专题 2.8 函数图象与函数零点问题
【新高考专用】
题型一 函数图象的画法与图象变换
x 1
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数y= 的图象，只需将函数y= 的图象（ ）
x−1 x
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数y=f (x)的图象如下图所示，函数y=f (2−x)的图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·天津东丽·期中）f (x)=¿
(1)作出该函数的图象，(2)求 的值；
f (f (−3))
(3)若f (a)=3，求实数a的值.
4．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数f(x)=¿
(3)
(1)求f(3),f ；
2
(2)画出函数f(x)的图像；
(3)若f(a)≤5，求a的取值范围．题型二 函数图象的识别
5．（2024·陕西安康·模拟预测）函数 的图象大致是（ ）
f(x)=(ex+e−x)sinx
A． B．
C． D．
6．（2024·福建福州·模拟预测）函数
x2+3
的图象大致为（ ）
f (x)=
√x2+1
A． B．
C． D．
a
7．（2024·吉林·二模）已知函数f (x)=x+ (a∈R)，f (x)的图象不可能是（ ）
x
A． B．C． D．
8．（2024·全国·三模）函数 2x3 的部分图象大致为（ ）
f (x)= −x
1+x2
A． B．
C． D．
题型三 函数图象的应用
9．（23-24高一上·北京·期中）如图为函数y=f (x)和y=g(x)的图象，则不等式f (x)⋅g(x)<0的解集为（
）
A．(−∞,−1)∪(−1,0) B．(−∞,−1)∪(0,1)
C．(−1,0)∪(1,+∞) D．(0,1)∪(1,+∞)
ax+b
10．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）函数f(x)= 的图象如图所示，则（ ）
(x+c) 2A．a<0,b<0,c>0 B．a>0,b<0,c>0
C．a>0,b>0,c<0 D．a>0,b<0,c<0
1
11．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数f (x)=x− 的部分图象如图所示，则（ ）
x
A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为(0,+∞)
C．f (x)在区间(−∞,0)上单调递减 D．f (x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)
12．（23-24高一上·北京·期中）如图所示，f (x)(i=1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质：
i
“对 中任意的 和 ，任意 恒成立”的只有（
[0,1] x x λ∈[0,1],f [λx +(1−λ)x ]≤λf (x )+(1−λ)f (x )
1 2 1 2 1 2
）
A．f (x),f (x) B．f (x),f (x) C．f (x),f (x) D．f (x)
1 3 2 3 2 4 4
题型四 函数零点所在区间的判断
13．（2024·吉林长春·一模）方程log x+x=2的根所在区间是（ ）
3
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
14．（2024·广东揭阳·二模）函数f (x)=e−x−x的零点所在的区间是（ ）( 1) ( 1 ) ( 1) (1 )
A． −1,− B． − ,0 C． 0, D． ,1
2 2 2 2
6
15．（2024·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数f (x)= −log x零点所在的一个区间 .
x 2
16．（2024·福建漳州·一模）函数 的零点属于区间 ，则
f(x)=ex+2x−6(e≈2.718…) (n,n+1)(n∈Z)
n=
.
题型五 求函数的零点或零点个数
17．（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数 的零点是（ ）
y=(x−2)(2x+1)
A．2 B．(2,0) C．-2 D．2或-1
2
18．（2024·北京·模拟预测）已知函数f(x)=¿，则函数g(x)=f(x)− 的零点个数为（ ）
x
A．2 B．0 C．3 D．无穷
19．（2024·上海徐汇·一模）函数y=lg(2x+1)+lgx的零点是 ．
20．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=¿则函数y=f(f(x))+1有 个零点．
题型六 根据函数零点分布求参数
21．（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数f (x)=x2+2mx+2m+3有一个零点在区间(0,2)内，求实数
m的取值范围是（ ）
A．m=−1 B．m=−1或m=3
3 7 3 7
C．m=−1或− <m≤− D．m=−1或− <m<−
2 6 2 6
22．（24-25高一上·全国·期中）如果函数f (x)=x2−mx+1的两零点分别落在区间(0,1)和(1,2)上，则实数
m的取值范围是（ ）
5 5
A．1<m<3 B．2<m<3 C．2<m< D．1<m<
2 2
23．（23-24高一上·上海·期末）已知函数 两个零点，一个大于2另一个小于
f(x)=ax2−2x+1(x∈R)
2，则实数a的取值范围为 ．
24．（2024高一·全国·课后作业）已知函数 有两个零点，一个大于1，一个小于1，
f(x)=2kx2−2x−3k那么实数k的取值范围是 ．
题型七 根据函数零点个数求参数范围
25．（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x)=¿恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,0)∪(1,+∞) B．(0,1) C．(−∞,1) D．(0,+∞)
26．（2024·安徽合肥·二模）已知函数f (x)=¿，若关于x的方程f (x)−f (1−a)=0至少有两个不同的实数
根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
(−∞,−4]∪[√2,+∞) [−1,1]
C． D．
(−4,√2) [−4,√2]
27．（2024·天津·二模）设a∈R，函数f (x)=¿，若函数y=f (x)−|ax|恰有4个零点，则实数a的取值范
围为 ．
28．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，f (x)=¿，若函数g(x)=f (x)−mx有三个零
点，则实数m的取值范围为 .
