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专题 2-7 导数大题求参归类
目录
题型01 恒成立求参：常规型..............................................................................................................................................1
题型02 恒成立求参：三角函数型......................................................................................................................................2
题型03恒成立求参：双变量型...........................................................................................................................................2
题型04 恒成立求参：整数型..............................................................................................................................................3
题型05恒成立求参：三角函数型整数...............................................................................................................................4
/题型06“能”成立求参：常规型.......................................................................................................................................5
题型07“能”成立求参：双变量型....................................................................................................................................5
题型08 “能”成立求参：正余弦型..................................................................................................................................6
题型09 零点型求参：常规型..............................................................................................................................................7
题型10 零点型求参：双零点型..........................................................................................................................................8
题型11 零点型求参：多零点综合型..................................................................................................................................8
题型12 同构型求参：x，x 双变量同构...........................................................................................................................9
1 2
题型13 虚设零点型求参....................................................................................................................................................10
高考练场..............................................................................................................................................................................10
题型 01 恒成立求参：常规型
【解题攻略】
利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的
关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范
围最后取并集.
【典例1-1】（2024上·北京·高三阶段练习）设 ，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 ，求a．
【典例1-2】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若 对 恒成立，求实数a的取值范围．
【变式1-2】（2024上·山西·高三期末）已知函数 ， .(1)求证：函数 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间 的长度 的取值范围；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
题型 02 恒成立求参：三角函数型
【解题攻略】
三角函数与导数应用求参：
1. 正余弦的有界性
2. 三角函数与函数的重要放缩公式： .
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求证： 时， ；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【典例1-2】（2023上·全国·高三期末）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值；
(3)设实数a使得 对 恒成立，求a的最大整数值.
【变式1-1】（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【变式1-2】（2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知函数
为其导函数．
(1)求 在 上极值点的个数；
(2)若 对 恒成立，求 的值．题型 03 恒成立求参：双变量型
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，
(1)若 ， ，总有 成立，故 ；
(2)若 ， ，有 成立，故 ；
(3)若 ， ，有 成立，故 ；
(4) 若 ， ，有 成立，故 ．
【典例1-1】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)设函数 ，当 有两个极值点 时，总有
成立，求实数 的值．
【典例1-2】（2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数 ，其中 .
(1)讨论函数 在 上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点 ，且满足 ，求正实数 的取值范围.
【变式1-1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值点；
(2)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数 有三个不同的极值点 、 、 ，且 ，求实数a的取值范围.
【变式1-2】（2023下·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，求a的取值范围.
题型 04 恒成立求参：整数型
【解题攻略】
恒成立求参的一般规律
①若 在 上恒成立，则 ；
②若 在 上恒成立，则 ；
③若 在 上有解，则 ；
④若 在 上有解，则 ；
如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号【典例1-1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ．
(1)若 恒成立，求实数 的取值范同：
(2)设 表示不超过 的最大整数，已知 的解集为 ，求 ．（参考数据：
， ， ）
【典例1-2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，
为自然对数底数．
(1)证明：当 时， ；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值．
【变式1-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 值域；
(2)是否存在正整数a使得 恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理
由.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 的图象在点 处的切线与函数 的图象相切，求k的值；
(2)若 ，且 时，恒有 ，求k的最大值．
（参考数据： ）
题型 05 恒成立求参：三角函数型整数
【典例1-1】（2020·云南昆明·统考三模）已知 ．
（1）证明： ；
（2）对任意 ， ，求整数 的最大值．
（参考数据： ）
【典例1-2】（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， .
（1）若 ，求函数 在 上的单调区间；
（2）若 ，不等式 对任意 恒成立，求满足条件的最大整数b.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为 的导函数．
(1)讨论 在区间 内极值点的个数；(2)若 ， 时， 恒成立，求整数 的最小值．
【变式1-2】（2023·云南保山·统考二模）设函数 ，
(1)求 在区间 上的极值点个数；
(2)若 为 的极值点，则 ，求整数 的最大值.
/题型 06“能”成立求参：常规型
【解题攻略】
形如 的有解的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需 恒
成立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导数求
得函数 的单调性与最值即可.
【典例1-1】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
注： 为自然对数的底数.
【典例1-2】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数 ， 是
的导函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若存在实数 使 成立，求 的取值范围.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求实数 的最小值．
【变式1-2】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.题型 07“能”成立求参：双变量型
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，
（1）相等关系
记 的值域为A, 的值域为B,
①若 ， ，有 成立，则有 ；
②若 ， ，有 成立，则有 ；
③若 ， ，有 成立，故 ；
（2）不等关系
(1)若 ， ，总有 成立，故 ；
(2)若 ， ，有 成立，故 ；
(3)若 ， ，有 成立，故 ；
(4) 若 ， ，有 成立，故 ．
【典例1-1】（2022·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中a≠0.
(1)若 ，讨论函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，对任意 ，总存在 ，使得 成立？若存在，求出实数a
的值；若不存在，请说明理由．
【典例1-2】（2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 ， 满足 ，且 ， ，求实数a的取值范围．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【变式1-2】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在区间 上的最大值和最小值;
(2)若对任意的 ，均存在 ，使得 ，求a的取值范围．题型 08 “能”成立求参：正余弦型
【典例1-1】（2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习）函数 .
