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专题1.8 勾股定理与动点问题（专项练习）
特别提醒：本专题求解过程中个别题型涉及到二次根式内容，建
议学习了二次根式后进行学习，或者选择性选题练习。
一、填空题
1．如图，已知∠ABP＝30°，AB＝2 cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP＝
_______cm时，△BAP为直角三角形．
2．如图，在矩形ABCD中， ， ，点E是BC边上的一个动点，将 沿
DE折叠，使点C落在点 C′处，连接 、 ，当 为直角三角形时，折痕DE的
长为________．
3．如图，已知∠B=45°，AB=2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当
BP=_________cm时，△BAP为直角三角形．
4．如图，在 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 与点
关于直线 对称，当 为直角三角形时，则 的长为______.
5．如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的
动点，沿 所在的直线折叠 ，使点 的对应点 始终落在边 上，若 为直角
三角形，则 的长为__________6．如图，已知 为等腰直角三角形， ，点 在 上， ， 为
边上的动点，则 周长的最小值是________．
7．如图所示，矩形 中， ， ，点E是线段 上的一个动点（点E
与点A不重合），沿 折叠，使点A落在P处，连接 ，若 是直角三角形，则
的最小值为________．
8．如图，在矩形 中， ，点 是边 上（ 不与 、 重合）一个
动点，连接 ，把 沿直线 折叠，点 落在点 处，当 为直角三角形时，
则 的周长为________．
9．如图，在矩形 中， ，点E为射线 上的一个动点，若 与
关于直线 对称，当 为直角三角形时， 的长为________．10．如图，在 中 ， ， ，点 为 的中点，点 为
边上一动点，连接 ．将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．若 为直角三
角形，则 的长为______．
11．如图，在 中， ， ， ，点D是AC上一动点，连接
BD，将 沿BD折叠，点C落在点 处，连接 ，当 是直角三角形时，CD
的长为________．
12．如图，在 中， ，点 是 的中点，点 是边 上
一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交边 于点 ，若 为
直角三角形，则 的长为_____________．
13．如图，矩形 中， ，点E为 上一个动点，把 沿 折叠，点D的对应点为 ，连接 ，当 是直角三角形时， 的长为________．
14．如图，在矩形 中， ，点E为边AD上一动点，连接BE，
把 沿BE折叠，使点 落在点 处，当 是直角三角形时，AE的长为
__________．
15．如图，在矩形 中， ，点 是 上一个动点，连接 ，将
沿 折叠，点 落在点 处，连接 ，若 是直角三角形，则 的长为
___________．
16．如图，在 中， ， ，点 是线段 延长线上的一个动点，
，则当 为直角三角形时， 的长为______．17．如图，在 中， ， ，点P是 上的一个动点，连接
，点Q在 上（不与点B、P重合），连接 、 ，若 为直角三角形，则
的最小值为________．
18．如图，矩形 中， ，点 为边 上一动点，连接 ，把
沿 折叠，使点 落在点 处，当 是直角三角形时，则 的长为____．
19．如图，已知∠AON=30°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形
时，OP=_________
20．在矩形 中， ， ，点 为线段 上一个动点，把 沿 折叠，
使点 落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为_________．21．如图，点C为直线l上的一个动点， 于D点， 于E点， ，
，当 长为________________ 为直角三角形．
22．如图，在 中， ， ，点 是 边上的动点，设 ，当
为直角三角形时， 的值是__________.
23．如图，长方形 中， ， ，点 为射线 上的一个动点，
若 与 关于直线 对称，若 为直角三角形，则 的长为______．
24．如图，ABCD是长方形纸片， ， ，点E是边BC上的动点，将 沿
直线AE折叠，点B落在点 位置，则当 恰为直角三角形时，BE的长等于_______．25．如图，在正方形 中， ，点 是线段 上的动点，将 沿直线 翻
折，得到 ，点 是 上一点，且 ，连接 ， ，当 的长为______时，
是直角三角形．
26．如图，在 中， ， ， ，点 是 边上一动点，连接
， 与 关于直线 对称，点 是 的中点，连接 ，当 是直
角三角形时， 的长为____．
27．如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上一动点，连接 ，
把 沿 折叠，使点 落在点 处，当 是直角三角形时， 的长为
__________．
二、解答题
28．如图， ， ， ， ， 是直线 上一动点，
请你探索：当点 离 点多远时， 是一个以 为斜边的直角三角形？参考答案
1． 或
【解析】
【分析】
由于直角顶点不能确定，故应分∠APB=90°与∠BAP=90°两种情况进行分类讨论．
【详解】
当∠APB=90°时，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴AP=1 cm，
∴BP= = = ；
当∠BAP=90°时，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴BP=2AP，AP= BP，
∴ =
∴ = 解得BP= .
