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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.8三角形的证明与计算大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共24小题）
1．（2021秋•邢台月考）已知等腰三角形 ．
（1）若顶角 ，则 的度数为 ；
（2）若底角 ，求 的度数；
（3）若 ，则 的度数为 ．（用含 的式子表示）
【分析】（1）根据 ，这个等腰三角形是钝角三角形即可求 的度数；
（2）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；
（3）根据 ，分三种情况画出图形分类讨论，结合三角形内角和定理求解即可．
【解析】（1） 顶角 ，
，
故答案为： ；
（2） 为底角， 为顶角，
；
若 为底角，则 ；
故 或 ；
（3） ，
①当 为顶角时，
；
②当 为底角， 为底角时，
；
③当 为底角， 为顶角时，
，
综上所述， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
2．（2021秋•余杭区月考）如图，在 中， ， ， 是 边上的点，且，过点 作 边的垂线交 边于点 ，求 的长．
【分析】运用含 角的直角三角形的性质得 ，从而得出答案．
【解析】 ， ，
，
，
，
，
．
3．（2021秋•昭通期中）已知在 中， 为边 上一点， ， 平分 ，交
于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，求 的度数．
【分析】（1）由 ，易得 ，由三角形的外角的性质，可求得 ，继
而可得 ；
（2）首先设 ，然后表示出 ， ， 的度数，即可得方程： ，解
此方程即可求得答案．
【解析】（1）证明： ，
，
，
，
，；
（2）解：设 ，
平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
．
4．（2021秋•新昌县期中）如图1，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，
交 于 ，交 于 ．
（1）当 ， ，则 8 ；
（2）当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它仍然和 的角平分线相交于点 ，过
点 作 ，交 于 ，交 于 ，试判断 ， ， 之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证 ， ，即可得出答案；
（2）与（1）同理可证．
【解析】（1） ，
， ，
和 的平分线交于点 ，
， ，
， ，， ，
，
故答案为：8；
（2） ，理由如下：
平分 ，
，
，
，
，
，
同理可得 ，
．
5．（2020秋•余杭区期末）如图，点 是等边 内一点， ， ．以 为一边
作等边三角形 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？
【分析】（1）由等边三角形的性质得出 ，根据 可证明
．
（2）利用全等三角形的性质可以求出 的度数，由此即可判定 的形状；
（3）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解析】（1）证明： 和 是等边三角形，
，
， ， ，
，
，
在 和 中，，
；
（2）解： 是直角三角形．
理由如下： ，
，
， ，
，
是直角三角形；
（3）解： ， ， ， ，
①要使 ，需 ，
，
；
②要使 ，需 ，
，
；
③要使 ，需 ，
，
．
所以，当 为 、 、 时， 是等腰三角形．
6．（2020秋•和平区期末）已知， 中， ， ，点 是边 上一点，连接 ，
且 ．
（1）如图①，求证 ；
（2）如图②，点 为边 上一点，连接 ，以 为边在 的左侧作等边三角形 ，连接 ，
则 的大小 3 0 （度 ；
（3）如图③，过点 作 交 于点 ，点 为线段 上一点，连接 ，作 ，
交 的延长线于点 ．线段 ， 与 之间有怎样的数量关系，并证明．【分析】（1）根据直角三角形的性质求出 ，根据等腰三角形的性质求出 ，进而求出 ，根
据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）证明 ，根据全等三角形的性质得到答案；
（3）连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质证
明即可．
【解析】（1）证明： ， ，
，
， ，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
故答案为：30；（3）解： ，
理由如下：如图③，连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
在 中， ， ，点 是 中点， ，
， ，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
．7．（2021•新泰市模拟）在 中， ， ， ， 为 上一
点，连接 ，过点 作 于点 ．
（1）如图1，过点 作 交 的延长线于点 ，求证： ；