（1）求证：函数 在区间 内至少有一个零点；
（2）若函数 在 处取极值，且 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+2﹣2cosx
（1）求函数f（x）在[ ， ]上的最值：
（2）若存在x∈（0， ）使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围
【变式1-1】（2020·四川泸州·统考二模）已知函数 .
（1）求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；
（2）求证：当m＞2时，对任意x ∈(0,π] ，存在x ∈(0,π]和x ∈(0,π](x ≠x )使g(x )=g(x )=f(x )成立.
0 1 2 1 2 1 2 0
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
（1）若 在 处的切线为 ，求 的值；
（2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
题型 09 零点型求参：常规型
【解题攻略】
零点常规型求参基础：
1. 分类讨论思想与转化化归思想
2. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线
处（极值点处）
3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
【典例1-1】（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数 为 上的偶函数，
为 上的奇函数，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围．
【典例1-2】（2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数
是偶函数．
(1)求 的值；(2)若函数 无零点，求 的取值范围；
(3)设 ，（其中实数 ）．若函数 有且只有一个零点，求 的取
值范围．
【变式1-1】（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知 ．
(1)试判断函数 的单调性；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
【变式1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求 的取值范围．
题型 10 零点型求参：双零点型
【解题攻略】
利用导数解决 有两个零点，求实数 的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范
围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单
调性.
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 过原点的切线的方程．
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围．
【典例1-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数 ，且 恒成立．
(1)求实数 的最大值；
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【变式1-1】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在 处的切线方程;
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【变式1-2】（2023下·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.题型 11 零点型求参：多零点综合型
【解题攻略】
三个以及三个以上零点，较复杂，综合度较大。
1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。
2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。
3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。
【典例1-1】（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）已知函数 ，记函数 ，若函数 有三个零点，求实数
的取值范围.
【典例1-2】（2022上·广西钦州·高三校考阶段练习）已知 在区间 ， 上的值域 ， .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
【变式1-1】（2020·浙江·模拟预测）已知函数 .
（1）求函数 的最值；
（2）已知函数 ，设函数 ，若函数 有三个
零点，求实数 的取值范围.
【变式1-2】（2022上·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数 .
(1)求函数 的极值点；
(2)当 时,当函数 恰有三个不同的零点，求实数 的取值范围.
题型 12 同构型求参： X ， X 双变量同构
1 2
【解题攻略】
双变量同构型，较多的是含有绝对值型。
1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。
2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解
【典例1-1】（2019·河南郑州·统考二模）已知函数 .（1）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
（2）若 ， 时， ，都有 ，求 的取值范围.
【典例1-2】（2020上·河南三门峡·高二统考期末）已知函数 .
（Ⅰ）若 在 处的切线方程为 ，求a的值；
（Ⅱ）若 ， ，都有 恒成立，求实数a的取值范围.
【变式1-1】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 ，若对任意 、 ，且 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【变式1-2】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)设 ， ，若对任意 ，且 ，都有 ，求实数 的取值
范围.
题型 13 虚设零点型求参
.
【解题攻略】
虚设零点转化技巧：
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式
子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无
关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变
量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立
含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为
止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。
【典例1-1】（2023·河南安阳·统考二模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 有两条过点 的切线，求实数m的取值范围；
(2)若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值集合．
【典例1-2】（2023·天津河北·统考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；(3)若对任意的 ，都有 成立，求整数 的最大值.
【变式1-1】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 .
(1)证明：曲线 在 处的切线经过坐标原点；
(2)记 的导函数为 ，设 ，求使 恒成立的 的取值范围.
【变式1-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数 ， （ ，
为自然对数的底数）.
(1)求函数 的极值；
(2)若对 ， 恒成立，求 的取值范围.
高考练场
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
2.（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数 .
(1)讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
3.（2023·山东德州·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，求 的取值范围．
4.（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数
(1)若 ，讨论 的单调性.
(2)当 时，都有 成立，求整数 的最大值.
5.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)当 时，对任意 ，都有 ，求整数 的最大值．
6.（2023上·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）已知函数 ．(1)试讨论 的极值点的个数；
(2)若 ，且对任意的 都有 ，求 的取值范围．
7.（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知函数 .
(1)若 ，设 ，讨论函数 的单调性；
(2)令 ，若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
8.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对于任意的 ，都存在 ，使得 成立，试求实数 的取值范围.
9.（2020·江西·校联考模拟预测）已知函数 在 上单调递增，函数
．
（1）求 的值；
（2）若存在 ，使得 成立，求m的取值范围．
10.（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若函数 在 上只有一个零点，求实数a的取值范围.
11.（2022上·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数 是
自然对数的底数， 且 ．
(1)若 是函数 在 上的唯一的极值点，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
12.（2021上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知 ，
.
（1）讨论 在区间 上的单调性；
（2）若 ，且 在 上有三个零点 ，求实数 的取值范围.
13.（2019·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；
（2）对任意的 ， ， ，恒有 ，求实数 的取值范围.
14.（2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数 ，
（1）判断函数 在区间 上的单调性；
（2）若当 时， 恒成立，求正整数 的最大值．
