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专题 2.1 一元一次不等式
不等关系
【例1】据气象台预报，2020年5月某日大埔最高气温 ，最低气温 ，则当天气温
的变化范围是
A． B． C． D．
【解答】解：2020年5月某日大埔最高气温 ，最低气温 ，得 ．
故选： ．
【变式训练1】小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式
表示为
A． B． C． D．
【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式
表示为 ．
故选： ．
【变式训练2】下列式子：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，
其中不等式有 个
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：① ；② ；③ ；⑤ ；⑥ 是不等式，共5
个，
故选： ．
【变式训练3】已知：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中属于不等式的有 个 ．
A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
【解答】解：① 是等式；
② 符合不等式的定义；
③ 是多项式；
④ 符合不等式的定义；
⑤ 符合不等式的定义；
故选： ．
用不等式的性质比较大小
【例2】若 ，则下列式子中错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
选项 正确；
，
，
选项 正确；
，
，
选项 不正确；
，
，
选项 正确．
故选： ．【变式训练1】已知 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据在不等式两边加上同一个数，不等号方向不变知 正确．
根据在不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，乘以同一个负数不等号方向改变知
， ， 错误．
故选： ．
【变式训练2】已知 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、由 ，可得 ，不等式不成立，不符合题意；
、由 ，可得 ，不等式不成立，不符合题意；
、由 ，可得 ，不等式成立，符合题意；
、由 ，可得 ，不等式不成立，不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】设 ， 是实数，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D． ，则
【解答】解： 、不等式两边同时加减同一个数（式 ，不等号不变，故 不符合题意，
、不等式两边同乘以（除以）同一个不为负数，不等号方向改变，故 符合题意，
、不等式两边同乘以（除以）同一个正数，不等号方向不变，故 不符合题意，
、 两边同乘以6可得 ，故 不符合题意，
故选： ．
常规解不等式
【例3】把某个关于 的不等式的解集表示在数轴上如图所示，则该不等式的解集是A． B． C． D．
【解答】解： 在数轴上表示如图：
故选： ．
【变式训练1】不等式组 的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式组 的解集是 ，
在数轴上表示为：
，
故选： ．
【变式训练2】若不等式的解集为 ，则以下数轴表示中正确的是
A．
B．C．
D．
【解答】解：在数轴上表示 如下：
故选： ．
解一元一次不等式
【例4】解下列不等式（组 ，并把解集在数轴上表示出来．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
在数轴上表示不等式的解集为：
；
（2） ，
，
，
，，
不等式的解集为 ，
在数轴上表示为：
【变式训练1】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，系数化为1，得： ，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【变式训练2】解不等式： 并把它的解集表示在数轴上．
【解答】解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
将解集表示在数轴上如下：
．
【变式训练3】解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
，
，
．
不等式的解集表示在数轴上如右图所示．
（2） ，
，，
，
，
．
不等式的解集表示在数轴上如右图所示．
一元一次不等式的整数解
【例5】解不等式 ，把解集在数轴上表示出来，并写出它的非负整数解．
【解答】解：去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
化系数为1得， ．
不等式的解集在数轴上表示如下：
原不等式的非负整数解为：0，1，2
【变式训练1】求不等式 的正整数解．
【解答】解： ，，
，
，
，
它的正整数解是1，2，3，4，5
与一元一次方程求参数
【例6】关于 的方程 的解大于1，求 的取值范围．
【解答】解：由 ，得到 ，
根据题意列得： ，
解得： ．
【变式训练1】若不等式 的最小整数解是方程 的解，求 的值．
【解答】解：由不等式 得
，
所以最小整数解为 ，
将 代入 中，
解得 ．
与二元一次方程求参数
【例7】已知关于 、 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
【解答】解： ，