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理， 含30°角的直角三角形.
2． 或
【详解】
∵四边形 为矩形， ， ．
如解图①，当 时，则 ， ，
由折叠的性质得， ，
， ， ， ，
在 中，由勾股定理得， ；
如解图②，当 时，由折叠的性质得， ，在 中，由勾股定理得， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得， ，
解得 ．在 中，
由勾股定理得， ．
综上所述，当 为直角三角形时，折痕 的长为 或 ．
【思维教练】
要求折痕DE的长，当 为直角三角形时，分 和 两种情况，
利用折叠的性质和勾股定理计算即可．
3． 或 ．
【分析】
分BP为直角边或斜边来讨论，借助勾股定理逐一解析，即可解决问题．
【详解】
解：若BP为三角形的直角边，则AB为该三角形的斜边；
∵∠B＝45°，
∴∠BAP＝90°−45°＝45°，
∴AP＝BP，
设 ，
由勾股定理得：，而AB＝2，
∴ ，
∴ ，
若BP为斜边，则∠BAP＝90°；
∵∠B＝45°，
∴∠APB＝90°−45°＝45°，
∴∠B＝∠APB，
∴AP＝AB＝2；由勾股定理得：
∴BP＝ ．
故答案为： 或 ．
【点拨】该题主要考查了等腰三角形的判定、勾股定理等几何知识点的应用问题；借助分
类讨论，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理活解答是解题的关键．
4．7或17
【分析】
过点C作CF⊥AB于F，分当点 在 上时和当点 在 上时两种情况，分情况进行讨
论即可得出答案.
【详解】
过点C作CF⊥AB于F，
∵
∴
在 中，由勾股定理得
①如图1，当点 在 上时
∵ ，∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
②如图2，当点 在 上时
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
故答案为7或17
【点拨】本题主要考查勾股定理及轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键.
5． 或
【分析】
先依据勾股定理求得 的长，有 和 种情况，然后再利用锐角三角
函数的定义求解即可．
【详解】解：由翻折的性质可知： ．
在 中， ， ， ，
依据勾股定理可得到： ．
设 ，则 ．
当 时， ，即 ，解得： ．
当 时， ，即 ，解得： ．
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查的是翻折变换，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义列
出关于 的方程是解题的关键．
6．12
【详解】
如解图，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 ，即为所求点，再连接 ，∵
为等腰直角三角形， 点关于 的对称点为 ，∴ ， ，∵
， ，∴ ，∴ ，∴ 周长的最小值为：
．
7．
【详解】
根据题意可知，当 是直角三角形时， 的延长线过 ，连接 ，过 作 的垂
线交 于 点．沿 折叠，使点 落在 处，
∴ ，
令 ，
∴ ， ，
∴ ，
根据勾股定理可知： ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8． 或
【分析】
由矩形的性质和折叠的性质可得 ，分
两种情况讨论，由勾股定理可求 的长，即可求 的周
长．
【详解】
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
∵把 沿直线 折叠，
∴ ， ， ．
若 ，且 ，
∴四边形 是矩形，且 ，
∴四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，
∴
∴ 的周长 ；
若 ，且
∴ ，
∴ ， ， 三点共线．
在 中， ，
∴ 的周长 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想是解决
问题的关键．
9．1或25
【详解】
如解图①，若点E在线段 上，∵ 与 关于直线 对称，∴ ，
，∵ 为直角三角形，∴ ，∴
，∵ ，∴ ，∴点E、C、 三点共线，在 中， ，∴ ，
∴ ；如解图②，当点E在线段 的延长线上，且点C在 上时，∵ 与
关于直线 对称，∴ ，在 中，
，∵ ，∴
，∵ ，∴在 和 中，
，∴ ，∴ ，∴
．综上所述， 的长是1或25．
10． 或7
【分析】
分两种情形： 和 ，分别就这两种情形求解即可．
【详解】
①如图1，当 时
根据折叠的性质得： ， ，
∵
∴ ， ， 三点共线
∵D点是BC的中点
∴
∴∴
∵ ，
∴
解得
②如图2，当 时，
根据折叠的性质得：
∴
∵
∴
∴
∴
③ 的情形不存在
综上所述， 的长为 或7
故答案为 或7．
【点拨】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，关键是分类讨论．
