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专题14 代数式规律类：图形变化类
1．探索规律，观察图中由※组成的图案和算式，解答问题：
（1）请猜想 10 0 ；
（2）请猜想 ．
【解答】解：（1）由 ，
，
，
，
，
共有10个数，
．
故答案为：100；
（2）由（1）得， ．
故答案为： ．
2．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面
积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分⑧是部分②面积的一半，依此类推
（1）根据图形填写下表；① ② ③
面积
（2）阴影部分的面积是多少？
（3）猜想：① ；
②当 时，请用两种方法计算： 的值（结果用分数表示）．
【解答】解：（1）观察图形可知：部分①的面积为： ，
部分②的面积为 ，
部分③的面积为 ，
故答案为： ， ， ；
（2）阴影部分的面积是 ；
（3）①由（1）知： ，
故答案为： ；
②当 时，
方法一：由①知： 的值为： ；
方法二：原式 ．
3．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2019颗黑色棋子？说明理由．
【解答】解：（1）观察图形发现：
第一个图形有 个棋子，
第二个图形有 个棋子，
第三个图形有 个棋子，
第 个图形有 个棋子；
所以第5个图形有 个棋子；
（2）当 时，
解得： ，
所以第672个图形有2019颗黑色棋子．
4．《庄子 天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉
一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数
学思想研究下列问题．
【规律探索】
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则 ；
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 ；
同种操作，如图3， ；
如图4， ；
若同种地操作 次，则 ；
【规律归纳】
（2）直接写出 的化简结果： ；【规律应用】
（3）直接写出算式 的值： ．
【解答】解：（1）因为
故答案为 、 、 、 、 ；
（2）因为
所以
故答案为 ；
（3） ．
故答案为 ．
5．用火柴棒按如图的方式搭图形：
（1）图①有 4 根火柴棒；图②有 根火柴棒；图③有 根火柴棒．
（2）按上面的方法继续下去，第100个图形中有多少根火柴棒？【解答】解：（1）观察图形可知：图①有4根火柴棒；图②有7根火柴棒；图③有10根火柴棒．
（2）观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第 个图形中，
需要火柴 ．
当 时， ．
6．某数学兴趣小组再用黑色围棋进行摆放图案的游戏中，小雨同学现已摆放了如下的图案，请根
据图中的信息完成下列的问题．
（1）填写下表：
图形编号 ① ② ③
图中棋子的总数 3 6
第50个图形中棋子为 颗围棋；
（2）小雨同学如果继续摆放下去，那么第 个图案就要用 颗围棋；
（3）如果小雨同学手上刚好有90颗围棋子，那么他按照这种规律从第①个图案摆放下去，是否
可以摆放成完整的图案后刚好90颗围棋子一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图
案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗围棋子？（只答结果，不说明理
由）
【解答】解：根据图形的规律可知：
第①个图案中用了 颗围棋；
第②个图案中用了 颗围棋；
第③个图案中用了 颗围棋；
；
第 个图案中用了 颗围棋．
故答案为：
（1）在第②个图案中用了6颗围棋，在第③个图案中用了10颗围棋，在第50个图案中，用了
1326颗围棋，
（2）小雨同学如果继续摆放下去，那么第 个图案就要用 颗围棋．
（3）不可以，刚好摆放完成6个完整图案，还剩下7个棋子．7．下面是用形状和大小都相同的黑色棋子摆成的图形，观察规律完成下列问题：
（1）填写下表：
1 2 3 4
图形序号（个
棋子的颗数 4 7 10
（2）照这样方式下去，写出摆第 个图形的棋子数为 ．
（3）你知道第153个图形需要几颗棋子吗？
【解答】解：第一个图需棋子 ；
第二个图需棋子 ；
第三个图需棋子 ；
第 个图需棋子 枚．
（1）填表如下：
1 2 3 4
图形序号（个
棋子的颗数 4 7 10 13
