 .
(1)求函数的最小值；
(2)若方程 有两个不同的实数根 ， 且 ，证明： .
7．已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，证明： ；
8．已知函数 .
(1)若 是函数 的极值点 ，证明： ；
(2)证明：对于 ，存在 的极值点 ， 满足 .
9．已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)记 的零点为 （ ）， 的极值点为 ，证明： .
10.已知函数 和 有相同的最小值.
(1)求 ；
(2)设 ，证明 .