题型八 函数零点的大小与范围问题
29．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数f (x)=¿，若函数g(x)=f (x)−t有三个不同的零点x ,x ,
1 2
1 1 3
x (x <x <x )，则 + − 的取值范围是（ ）
3 1 2 3 x x x
2 3 1
A． B． C． D．
(2√2,+∞) [2√2,+∞) (2,+∞) (3,+∞)
30．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知f(x)=¿，若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数根x ，
1
x ，x ，x ，则x ⋅x ⋅x ⋅x 的取值范围是（ ）
2 3 4 1 2 3 4
A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）
31．（2024·全国·模拟预测）已知函数
f(x)=xe
1
x−a(x>0)
，且 f(x) 有两个相异零点x
1
,x
2
．
(1)求实数a的取值范围．
2a
(2)证明：x +x > ．
1 2 e1
32．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数f(x)=2alnx+ x2−(a+2)x，其中a为常数.
2
(1)当a>0时，试讨论f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x ，x ，
1 2
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x +x >4.
1 2
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数 y= ( 1− 2 ) ⋅cos ( π +x )的图象大致为（ ）
1+2x 2
A． B．
C． D．
2．（2024·广东·二模）设 ， ， 分别为函数 ， ， 的零点，
a b c f(x)=x√x−1 g(x)=xlgx−1 ℎ(x)=xex−1
则a，b，c的大小关系为( ).
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c3．（2024·浙江台州·一模）函数y=f (x)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析
式可能为（ ）
( 1 ) ( 1 )
A．y=f 1− x B．y=−f 1− x
2 2
C．y=f (4−2x) D．y=−f (4−2x)
1
4．（2024·广东湛江·一模）函数f (x)=lg(x+1)− 零点的个数为（ ）
x
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 ， ，若关于x的方程
f (x)=|ex−1| g(x)=f2(x)−tf (x)(t∈R)
g(x)=3−t2有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(−2,2) (√3,2) (−2,−√3) (2,+∞)
6．（2024·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A→B→C→D运动，x表
示动点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=f (x)的大致图像是（ ）
A． B．C． D．
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f(x)=¿，若方程f (x)=a有四个根x ,x ,x ,x ，且
1 2 3 4
，则下列说法错误的是（ ）
x <x <x <x
1 2 3 4
A．x +x =−2 B．x +x >2
1 2 3 4
C．x x >4 D．0<a≤1
1 2
8．（2024·广东广州·模拟预测）函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=¿，则函数
g(x)=xf(x)−1在[−6,+∞)上的所有零点之和为（ ）
A．－32 B．32 C．16 D．8
二、多选题
9．（2024·甘肃定西·一模）已知函数 ，则（ ）
f (x)=|2x−1|−a,g(x)=x2−4|x|+2−a
A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点
C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点
10．（2024·河南·模拟预测）已知函数 关于 的方程 ，下列命题
f (x)=¿ x f2(x)−(m+2√2)f (x)+2√2m=0
正确的是（ ）
A．若2<m<3，则方程恰有4个不同的解
B．若1<m<2，则方程恰有5个不同的解
C．若方程恰有2个不同的解，则m>3或m=2√2
D．若方程恰有3个不同的解，则m≤1
11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数f (x)=¿，g(x)=f(x)−a，则（ ）
A．若g(x)有2个不同的零点，则2<a<5
B．当 时， 有5个不同的零点
a=2 g(f(x))
C．若 有4个不同的零点 ，则 的取值范围是
g(x) x ,x ,x ,x (x <x <x <x ) x x x x (12,13)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4x +x
D．若g(x)有4个不同的零点x ,x ,x ,x (x <x <x <x )，则ax x + 3 4的取值范围是(6,9)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 a
三、填空题
12．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图是某个函数y=f(x)的图象在x∈[0,2]的一段
图像．写出函数y=f(x)在x∈[0,2]时满足图象的一个解析式f(x)= （写出一个即可）．
13．（2024·河南·二模）已知函数f (x)是偶函数，对任意x∈R，均有f (x)=f (x+2)，当x∈[0,1]时，
f (x)=1−x，则函数g(x)=f (x)−log (x+1)的零点有 个.
5
14．（2024·天津·一模）若函数f (x)=¿恰有两个不同的零点m,n，且m<n，则n的取值范围为 ．
四、解答题
15．（24-25高一上·吉林长春·期中）已如函数f (x)=¿.
(1)求 ， ( (1))；
f (−2) f f
3
(2)若f (a)=2，求实数a的值；
(3)作出函数y=f (x)在[−2,2)区间内的图象.
16．（2024·河南·模拟预测）设a>0且a≠1，函数f (x)=log (x−1),g(x)=log (2x+t)(t∈R).
a a(1)当t=1时，求不等式2f (x)≤g(x)的解集；
(2)若函数 在区间 上有零点，求 的取值范围.
ℎ(x)=af(x)+tx2+2t+2 (1,3] t
1
17．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数f (x)=ax+ ．
x
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)若 ，判断 在( 1 )的单调性，并用定义法证明；
a>0 f (x) 0,
√a
(3)若 ， ，判断函数 的零点个数，并说明理由．
a=1 g(x)=f (ex)−18 g(x)
18．（2024·福建·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=xlnx−a(x2−1)
(1)讨论函数f(x)的零点个数；
1 1 1
(2)若f(x)有三个零点x , x , x ，求 + + 的取值范围．
1 1 3 x x x
1 2 3
1
19．（2024·河北·三模）已知函数f (ex)=xex− ae2x−ex−2．
2
(1)当a=1时，讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f′(x)为函数f (x)的导函数，f′(x)有两个零点x ,x ．
1 2
（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：
(x x )
e<ex
1
+x
2
．
1 2