（2）如图2，若 为 的中点， 的延长线交 于点 ，连接 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， ，直接写出 的长．
【分析】（1）先证 ，再由 即可得出 ；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，先由全等三角形的性质得 ， ，再证
，然后证 ，得 ，即可得出结论；
（3）连接 ，先由勾股定理得 ，再由全等三角形的性质得 ，求出
，然后由等腰直角三角形的性质得 ，由勾股定理得 ，设
，则 ，最后在 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 ，即可得
出答案．
【解析】（1）证明： ， ，
，
，
，又 ，
；
（2）证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图2所示：
由（1）得： ，
， ，
为 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
；
（3）解：连接 ，如图3所示：
， ， ，
，
由（2）得： ， ， ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
，
．
8．（2021 秋•长汀县期中）如图，在 中， ， ，点 为 内一点，
， 为 延长线上的一点，且 ．
（1）求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）请判断 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用 定理证明 ，可求出答案；
（2）求出 ，可得出 ，证得 ，则结论得证；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ．证明 为等边三角形，可得 ，
再证明 ．得出 ，则结论 得证．
【解析】（1）解： ，
．
，
，
，
．
在 与 中，
，
．
（2）证明： 是 的外角，
，
，
，
，
，
，
平分 ．
（3）结论： ．
在 上取点 ，使 ，连接 ．，
，
， ，
为等边三角形，
，
．
在 与 中，
．
，
，
．
9．（2020秋•二道区期末）在 中， ， ，点 为边 的中点，动点 以2个单位的
速度从点 出发在射线 上运动，点 在边 上，设点 运动时间为 秒．
（1）用含 的代数式表示线段 的长．
（2）当 ，点 在线段 上．
①若 和 全等，则 的值为 3 或 3. 5 ．
②连接 ，设 的面积为 ．当 时，求 的值．
（3）当 ， 为等腰三角形时，请直接写出 的度数为 ．【分析】（1）根据路程等于时间 速度解答即可；
（2）①根据全等三角形的性质，分两种情况解答即可；
②根据三角形面积公式得出方程解答即可；
（3）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解析】（1）设点 运动时间为 秒， ，
，
点 在点 右侧运动时， ， ，
（2）① ，
，
当 和 全等时， ， ，
可得： ，
解得： ，
当 和 全等时， ， ，
可得： ，
解得： ，
综上所述，若 和 全等，则 的值为3或3.5；
故答案为：3或3.5；
②连接 ，
， ，的边 上的高 ，
设 的面积为 ．当 时，
可得： ，
解得： ；
当点 在点 右侧， ，
的面积 ，
，
即 ，
解得： ，
综上所述， 的值为4.5或7.5；
（3） 当 ， 为等腰三角形时，
当 时， 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述，当 ， 为等腰三角形时， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
10．（2020秋•锦江区校级期末）如图1，已知 中， ，点 是 上一点，且 ，
， 于点 ，交 于点 ．
（1）如图1，若 ，求 的长；
（2）如图2，若 ，求 的面积；
（ 3 ） 如 图 3 ， 点 是 延 长 线 上 一 点 ， 且 ， 连 接 ， 求 证 ：【分析】（1）利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出 即可．
（2）如图2中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．设 ，想办法构建方程求出 即可解
决问题．
（3）如图3中，过 点作 于点 ，与 交于点 ，连接 ，证明 ，
推出 ，再证明 ，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，
， ，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
．
（3）证明：如图3中，过 点作 于点 ，与 交于点 ，连接 ．
， ，
， ， ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ．
11．（2020秋•滨海新区期末）在 中， ， ， 平分 交 于点 ，
交 延长线于点 ，连接 ，过点 作 交 于 ．
（Ⅰ）如图①，
（1）求 的度数；
（2）求证 ；
（Ⅱ）如图②， 交 的延长线于点 ，探究 、 、 之间的数量关系，并给出证明．【分析】（Ⅰ）①由角平分线的性质求出 ，由余角的性质可得出答案；
②证明 ，由全等三角形的性质可得出 ；