11．3或
【详解】
在 中， ．①如解图①，当 ，由折叠可
得 ， ， ，∴四边形BCDC′是正方形，∴
；②如解图②，当 ，由折叠可得 ， ，
，∴点A、B、 三点共线，∴ ．设，则 ．在 中，即 ，解得 ．∴
．综上所述，CD的长为3或 ．
12． 或4
【分析】
当△ 为直角三角形时，需要分类讨论，点 ， ， 分别为直角顶点时，画出图形求
解即可．
【详解】
解：在 中， ， ， ，点 是 的中点，
， ， ，
由折叠可知， ，
①由点运动可知点 不可能是直角顶点；
②如图，当点 为直角顶点，即 ，
，
， ，
， ，
；③如图，当点 是直角顶点时，即 ，连接 ，
由题意可知 △ ，
，
故答案为： 或4．
【点拨】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13． 或2
【详解】
如解图①，当点 落在 上时， ，
此时 是直角三角形，依题意，得 ，在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
解得 ；
如解图②，当点 落在以 为直径的半圆上时， ，
此时 是直角三角形．由题意易得， ．
综上所述， 的长为 或2．14．4 cm或5 cm
【详解】
沿 折叠，使点 落在点 处， ， ，①当
时，如解图①， ， ， ， ，
， ， ；②当 时，则点 落在
上，如解图②，设 ，则 ， ， ，
∴在 中， ， ，在 中， ，
解得 ，即 的长为 ．综上所述，当 是直角三角形时， 的长为 或
．
15． 或
【分析】
由题意可知∠ECF≠90°，故分两种情况：①当∠EFC＝90°时，②当∠CEF＝90°时，分别利
用折叠的性质和勾股定理求出BE，即可得到CE的长．
【详解】
解：由题意可知∠ECF≠90°，故分两种情况：①当∠EFC＝90°时，如图1，
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，
∴A、F、C三点共线，
∵ ，
∴ ，
设BE＝x，则EF＝x，CE＝4－x，
∵AF＝AB＝3，
∴FC＝5－3＝2，
在Rt△CEF中，EF2+FC2＝CE2，
∴ ，
解得： ，
∴CE＝4－x＝ ；
②当∠CEF＝90°时，如图2，
由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF＝ ，
∴AB＝BE＝3，
∴CE＝4－3＝1，综上所述， 的长为1或 ，
故答案为：1或 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用，正确理解题意，作出
符合题意的图形，灵活运用勾股定理是解题的关键．
16． 或
【分析】
分两种情况讨论：①当∠AMB＝90°时，②当∠ABM＝90°时，分别根据含30°直角三角形的
性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
【详解】
解：如图1，当∠AMB＝90°时，
∵O是AB的中点，AB＝2，
∴OM＝OB＝1，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，
∴ BOM是等边三角形，
∴BM＝BO＝1，
∴Rt ABM中，AM＝ ＝ ；
如图2，当∠ABM＝90°时，∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴MO＝2BO＝AB＝2，
∴Rt BOM中，BM＝ ＝ ，
∴Rt ABM中，AM＝ ＝ ，
综上所述，当 ABM为直角三角形时，AM的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线、
等边三角形的判定与性质的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键．
17．
【详解】
由题知，在 中， ，∴ ，∴点Q在以 为直径的圆上．
如答图，设点Q所在圆的圆心为E，连接 、 ．由三角形三边关系可知，∴ ，∴当A、Q、E三点共线时， 有最小值，此时
的最小值为 ．根据题意得， ，∴ ，∴
，即 的最小值为 ．
18．4或5
【详解】
解：如解图①，当 时，连接 ，根据折叠的性质得
， ，
， ;如解图②，当 时，则点 落在
上，连接 ，设 ，则 ，∴在
中， ，在 中，根据勾股定理得
，即 ，解得 ．综上所述，当 是直
角三角形时， 的长为4或5．19． 或
【分析】
分情况讨论当∠A为90°与∠APO为90°时，再直角三角形的性质，利用勾股定理即可求得
答案．
【详解】
当∠A=90°时
∵∠AON=30°，△AOP为直角三角形，
∴OP=2AP
由勾股定理可知OP2-AP2=AO2
∴3AP2=36
∴AP=
∴OP=
当∠APO=90°时
∵∠AON=30°，△AOP为直角三角形，
∴AP= OA=3,
∴OP=
故答案为： 或
【点拨】此题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，解题关键在于掌握运算法则.
