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专题13：平行线的证明
考点一：定义与命题
题型一：命题
例1．下列句子是不是命题？
（1）延长线段 到点 ； （2）两点之间线段最短；
（3） 与 不相等； （4）2月份有4个星期日；
（5）用量角器画 ； （6）任何数的平方都不小于0吗？
【练习1】判断下列句子是否是命题：
（1）0是偶数； （2）两个锐角的和是钝角；
（3）画两个相等的角； （4）同旁内角互补；
（5）所有的质数都是奇数吗？ （6）两条直线相交，只有一个交点．
题型二：命题的条件与结论
例2．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果 ，那么 ”的形式．
（1）两直线平行，内错角相等；（2）三角形内角和等于 ．
【练习2】（1）命题“如果 ， ，那么 ”的题设是 ，结论是 ，它是
命题．
（2）把下面的命题改写成“如果 ，那么 ”形式：内错角相等，两直线平行 ．
（3）命题分为题设和结论两部分，把命题“等角的补角相等”改写成“如果 ，那么 ”的形式为
．
题型三：判断命题的真假及举反例
例3．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个锐角的和是锐角；（2）邻补角是互补的角；（3）同旁内角互补．
例4．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．（1）将这命题改写成“如果 那么 ”的形式 （2）写出这命题的题设和结论．
（3）判断该命题的真假
【练习3】（1）以下命题中：①倒数等于它本身是 1；②绝对值等于它本身的数是0；③相反数等于它本
身的数是0；④平方等于它本身的数是 ；⑤立方等于它本身的数是 ．正确的命题有 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）命题“同位角相等”是 ．（填“真命题”或“假命题” ．
【练习4】指出下命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例．
（1）邻补角是互补的角；（2）同位角相等．
考点二：平行线的判定与性质
题型一：平行线的判定
例5．（1）如图， ， ， ，则 时， ．
（2）如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ．
其中能判断 的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，下列条件：① ，② ，③ ，④
【练习 5】（1）
，⑤ ．其中能判断 的是
B．②③④ C．①④⑤ D．①②③
A．①③④⑤（2）如图，在下列条件中，能使 的是
A． B． C． D．
题型二：平行线的性质
例6．（1）如图所示，直线 和 被直线 所截， ， ，则 ．
（2）如图，把一张长方形纸片沿 折叠，已知 ，则 ．
【练习6】（1）如图，已知 ， ，则 等于
A． B． C． D．
（2）如图，已知 ， ，则 ．
（3）如图，有一张四边形纸片 ， ，将它沿 折叠，点 落在点 处，点 落在 边
上的点 处，若 ，则 等于 ．
题型三：演绎推理
例7．填空并完成以下证明：已知，如图， ， ， 于 ，求证： ．
证明： （已知）
．
（已知）．
（已知）
．（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
．
【练习7】阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 ， ，试说明 ．
证明： ，
， ，
又 ， ，
，
即 ，
， ．
考点三：三角形内角和定理
题型一：三角形外角的性质
例8．（1）如图， ， ， ， 的关系为
A． B． C． D．
（2）已知 中， ， ， 的外角度数之比为 ，则这个三角形是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【练习8】（1）如图，在 中， ，点 在 的延长线上， ，则 是A． B． C． D．
（2）如图，在 中， ，点 为边 上一点，连结 ．若 ，则
A． B． C． D．
题型二：三角形内角和定理
例9．（1）如图，在 中， ， ， 是 边上的高， 是 的平分线，则
的度数为
A． B． C． D．
（2）如图，直线 ，将三角形 的直角顶点 放在直线 上，若 ，则 的
度数为
A． B． C． D．
【练习9】（1）在 中，若 ， ，则
A． B． C． D．
（2）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若 ，则 的度数为 ．（3）如图，直线 ，在 中，点 在直线 上，若 ， ，则 ．
（4）如图，若 、 分别是 、 的三等分线，也就是 ， ，
，则 ．
1．下列命题是假命题的是
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等
2．如图， ，则 的度数是
A． B． C． D．
3．如图，给出下列条件① ；② ；③ 且 ；其中能推出
的条件个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，在 中， ，沿图中虚线 翻折，使得点 落在 上的点 处，则 等于
A． B． C． D．
5．如图，已知 ，在 中 ， ．若 ，则 的度数为A． B． C． D．
6．下列命题中：
①带根号的数都是无理数； ②直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④已知三条直线 ， ， ，若 ， ，则 ．
真命题有 （填序号）．
7．（1）写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题是： ．
（2）把命题“互补两角的和是 ”，改写成“如果 ，那么 ”的形式： ．
8．如图，若 ， ，则 ．
9 ． 如 图 ， ， ， 有 下 列 结 论 ： ① ； ② ； ③ ； ④
．其中正确的有 ．（只填序号）
10．如图，在 中， 平分 ， 平分 ，若 ，则 ．
11．如图，在 中， ，点 在 上，将 沿 折叠，点 落在 边上的点 处
若 ，则 的度数是 ．
12．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．
（1）两直线相交有几个交点？（2）直角都相等；
（3）同角或等角的补角相等；（4）如果 ，那么 ， ；
（5）两直线平行，内错角相等．13．完成下面推理过程，并在括号中填写推理依据：
如图， 于点 ， 于点 ， ，试说明： 平分 ．
证明： ，
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
又 （已知）
平分
14．如图， ，直线 与 ， 分别相交于点 ， ， 平分 ， 平分 ．
（1）求证： 是直角三角形；
（2）若 ，求 的度数．
15．如图， 平分 ， ， ．
（1）求 的度数；（2）若 ；求 的度数．
16．如图，直线 分别与直线 、 交于点 、 ，且 ． 的角平分线 交直线
于点 ， 的角平分线 交直线 于点 ．
（1）请直接写出直线 与 的位置关系；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的度数．