① ②，得： ，即 ，
将 代入①，得： ，解得： ，
方程组的解为 ，
方程组的解满足 ，
，
解得： ．
【变式训练1】若关于 、 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
【解答】解：解方程组 得， ，
，
，
解得 ．
的取值范围为 ．
【变式训练2】当 为何值时，关于 、 的二元一次方程组 的解 、 满
足 ．
【解答】解： ，
② ①得 ，
，
，
，
解得 ．【变式训练3】已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，其
中 是非负数，求 的值．
【解答】解：方程组 ，
① ②得： ，
，
，
，
，
是非负整数，
或 ，
的值为1或0
系数含参的一元一次不等式
【例8】如果关于 的不等式 的解集为 ，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由于不等式 的解集为 ，
可知不等号的方向发生了改变： ，
可判断出 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】如果关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是A ． B ． C ． D ．
【解答】解： 不等式 的解集为 ，
，
，
故选： ．
【变式训练2】若不等式 的解集是 ，则 的取值范围是 ．
【解答】解：不等式 两边都除以 ，得其解集为 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
【变式训练3】若不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 ．
【解答】解： 的解集为 ，
不等式两边同时除以 时不等号的方向改变，
，
．
故答案为： ．
一元一次不等式的应用
【例9】某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不
超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有
30元钱，那么他最多可以购买该商品
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
【解答】解：设可以购买 为整数）件这样的商品．，
解得 ，
则最多可以购买该商品的件数是11，
故选： ．
【变式训练1】爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是90米（人员要撤到90
米及以外的地方）．已知人员撤离速度是6米 秒，导火索燃烧速度是8厘米 秒．假设爆
破员从爆破点处开始撤离，为了确保安全，这次爆破的导火索至少为
A．118厘米 B．120厘米 C．122厘米 D．124厘米
【解答】解：设这次爆破的导火索长 厘米，
依题意得： ，
解得： ，
这次爆破的导火索至少长120厘米．
故选： ．
【变式训练2】2020年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情造成口罩紧缺，为满
足社会需求，某工厂现需购买一批材料，用于生产甲、乙两种型号的口罩，已知生产乙型
口罩所需的材料费比生产甲型口罩所需的材料费每件多100元，且生产甲型口罩40件和生
产乙型口罩30件需购买材料的费用相同．
（1）求生产甲、乙两种型号口罩所需的材料费每件各多少元？
（2）若工厂购买这批材料的资金不超过135000元，且需生产两种口罩共400件，求至少
能生产甲种口罩多少件？
【解答】解：（1）设生产每件甲型口罩所需的材料费为 元，则生产每件乙型口罩所需的
材料费为 元，
依题意得： ，
解得： ，
．
答：生产每件甲型口罩所需的材料费为300元，生产每件乙型口罩所需的材料费为400元．（2）设生产甲型口罩 件，则生产乙型口罩 件，
依题意得： ，
解得： ．
答：至少能生产甲型口罩250件．
【变式训练3】某汽车专卖店销售 ， 两种型号的无人驾驶出租车，上周售出2辆 型
车和1辆 型车，其销售额为62万元；本周已售出3辆 型车和2辆 型车，其销售额为
106万元．
（1）求每辆 型车和 型车的售价各为多少万元？
（2）若某公交集团拟向该店购买 ， 两种型号的无人驾驶出租车15辆，现有购买资金
310万元，则至少购买 型车多少辆？
【解答】解：（1）设每辆 型车的售价为 万元，每辆 型车的售价为 万元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每辆 型车的售价为18万元，每辆 型车的售价为26万元．
（2）设购买 型车 辆，则购买 型车 辆，
依题意得： ，
解得： ．
答：至少购买 型车10辆．
一次函数与不等式的关系
【例10】如图，直线 过点 ， ，则不等式 的解集是A． B． C． D．
【解答】解：由图象可以看出， 轴上方的函数图象所对应自变量的取值为 ，
则不等式 的解集是 ．
故选： ．
【变式训练1】一次函数 与 的图象如图所示，则 的解
集是
A． B． C． D．
【解答】解： 当 时，一次函数 的图象在 的图象的上方，
的解集是 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，直线 ， 分别是函数 和 的图象，根据图象可
知关于 的不等式 的解集为A． B． C． D．
【解答】解：当 时， ，
所以不等式 的解集为 ．
故选： ．
【变式训练3】如图是一次函数 与 的图象，则不等式 的解
集是
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，一次函数 与 的交点横坐标是3，则不等式
的解集是 ．
故选： ．