20． 或
【分析】
分情况讨论，当点F落在AC上或点F落在BC上，第一种情况利用面积法列式求出DE的
长，第二种情况利用勾股定理的方程思想列式求出DE的长．
【详解】
解：如图，若点F落在AC上， 为直角三角形，∵ ， ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图，若点F落在BC上时， 为直角三角形，
∵折叠，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案是： 或 ．
【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和勾股定理的方
程思想．
21．3或2或 ．
【分析】
作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出
AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由 得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上： 的长为：3或2或 ．
故答案为：3或2或 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，
b，斜边长为c，那么
22． 或
【分析】
分两种情况讨论：①∠APB=90°，②∠BAP=90°，分别作图利用勾股定理即可解出 ．
【详解】
①当∠APB=90°时，如图所示，在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴AP= AB=
∴BP=
②当∠BAP=90°时，如图所示，
在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴ ，
即
解得
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中30度所对的直角边是
斜边的一半．
23．2或18
【分析】
分点 在线段 上，点 在线段 的延长线上两种情况讨论，由题意可得 ，
， ， ，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求 的长．
【详解】
解：若点 在线段 上，若 与△ 关于直线 对称，
， ， ，
△ 为直角三角形，
，
，
， ，
，
点 ，点 ，点 共线，
在 中， ．
，
，
若点 在线段 的延长线上，且点 在 上，
若 与△ 关于直线 对称，
， ，
在 △ 中， ，
， ，
，且 ， ，
△ ，
，
，
故答案为：2或18．
【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
熟练运用这些性质解决问题是本题的关键24．3或6
【分析】
由矩形的性质和折叠的性质可得 ， ， ，分
， 两种情况讨论，由勾股定理可求 的长，即可求 的长．
【详解】
解： 四边形 是长方形，
， ， ，经过折叠之后，
， ， ，
若 ，且 ，
四边形 是矩形，且 ，
四边形 是正方形，
，
若 ，且
，
点 ，点 ，点 三点共线，
在△ABC中， ，
，
在△B′EC中， ，
，
故答案为：3或6.
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想解决问题是
本题的关键．
25． 或
【分析】
分两种情况讨论，利用直角三角形全等的判定和性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
①当E在AH的上方时，且∠AEH=90 ，根据折叠的性质，∠AEP=∠D=90 ，AD=AE，DP=PE，
∴∠AEP=∠AEH=90 ，AD=AE=AB，
∴点P、E、H在同一直线上，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABH Rt△AEH(HL)，
∴EH=BH=3，
设DP=x，则PC=8－x，HC=8-3=5， PH=PE+HE=x+3，
在Rt△CPH中， ，即 ，
解得 ，即DP= ；
②当E在AH的下方时，且∠AEH=90 ，如图：
此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，
∴DP= ；
综上，当DP的长为 或 时， 是直角三角形．
故答案为： 或 ．【点拨】本题考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是
学会用分类讨论的思想思考问题．
26． 或4
【详解】
由题意可得， ，分两种情况：如图①，当 时，
点 ， ， 在同一直线上，由对称的性质可得， ，而 ，
∴ ，设 ，则 ，过点 作 于点 ，
则 ，∴ ，∵在 中， ，∴
，解得 ；如图②，当 时，点 ， ，
在同一直线上，同理可得， ，设 ，则 ，过
点 作 于点 ，则 ，∴ ，∵在 中，
，∴ ，解得 ．综上所述，当 是直角三角
形时， 的长为 或4．
27． 或
【详解】
沿 折叠，使点 落在点 处， ， ，①当时，如解图①， ， ， ， ，
， ， ；②当 时，则点 落在
上，如解图②，设 ，则 ， ， ，
∴在 中， ， ，在 中， ，
解得 ，即 的长为 ，综上所述，当 是直角三角形时， 的长为 或
．
28．8cm
【分析】
设BC=x，则CD=（34－x），根据勾股定理可得:AC2=AB2+BC2=62+x2，△ACD是以DC为
斜边的直角三角形，AD=24cm,根据勾股定理可得:AC2=CD2－AD2=（34－x）2－242，得到
方程62+x2=（34－x）2－242，解方程即可求解．
【详解】
解：设BC=xcm，则CD=（34﹣x）cm．
∵在△ABC中,∠ABC=90°，AB=6cm，
∴AC2=AB2+BC2=62+x2．
∵△ACD是以DC为斜边的直角三角形，AD=24cm，
∴AC2=CD2﹣AD2=（34﹣x）2﹣242，
∴62+x2=（34﹣x）2﹣242，
解得x=8，
