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专题13 隐圆问题
1．如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线段 上
一点． ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明 ，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形 为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵ ，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
2．如图，在 中， ， cm， cm． 是 边上的一个动点，连接
，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的 上（不含点C、可含点N），从而得
BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），在 中， ， ，则 ．
，
长度的最小值 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题
时，注意辅助线的作法．
3．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿
MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B． +1 C．2 ﹣2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取
最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于
点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD= MD=1，
∴HM= = ，CH=CD+DH=5，
∴ ，
∴A′C=MC-MA′=2 -2；故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．
4．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP
于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A． π B． π C． π D．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心， AB长为半径的圆交CB于D的 ，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB CA＝4 ，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，∴ 为⊙O的 周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为： π，
故选：A．
5．如图，在等腰Rt∆ABC中， ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中
点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、
EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB= BC=8，则OC= AB=4，OP= AB=4，再根据
等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆
上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为
正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运
动的路径长．
详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4 ，∴AB= BC=8，∴OC= AB=4，OP= AB=4．
∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=4，∴M
点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长= •4π=2π． 故选B．
点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利
用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
6．如图， 中， ， ， ，P是 内部的一个动点，满足
，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得 ，取AB的中点O，以点O为圆心， 为直径作圆，连接
OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得 ；根据圆的对称性，得点P在
以AB为直径的 上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC
最小；根据勾股定理的性质计算得 ，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】 ，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心， 为直径作圆，连接OP，点P在以AB为直径的 上，连接OC交 于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在 中，
， ， ，
，
最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的
关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
7．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P
运动的路径长为_________．【答案】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CD AC＝1，
∵ 所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OD AD ，OA＝2OD ，
∴ 的长为 π；
故答案为： π．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿
EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．【答案】 .
【分析】如图所示，点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最
小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B'E=BE=2，即可求出B'D．
【详解】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．
∵AD=6，∴DE 2 ，∴B'D=2 2．
故答案为2 2．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确
定点B'在何位置时，B'D的值最小是解决问题的关键．
9．如图，在矩形 中， ， ， 是矩形内部的一个动点，且 ，则线段
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据 ，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连
接OC交圆O于点 ，从而得到当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理
即可求解
【详解】解：∵ ，∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形 中，∠ABC=90°，
∵ ，
∴OA=OB= =1，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据 ，
可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键
10．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，
连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ___．
【答案】
【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径
的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE
的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，由 即可
算出BH的长度．
【详解】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，如下图：∵DH⊥AC
∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值
∵AB是直径
∴
在 中，AB=13，AD=5
由勾股定理得：
即：
∵
∴
∵E为AD的中点
∴
在 中， ，
由勾股定理得：
即：
∵
∴
又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形内部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
的最小值是_______．【答案】 ﹣4．
【分析】连接OC与圆O交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆O上，再利用勾股定理求出OC即
可.
【详解】
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，
∴OC= ，
∴PC=OC﹣OP= ﹣4．
∴PC最小值为 ﹣4．
故答案为 ﹣4．
【点睛】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的
最大距离和最小距离是解题的关键.12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连
接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF= ，则点F与点C的最小距离为
________．
【答案】4
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE
＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝ ，推出点F的运动轨迹是以G为圆心 为半径的圆，再利用两
点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝8，AG＝GB，
∴AG＝GB＝4，
∵AD＝12，
∴ ，∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝4，
∴FG＝ ，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心 为半径的圆，
∵GC＝ ，
∴FC≥GC−FG，
∴FC≥4 ，
∴CF的最小值为4 ．
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13．如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，
点 是 的中点， 、 ，则四边形 面积的最小值为______．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时
四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所
求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接 ，过 作 于 ，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以 为圆心， 为半径的圆弧上，圆弧交 于 ，此时四边形AGCD面积取最小值，
如图所示，
由勾股定理得：AC=10，
∵ AC·BH= AB·BC，
∴BH=4.8，
∴ ，
即四边形 面积的最小值= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形
斜边的直线等于斜边的一半确定出 点的运动轨迹．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上
一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．【答案】 ##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共
线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD= ，
∴BF=BD－DF= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问
题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点
C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 __________________．
【答案】【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝ AC＝1，推出点
E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝ AB＝2，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∵AO＝OC＝1，
∴OE＝ AC＝1，
∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，
∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，
∴FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，
∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，
∴∠FEC＝∠EAT，
∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，
∴OF⊥EC，
∵AD⊥CE，
∵OF∥AD，
∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°＝ ，
∴CF的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质
等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切
时，CF的值最大．
16．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则
线段AO的最大值为______．
【答案】
【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°
∵四边形BCDE是正方形
∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形
∴AO＝FO，AF AO
∵∠BOC＝∠AOF＝90°
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）
∴AB＝CF＝4
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF
∴AF≤AC+CF＝2+4＝6
∴AF的最大值为6
∵AF AO
∴AO的最大值为3 ．
故答案为：3
17．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一动点，且 ，点
为线段 的中点，连接 ，当 取最大值时，点 的纵坐标为____．
【答案】
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线
上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，∴当C在AB的延长线上时，AC最大，
过点C作CD⊥x轴，
∵点 ， 的坐标分别为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ．
∵CD⊥x轴，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得： ，
∴C点的纵坐标为 ，
∵点 为线段 的中点，
∴点 的纵坐标为 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值
时点C的位置是解题的关键．
18．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满足
，则线段 长的最小值为________.