（Ⅱ）过点 作 于点 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
证明 ，得出 ，则可得出结论．
【解析】（Ⅰ）① ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
② ，
，
，
，
即 ，
由①得 ，
在 和 中，，
，
；
（Ⅱ） 、 、 之间的数量关系为 ．
证明：如图所示，过点 作 于点 ，
平分 ， ， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
由②得 ，
，
在 和 中，
，
，
，在 和 中，
，
，
，
．
、 、 之间的数量关系为 ．
12．（2020秋•船营区期末）（1）如图①， 和 都是等边三角形，且点 ， ， 在一条直线
上，连接 和 ，直线 ， 相交于点 ．则线段 与 的数量关系为 相等 ； 与 相
交构成的锐角的度数为 ．
（2）如图②，点 ， ， 不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由．
（3）应用：如图③，点 ， ， 不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有 ．设直
线 交 于点 ，请把图形补全．若 ，则 ．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得 ， ， ，然后求出
，再利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，
根据全等三角形对应角相等可得 ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和求出 ；
（2）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，则可得出结论；
（3）得出 ，由直角三角形的性质可得出答案．
【解析】（1） 和 都是等边三角形，， ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
由三角形的外角性质， ，
，
；
故答案为：相等， ；
（2）成立．
证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
．
（3）补全图形如图③，由（1）（2）可知 ，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
13．（2020秋•淮南期末）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 ， 重合），以
为 一 边 在 的 右 侧 作 ， 使 ， ， 连 接 ．（1）如图1，当点 在线段 上，如果 ，则 9 0 度；
（2）如图2，如果 ，则 度；
（3）设 ， ．
①如图3，当点 在线段 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点 在直线 上移动，请直接写出 ， 之间的数量关系，不用证明．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得
，可求 的度数；
（2）由条件可得 为等边三角形，由“ ”可证 得出 ，则可得
出结论；
（3）①由“ ”可证 得出 ，再用三角形的内角和即可得出结论；
②分两种情况画出图形，由“ ”可证 得出 ，再用三角形的内角和即可得
出结论．
【解析】（1） ， ，
，
，
，
， ，
，，
故答案为：90；
（2） ， ，
为等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
， ，
，
，
，
故答案为：120．
（3）① ，
理由： ，
．
即 ．
在 与 中， ，
，
．
．
，
，
，．
②如图1：当点 在射线 上时， ，
连接 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
即： ，
，
如图2：当点 在射线 的反向延长线上时， ．
连接 ，，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
．
；
综上所述：点 在直线 上移动， 或 ．
14．（2021春•西安期末）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证： ．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至 ，使 ，
是 边上的中线在 和 中
（依据一）
在 中， （依据二）
．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据 ；
依据 ．
归纳总结：上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化
到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形
和证明边之间的关系．
任务二：如图3， 是 边上的中线， ， ，则 的取值范围是 ；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以 和 为边作等腰直角三角形，在 中， ，