（2）照这样方式下去，写出摆第 个图形的棋子数为 ．
（3）当 时， ；
8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第 个点阵相对应的等式．
【解答】解：（1）④： ；⑤ ；（2） 的整数）．
9．下列图形按一定规律排列，观察并回答：
（1）依照此规律，第四个图形共有 1 3 个，第六个图形共有 个；
（2）第 个图形中有 个；
（3）根据（2）中的结论，第几个图形中有2014个 ？
【解答】解：（1）观察发现，第1个图形五角星的个数是， ，
第2个图形五角星的个数是， ，
第3个图形五角星的个数是， ，
第4个图形五角星的个数是， ，
第6个图形五角星的个数是， ，
（2）第 个图形五角星的个数是， ，
（3）
解得 ．
第671个图形中有2014个★．
故答案为：13；19； ．
10．一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律．
（1）当排3张方桌时，周围可坐 1 6 人；
（2）当排 张方桌时，周围可坐 人；
（3）现有52人坐这种排列的桌子，每人只坐一个座位，至少要排 张桌子．
【解答】解：（1）根据分析得：有3桌时可坐的人数为： （人 ；
（2）根据分析得：有 桌时可坐的人数为： （人 ；（3）由以上数据可得规律： ，
解得： ，
现有52人坐这种排列的桌子，每人只坐一个座位，至少要排12张桌子．
故答案为：16， ，12．
11．探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形．
（1）按图示规律填写下表：
图形编号 （1） （2） （3） （4）
棋子个数 4
（2）按照这种方式摆下去，摆第10个正方形需要多少个子？
（3）按照这种方式摆下去，1000个棋子能摆多少个正方形？
【解答】解：（1）图（1）棋子个数为4；
图（2）棋子个数为 ；
图（3）棋子个数为 ；
图（4）棋子个数为 ；
图（5）棋子个数为 ；
图（6）棋子个数为 ；
第 个正方形需要棋子数为 ；
（2）当 时， ；
故第10个正方形需要40个棋子；
（3）当 时， ，
故1000个棋子能摆250个正方形．
12．为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒按图所示的规律摆“金鱼”的比赛．（1）小明只搭了4条金鱼，则他用了 2 6 根火柴棒；
（2）小颖把老师分给她的50根火柴棒全部用完，则她搭了多少条金鱼？
【解答】解：（1） ①中火柴棒有 根，②中有 根，③中有 根，
按照上面的规律，摆 个“金鱼”需用火柴棒的根数为 根，
当 时，需要金鱼 根；
（2）根据题意得到：
解得： ，
所以小颖共搭了8条金鱼．
13．如图所示，小王玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，手中共有 4张纸片，以后每次
都将其中一片撕成更小的四片．如此进行下去，当小王撕到第 次时，手张共有 张纸片．根
上述情况：
（1）当小王撕到第2次时，手中共有几张纸片？第3次呢？
（2）用含 的代数式表示 ；
（3）当小王撕到第几次时，他手中共有70张小纸片？
【解答】解：（1）从图中可以看出，当小王撕了1次时，手中有4张纸 ；
当小王撕了2次时，手中有7张纸 ；
可以发现：小王撕了几次后，他手中纸的张数等于3与几的乘积加1．
所以，当小王撕了3次时，手中有 张纸．
答：当小王撕了3次时，手中有10张纸；
（2）由题目中的“每次都将其中 片撕成更小的四片”，
可知：小王每撕一次，比上一次多增加3张小纸片．；
（3）当 时，有 ， ．即小王撕纸23次．
14．用火柴棒按图中的方式搭图形 ．
（1） 按图示规律填空：
图形标号 ① ② ③ ④
三角形个数 1 2 3 4
火柴棒根数 3 5 7
（2） 按照这种方式搭下去， 搭出 10 个这样的三角形需要 根火柴棒， 搭
出 个这样的三角形需要 根火柴棒 ．
【解答】解： 搭一个三角形需 3 根火柴，
搭 2 个三角形中间少用 1 根， 需要 5 根火柴棒，
搭 3 个三角形中间少用 2 根， 需要 7 根火柴棒，
搭 4 个三角形中间少用 3 根， 需要 9 根火柴棒，
搭 5 个三角形中间少用 5 根， 需要 13 根火柴棒；
搭 个三角形中间少用 根， 需要 根火柴棒；
（1） 填表如下：
图形标号 ① ② ③ ④
三角形个数 1 2 3 4
火柴棒根数 3 5 7 9
（2） 按照这种方式搭下去， 搭出 10 个这样的三角形需要 根火柴棒，
搭出 个这样的三角形需要 根火柴棒 ．
故答案为： 7 ， 9 ； 21 ， ．
