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专题1.2 不等式与不等式组
知识归纳
知识点1：不等式的基本性质
1. 不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.
2. 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
3. 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
知识点2：解不等式
求不等式解集的过程称为解不等式.
1. 解一元一次不等式的一般步骤
① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并同类项;⑤ 未知数的系数化为1.
在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
1．（2020杭州）若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
【详解】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
故选：C．
2．（2020贵阳）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
1 1
C． a+1＜ b+1 D．ma＞mb
2 2
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解析】A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选
项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
1 1 1 1 1
C、在不等式a＜b的两边同时乘以 ，不等号的方向不变，即 a＜ b，不等式 a＜ b的两边同时加
2 2 2 2 2
1 1
上1，不等号的方向不变，即 a+1＜ b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
2 2
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变
形不正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2020嘉兴）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答
案．
【解析】去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并，得：x＞﹣1，
故选：A．
4．（2020苏州）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解析】移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．故选：C．
5．（2020•攀枝花）世纪公园的门票是每人 5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人
时，一个团队至少要有 人进公园，买40张门票反而合算．
【分析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x＞160时，求出买到的张数的取值范
围再加上1即可．
【解析】设x人进公园，
若购满40张票则需要：40×（5﹣1）＝40×4＝160（元），
故5x＞160时，
解得：x＞32，
则当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，
则再多1人时买40张票较合算；
32+1＝33（人）．
则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．
故答案为：33．
3x−1
6．（2020•淮安）解不等式2x﹣1＞ ．
2
解：去分母，得2（2x﹣1）＞3x﹣1．
…
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）．
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【分析】（1）根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集；
（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
【解析】（1）去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
（2）本题“去分母”这一步的变形依据是：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不
变；
故答案为A．知识点3：一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的定义:一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一
次不等式组.
2. 一元一次不等式组的解集:组成一元一次不等式组的各个不等式的解的公共部分,称为这个一元一次不等
式组的解集.
3. 解一元一次不等式组:先求出各个不等式的解,再确定其公共部分,即为原不等式组的解集.
4. 借助数轴,熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.
不等式组
解集 图示 口诀
(a<b)
x≥b 大大取大
x≤a 小小取小
a≤x≤b 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
【注意】
1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。
2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
1．（2018·湖南）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
解不等式x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选C．
2．（2019山东中考模拟）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
详解：解不等式组 得－3＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选D.
3．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 ，
故选D．
4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．
【解析】
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜1，
在数轴上表示为： ，
故选A．
5．阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买 盒蛋糕，花费的金额不超
过 元．若他将蛋糕分给 位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）
A． B． C． D．
【解答】
解：设阿慧购买 盒桂圆蛋糕，则购买 盒金爽蛋糕，依题意有
，
解得 ，
是整数，
，（元）．
答：阿慧花 元购买蛋糕．
故选：D．
6．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100
元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所
获利润大于750元，则该店进货方案有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【解析】
解：设该店购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，
根据题意，得： ，
解得： ，
∵ 为整数，∴ 、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种，
故选：C．
{ 3x−5＜x+1
7．（2020武威）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
2(2x−1)≥3x−4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：8．（2020黑龙江）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两
种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n
元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8
千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设
购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a元，乙
种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙
种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次
不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再
根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等
式，解之取其中的最大值即可得出结论．
{15m+20n=430
【解析】（1）依题意，得： ，
10m+8n=212
{m=10
解得： ．
n=14
答：m的值为10，n的值为14．
（2）依题意，得：{10x+14(100−x)≥1160，
10x+14(100−x)≤1168
解得：58≤x≤60．
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬
菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
（3）购买方案1的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）；
购买方案2的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）；
购买方案3的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元）．∵516＜518＜520，
∴利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，
9
解得：a≤ ．
5
9
答：a的最大值为 ．
5
知识点4：利用一次函数的图象解一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)
1. 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为kx+b>0或kx+b<0(k,b是常数,k≠0)的形式,所以解一元一次不
等式可以看作求当一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0时,相应的自变量的取值范围.
2. 解关于x的不等式kx+b>0或kx+b<0的转化思想:
①kx+b>0可以转化为直线y=kx+b在x轴的上方的点所对应的x的取值;
②kx+b<0可以转化为直线y=kx+b在x轴的下方的点所对应的x的取值.
3. 用函数图象解一元一次不等式的一般步骤:先把不等式化成kx+b>0或kx+b<0的形式;再画出y=kx+b的图
象,确定图象与x轴的交点;最后确定不等式的解集.
8．（2020济南市）若m ﹣2，则一次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，所以一次函数 的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
2．（2020四川乐山市）直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 的解集
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】解：根据图像得出直线 经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入 得 ，解得 ，
∴直线解析式为： ，
将y=2代入得 ，
解得x=-2，
∴不等式 的解集是 ，
故选：C．
3．如图，直线 与 的交点的横坐标为 ，则关于 的不等式
的整数解为（ ）.A． B．
C． D．
【解答】
当 时，对于 ，则 ．故 的解集为 ． 与
的交点的横坐标为 ，观察图象可知 的解集为 ．
的解集为 ． 为整数， ．