； 中， ， ．连接 ．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
【分析】任务一：根据 证明 ，得出 ，由三角形三边关系得出答案；
任务二：延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，得出 ，由三
角形三边关系可得出答案；
任务三：延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得
出 ， ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得
出答案．
【解析】任务一：
证明：延长 至 ，使 ，
是 边上的中线，
，在 和 中，
，
，
，
在 中， （三角形任意两边之和大于第三边），
．
故答案为： ，三角形任意两边之和大于第三边．
任务二：
解：如图1，延长 至点 ，使 ，连接 ，
是中线，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
故答案为： ．任务三：
与 的数量关系为 ．
理由如下：如图2，延长 至点 ，使 ，连接 ，
是中线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
．
15．（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，点 ， 分别在等边 的边 ， 上，且 ， ，
交于点 ．（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，若 ， ， ， 分别是 各边上的三等分点， ， 交于 ．若 的面积
为 ，请用 表示四边形 的面积；
（3）如图3，延长 到点 ，使 ，设 ， ，请用含 ， 的式子表示 长，并
说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质 ， ，且 ，可证
，由三角形的外角性质可求 的度数；
（2）由等边三角形的性质可得 ，且 ， ，
可证 和 ，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求四边形
的面积；
（3）在 上截取 ，由题意可证 ，可得 ， ，
，即可求 的长．
【解析】（1） 是等边三角形
， ，且 ，
，
，
，
；
（2） ， ， ， 分别是 各边上的三等分点，
，且 ， ，
，， ，且 ，
，
，
，
，
， 是 ， 上三等分点，
，
四边形 的面积 ；
（3） ．
理由如下：如图，在 上截取 ，即 ，
， ， ．
，
，且 ，
，且 ， ，
，
， ，
，
，且 ，
，且 ，
，
．16．（2020秋•惠山区期中）如图，在等边 中， ，点 从点 出发沿 边向点 点以
的速度移动，点 从 点出发沿 边向 点以 速度移动． 、 两点同时出发，它们移动
的时间为 秒钟．
（1）请用 的代数式表示 和 的长度： ， ．
（2）若点 在到达点 后继续沿三角形的边长向点 移动，同时点 也在继续移动，请问在点 从点
到点 的运动过程中， 为何值时，直线 把 的周长分成 两部分？
（3）若 、 两点都按顺时针方向沿 三边运动，请问在它们第一次相遇前， 为何值时，点 、
能与 的一个顶点构成等边三角形？
【分析】（1）由等边三角形的性质可求得 的长，用 可表示出 和 的长；
（2）由等边三角形的性质可知 把 的周长分成 两部分，可得到关于 的方程，可求得 的值；
（3）根据题意：在它们第一次相遇前，分3种情况讨论： 为何值时，点 、 能与 的一个顶点构
成等边三角形，由条件可得到关于 的方程，可求得 的值．
【解析】（1） 是等边三角形，
，
点 的速度为 ，时间为 ，
，则 ；
点 的速度为 ，时间为 ，
；
故答案为： ， ；
（2）当点 在到达点 后继续沿三角形的边长向点 移动，设 时，直线 把 的周长分成 两
部分，如图，
第1部分周长为： ，
第2部分周长为： ，
① ，
解得 到 的运动过程，所以舍去），
② ，
解得 ，
答： 为 时，直线 把 的周长分成 两部分；
（3）①若 为等边三角形，
则有 ，即 ，解得 ，
所以当 时，它们第一次相遇前，点 、 能与 的顶点 构成等边 ；
②若 为等边三角形，
则有 ，即 ，
解得 ，
所以当 时，它们第一次相遇前，点 、 能与 的顶点 构成等边 ；
③当 在 上， 在 上，若 为等边三角形，
则有 ，即 ．
解得 ，
所以当 时，它们第一次相遇前，点 、 能与 的顶点 构成等边 ；
综上所述：当 或 或 ，点 、 能与 的一个顶点构成等边三角形．
17．（2020秋•惠安县期中）在 中， ，分别过点 、 两点作过点 的直线 的垂线，
垂足分别为点 、 ．
（1）如图1，当 ，点 、 在直线 的同侧时，猜想线段 ， 和 三条线段有怎样的数
量关系？请直接写出你的结论： ；
（2）如图2，当 ，点 、 在直线 的异侧时，请问（1）中有关于线段 、 和 三条线
段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由．
（3）当 ， ，点 、 在直线 的同侧时，一动点 以每秒 的速度从 点出发
沿 路径向终点 运动，同时另一动点 以每秒 的速度从 点出发沿 路径向终
点 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点 和点 作 于 ，