15．如图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色．（1）如图①，正方体有 8 个顶点；有 条棱；有 个面；
（2）如图②，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 27个小正方体．观察其
中三面被涂色的有 个，两面涂色的有 个； 一面涂色的有 个；各面都没有涂色
的有 个．
（3）猜想：如果把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 64个小正方体．观察
其中三面被涂成红色有 个；两面被涂成红色有 个；一面被涂成红色有有 个；各
面都没有涂色的有 个．
【解答】解：（1）如图①，正方体有8个顶点；有12条棱；有6个面；
（2）如图②，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 27个小正方体．观察其
中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12个； 一面涂色的有6个；各面都没有涂色的有1个．
（3）猜想：如果把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到 64个小正方体．观察
其中三面被涂成红色有8个；两面被涂成红色有24个；一面被涂成红色有有24个；各面都没
有涂色的有8个．
故答案为：（1）8，12，6；（2）8，12，6，1；（3）8，24，24，8．
16．如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第
三层每边有三个点， ，依此类推．
（1）填写下表：
层数 1 2 3 4
该层对应的点数 1 6 12 18
所有层的总点数 1 7
（2）写出第 层所对应的点数 ；
（3）写出 层的正六边形点阵的总点数 ；
（4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？【解答】解：（1）如表：
（2）第一层上的点数为1；
第二层上的点数为 ；
第三层上的点数为 ；
第四层上的点数为 ；
；
第 层上的点数为 ．
（3）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即 层六边形点阵的总点数为，
，
，
，
．
第 层六边形的点阵的总点数为： ．
（4）令
解得： （舍去）或
答：共有11层．
17．观察图回答问题：
图中的圆被线段隔开分成了四层，则第一层有1个圆，第二层有3个圆，第三层有5个圆 ，（1）如继续画下去，第五层有 9 个圆，第 层应画 个圆；
（2）某一层上有99个圆，则这是在第 层；
（3）前三层共有 个圆；前十层共有 个圆；
（4）请推算，这种图前 层共有多少个圆？
【解答】解：根据题意得：
（1） 第三层有5个圆，第四层有7个圆；
层应该9个圆，
每一层都比其前一层多2个圆，
第 层有 个圆；
（2）
解得： ，
故50层有99个圆；
（3）前三层共有9个圆；前十层共有100个圆；
（4） ； ； ；
则 层的圆的个数和是 ；
故答案为：（1）9， ；（2）50；（3）9，100．
18．火柴棒按图中所示的方法搭图形．
（1）填写下表
三角形个数 1 2 3 4 5
火柴棒根数
（2）搭 个这样的三角形需要多少根火柴棒？【解答】解：（1）3、5、7、9、11；
（2）由图形得到：
第一个图形要火柴 根；
第二个图形要火柴 根；
第三个图形要火柴 根；
故第 个图形要火柴 根．
19．用牙签按下图方式搭图．
（1）根据上面的图形，填写下表：
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤
牙签根数 3 9 18 30 45
（2）第 个图形有多少根牙签？
【解答】解：（1）观察图形得：
图①牙签根数： ，
图②牙签根数： ，
图③牙签根数： ，
所以，
图④牙签根数： ，
图⑤牙签根数： ，
故答案为：3，9，18，30，45．
（2）根据（1）得到的规律，第 个图形的牙签数英表示为：
．
所以第 个图形有 根牙签．20．按图所示，用火柴棒摆图形．
（1）填写下表
三角形的个数 1 2 3 4 5
火柴棒的数量 3
（2）要拼出有 个三角形的图形，需要多少根火柴棒？
（3）要拼出有40个三角形的图形，分别需要多少根火柴棒？
【解答】解：（1）3、5、7、9、11；
（2）由图形得到：
第一个图形要火柴 根；
第一个图形要火柴 根；
第一个图形要火柴 根；
故第 个图形要火柴 根．
（3）当 时， ，
故要拼出有40个三角形的图形，需要81根火柴棒．