【答案】2：
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾
股定理求出OC即可解决问题．
【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°
∴∠APB=90°
∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）
设以AB为直径的圆心为点O，如图
接OC，交☉O于点P，此时的PC最短
∵AB=6，
∴OB=3
∵BC=4
∴
∴PC=5-3=2
【点睛】此题考查了三角形与圆的综合题，重点是发现满足什么条件时PC有最小值.关于三点共线
的最短距离是中考偏好考的考点之一，此类问题借助图形进行理解，发现点O的位置是关键.
19．如图，在等腰Rt ABC中，AC=BC= ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，
△
当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___．【答案】
【分析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．由三角形的中位线定理可得KM ，
推出当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心， 为半径的半圆，由此
即可得出结论．
【详解】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．
∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴AB 2，∴OP AB=1．
∵CM=MP，CK=OK，∴MK OP ，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径
是以K为圆心， 为半径的半圆，∴点M运动的路径长 •2•π• ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则 的最小值为
__________________．【答案】
【分析】在AP上取点E，连接DE，使∠ADE=∠APD，由 ADE∽△APD，可得 ，当DE最小
△
时， 的值最小，作 ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，利用勾股定理及
△
三角形三边关系可得答案．
【详解】解：如图，在AP上取点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，
∵△ADE∽△APD，
∴ ，
∴ ，
∵AD＝2，
∴DE最小时， 的值最小，
作 ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，
则△OE＝OA＝OB＝1，
在Rt AOD中， ，
△
∴DE≥OD﹣OE＝ ﹣1，
∴DE的最小值为 ﹣1，
∴ 的最小值＝ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相
似三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空压轴题．
21．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点
在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．
【答案】
【分析】首先根据运动特点分析出点 的运动轨迹在以 为圆心， 为半径的圆弧上，然后分
点 恰好落在 边上和点 恰好落在 边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形
的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下 的长度，从而得出结论．
【详解】解：∵点B与 关于DE对称，
∴ ，则点 的运动轨迹在以 为圆心， 为半径的圆弧上，
①如图所示，当点 恰好落在 边上时，此时，连接 和 ，
由题意及“三线合一”知， ， ，
∴在 中， ，
此时，根据对称的性质， ，∴由等面积法， ，
∴ ，
在 中， ；
②如图所示，当点 恰好落在 边上时，连接 、 、 和 ，
由题意， ，
∴ ， ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
即： ，
∵点B与 关于DE对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由对称的性质， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即：此时点 为 的中点，
∴此时， ，综上， 长的范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确
分析出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键．
三、解答题
22．如图， 是 的直径， ，点C为 上一点， ，点 为 上一动点，
点 是 的中点，求 的最小值．
【答案】 ．
【详解】解：如解图，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
取 的中点为 ，以 为圆心， 长为半径作圆，则点 在圆上．
连接 ，作 于点 ，连接 交 于点 ，则 为所求的最小值，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴由勾股定理得 ，∴ ，即 的最小值为 ．
23．如图，正方形ABCD中，AB= ，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接
DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．
（3）求线段OF长的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明 ADE≌△CDF，即可得到AE＝
CF； △
（2）先利用 ，求得 长，再利用 ，求得 ，然后设PF=x
利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长；
（3）本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，由旋转得： ， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
即 ，
，在 和 中，
，
，
；
（2）解：如图2，过 作 的垂线，交 的延长线于 ，
是 的中点，且 ，
， ， 三点共线，
，
由勾股定理得： ，
，
，
由（1）知： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
或 （舍 ，
， ，
由勾股定理得： ，（3）解：如图3，由于 ，所以 点可以看作是以 为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长 到 点，使得 ，连接 ，
， ，
，
，
当 最小时，为 、 、 三点共线，
，
，
的最小值是 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，
解题关键是注意构造辅助线进行解答.