于 ．设运动时间为 秒，当 为何值时， 与 全等？【分析】（1）由 ，得 ，证得 ，根据等角的余角相等
得 到 ， 易 得 ， 所 以 ， ， 即 可 得 到
．
（2）证明 ，得出 ， ，则可得出结论；
（3）根据点 和点 不同的位置分四种情况画出图形，由全等三角形的性质则可得出答案．
【解析】（1）猜想： ．
证明： ，
，而 于 ， 于 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
故答案为： ．
（2）结论： ；
理由： ， ，
，
，
，，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（3）①当 时，点 在 上，点 在 上，如图，
，
，
解得： ，不合题意；
②当 时，点 在 上，点 也在 上，如图，
，
点 与点 重合，
，
解得： ；
③当 时，点 在 上，点 在 上，如图，，
，
解得： ；
④当 时，点 停在点 处，点 在 上，如图，
，
，
解得： ；
综上所述：当 或14或16秒时， 与 全等．
18．（2020秋•连江县期中）如图，在 中， ， ，过 作直线 ， 关于直线
的对称点为 ，连接 ， ， ， 与 的交点为 ，设 ．
（1）若 ，则请直接写出下列两个角的度数： ， ．
（2）随着 的变化， 的度数是否也发生变化，请说明理由；
（3）当 成为等腰三角形时，求 的值．
【分析】（1）分别求出 ， 即可解决问题．（2）分别用 表示 ， ，利用角的和差定义求出 即可．
（4）分四种情形：如图 中，当 时，如图 中，当 时，如图 中，当
时，如图 中，当 时，分别求出 ，即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，
， 关于 对称，
，
，
，
，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
故答案为： ， ．
（2）如图2中，结论： 的度数不变， ．理由： ， ，
，
， ，
，
．
（3）如图 中，当 时，
， ，
， 关于 对称，
，
．
如图 中，当 时， 是等边三角形，，
．
如图 中，当 时， ，
．
如图 中，当 时， ，，
综上所述，满足条件的 的值为 或 或 或 ．
19．（2020秋•南关区校级期中）在 中， ， ， ，点 在边 上，
，动点 从点 出发，沿射线 运动，速度为每秒1个单位长度，当点 不与点 重合时，以
为边构造 ，使 ， ，且 与点 在直线 的同侧，设点 运动时
间为 秒．
（1） 的长为 5 ．
（2）点 落在 边上时，求 的值；
（3）当点 在线段 上时，设 与 重合部分图形的周长为 ，求 与 之间的函数关系式．
（4）当点 与 的一个顶点（点 除外）连线所在的直线平分 面积时，直接写出 的值．
【分析】（1）利用勾股定理计算即可．（2）由 ，可得 ，推出 ，推出 ， ，由
，推出 ，可得 ，求出 即可解决问题．
（3）分三种情形：如图2中，当 时，重叠部分是四边形 ．如图3中，当 时，重叠
部分是 ．如图4中，当 时，重叠部分是 ，分别求解即可．
（4）分三种情形：如图5中，当直线 经过 的中点 时，如图6中，当直线 经过 的中点
时，过点 作 于 ．如图7中，当 经过 的中点时，分别利用平行线分线段成比例定理解
决问题即可．
【解析】（1） ， ， ，
，
故答案为：5．
（2）如图1中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
（3）如图2中，当 时，重叠部分是四边形 ．
由题意 ， ， ，． ，
四边形 的周长 ．
如图3中，当 时，重叠部分是 ，周长 ．
如图4中，当 时，重叠部分是 ，周长 ．
综上所述， ．
（4）如图5中，当直线 经过 的中点 时，由 ，可得 ，即 ，
解得 ．
如图6中，当直线 经过 的中点 时，过点 作 于 ．
由 ，可得 ，
，
解得， ．
如图7中，当 经过 的中点时，由 ，可得 ，即 ，
解得 ，
综上所述，满足条件的 的值为 或 或 ．
20．（2020秋•诸暨市期中）如图1，等边 边长为8， 是 的中线， 为线段 （不包括
端点 、 上一动点，以 为一边且在 下方作如图所示的等边 ，连接 ．
（1）点 在运动过程中，线段 与 始终相等吗？说说你的理由；
（2）若延长 至 ，使得 ，如图2，
①求出此时 的长；
②当点 在线段 的延长线上，点 在射线 上时，判断 的长是否为定值，若是请直接写出 的
长；若不是请简单说明理由．
【分析】（1）证明 ，再根据 证明 ，根据全等三角形的性质可得到
；
（2）①过点 作 ，根据等腰三角形三线合一的性质求得 ，然后由 可求得 ，依据含 直角三角形的性质可求得 的长，从而可求得 的长，然后在 中
依据勾股定理可求得 的长，故此可求得 的长，最后根据 求解即可；
②根据题意画出图形，过点 作 ，证明 ，从而得到 ，由含 直角三
角形的性质可求得 、 的长，依据勾股定理可求得 的长，根据等腰三角形的性质计算，即可解
决问题．
【解析】（1） ，
理由如下： 和 均为等边三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）①如图2，过点 作 ，垂足为 ，
， 是 的中点，
，
由（1）可知， ，
， ，
在 中， ，
，
由勾股定理得， ，
在 中， ， ，
，
，；
② 的长为定值6，
理由如下：如图3，过点 作 ，垂足为 ，
和 均为等边三角形，
， ， ．
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
在 中， ，
，
由勾股定理得， ，
， ，
，
．21．（2020秋•增城区期中）等腰 中， ， ，点 是 的中点．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点 在边 上，点 在边 延长线上， ，求 的度数；
（3）如图3， ， ， 与 交于点 ， 是 的中点，连接 、 ，试判断线
段 与 的关系，并给出证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）在线段 上取点 ，使 ，连接 ，分别证明 和 ，根据
全等三角形的性质计算即可；
（3）作 于 ，证明 ，根据全等三角形的性质，垂直的定义证明结论．
【解析】（1）证明： ，点 是 的中点，
；
（2）解：如图2，在线段 上取点 ，使 ，连接 ，
， ，
， ，
，在 和 中，
，
，
， ，
，
，即 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解： ， ，
证明如下：如图3，作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中点，，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
， ．
22．（2020秋•西湖区校级期中）如图1，在 和 中， ， ， ．（1）求证： ；
（2）如图2，若 ，点 为 的中点，求 的大小；
（3）在（2）的条件下， 垂直平分 于 ，连接 ，设 ， ， ，猜想 ， ，
满足的关系式，并证明．
【分析】（1）根据 得到 ，利用 定理证明 ，根据全等三
角形的性质证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到 为等边三角形，根据等腰三角形三线合一得到
，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）根据勾股定理得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，等量代换得到答案．
【解析】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ， ，
为等边三角形，
，
点 为 的中点，
，，
，
；
（3）解： ，
证明如下：由（2）可知， ，
，
为等边三角形，
，
，
，
，即 ．
23．（2020秋•阳东区期中）如图1，点 、 分别是边长为 的等边 的边 、 上的动点，
点 从顶点 、点 从顶点 同时出发，且它们的速度都是 ．
（1）连接 、 交于点 ，则在 、 运动的过程中， 的度数变化吗？若变化，则说明理由，
若不变，则求出它的度数；
（2）何时 是直角三角形？
（3）如图2，若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 的交点为 ，则
的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【分析】（1）因为点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都为 ，所以 ．
， ，因而运用边角边定理可知 ．再用全等三角形的性质定理及三
角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得 的度数．
（2）设时间为 ，则 ， ．分别就①当 时；②当 时利用直角
三角形的性质定理求得 的值．
（3）首先利用边角边定理证得 ，再利用全等三角形的性质定理得到 ．再运
用三角形角间的关系求得 的度数．
【解析】（1） 不变．
等边三角形中， ， ，
又由条件得 ，
，
，
．
（2）设时间为 ，则 ， ，①当 时，
，
，得 ， ；
②当 时，
，
，得 ， ；
当第2秒或第4秒时， 为直角三角形．
（3） 不变．
在等边三角形中， ， ，
，
又由条件得 ，
，
又 ，
．
24．（2021秋•义乌市期中）如图，在 中， ， ，点 从 点出发，沿射线 方向
以每秒3个单位长度的速度运动，射线 射线 且 ，点 从 点出发，沿射线 方向以
每秒 个单位长度的速度运动，已知 、 两点同时出发，运动时间为 秒．
（1）当 时， 是等腰三角形，求 的值．
（2）求 为何值时， 为等腰三角形．（3）是否存在 ，使得 与 全等，若存在，请直接写出 的值，若不存在，请说明由．
【分析】（1）根据等腰三角形的概念列式计算即可；
（2）分 、 、 三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可；
（3）分 和 两种情况，根据全等三角形的性质列式计算，得到答案．
【解析】（1）当 时， ，
，
，
是等腰三角形， ，
，即 ，
解得， ；
（2）①当 时， 为等腰三角形，
，
，
；
②由勾股定理得， ，
当 时， 为等腰三角形，
，
，；
③当 时， 为等腰三角形，
，
，即 ，
解得， ，
综上所述： 或 或 时， 为等腰三角形；
（3）当 与 全等，
① ，
， ，
，
或 ，
或 ，
或 ；
② ，
， ，
或16，
或 ，
或 ，
综上所述：当 与 全等时， 或1或6或 ．
