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专题 26 圆锥曲线巧设直线必刷 100 题
方法提示:
在圆锥曲线联立与设线的问题当中,设直线的方法比较多.常见有几下几种类型:
①
当题干中直接或者隐含直线过定点 时,可设点斜式
局限性:局限性:不能表示垂直于 轴的直线,需要单独讨论.
②
当题干中含有过 轴上一定点 时,或者在解题步骤中需要 或 ,需要消掉 ,保留 时,设
会简化解题步骤和计算量.
局限性:不能表示垂直于 轴的直线,需要单独讨论.
③ ,当题干中含有过 轴上一定点 时,或者在解题步骤中需要 或 ,需要消掉 ,保
留 时,设 会简化解题步骤和计算量.
局限性: 不能表示平行于 轴的直线,需要单独讨论.
一、单选题
1．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点，若 的中点为 ，且抛物线 上
存在点 ，使得 （ 为坐标原点），则 的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】
联立直线与抛物线可求出中点 的坐标，由题干条件可得出 ，从而求出 点坐标，又点 在
抛物线上，代入抛物线方程可求出 值.
【详解】解：设 ，联立 得： ，解得： ，因
为 为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以有 ，即 ，点 在抛物线上，代入可得
，解得： .
故选：B.
2．已知弦 经过抛物线 的焦点 ，设 ， ，则下列说法中错误的是（
）
A．当 与 轴垂直时， 最小
B．
C．以弦 为直径的圆与直线 相离
D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线焦点弦的性质依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
与 轴垂直时， 为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即 最小，A正确；
设 方程为 ，由 得： ，
， ，D正确；， ，
，B正确；
中点到 的距离为 ，
以 为直径的圆与准线 相切，C错误.
故选：C.
3．过点 的直线与抛物线 交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设直线方程为 ，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得 ，结合根与系数的关系和
弦长公式，即可求解.
【详解】
设直线方程为 ， ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
因为直线与抛物线交于 两点，所以 ，解得 ，
因为线段 中点的横坐标为2，可得 ，所以 或 （舍），
所以 ，可得 ，
则 ．
故选：C.
4．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）A． ， B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去 ，利用判别式大于0和 联立求
得 的范围．
【详解】
由 消去y，整理得 ，
的两根为x，x，
1 2
∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，
∴ ，∴k＜﹣1，
∴ .
故选：D．
5．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上
一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
设直线AB的方程为x＝ y+1，联立 ，得到AB的中点坐标，然后过P作PH垂直准线于点
H，再利用抛物线的定义，由 三点共线时求得最小值求解.【详解】
如图所示：
由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝ y+1，
联立 ，得 ，
设A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
则 ，x+x＝ （y+y）+2＝14，
1 2 1 2
所以Q（7，2 ），
过P作PH垂直准线于点H，
由抛物线的定义得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，
当 三点共线时，等号成立，
所以|PF|+|PQ|的最小值为8，
故选：D.
6．已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率
为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
设直线l的方程为x＝my+n，A（x，y），B（x，y），联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及直线斜
1 1 2 2
率公式即可求解.【详解】
设直线l的方程为x＝my+n，A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
联立直线l与抛物线方程 ，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韦达定理可得，y+y＝4m，
1 2
∵ ，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
7．已知直线 与抛物线 交于 两点（点 在第一象限，点 在第四象限），与 轴交于点
，若线段 的中点的横坐标为3，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，直线方程为 ，然后抛物线标准方程与直线方程联立消 ，得一个关
于 一元二次方程，又由线段 的中点的横坐标为3，得 ，转化为 ，由此即可确定
的取值范围.
【详解】
解：设 ，直线方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，所以 ，
所以 ，因为 、 中点横坐标为3，所以 ，
故 ，又 ，所以 的取值范围为 .
故选：A.
8．平面直角坐标系 中，已知直线l与抛物线 交于A、B两点， 、 的斜率分别为 和 ，
满足 ，F是抛物线的焦点，则 的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设直线 .设 ，用“设而不求法”表示出 得到 ，从而得到
的面积 ，由 即可求出最小值.
【详解】
因为直线l与抛物线 交于A、B两点，所以可设直线 .
设 ，则有 ，消去x得： ，
所以 .
由 得： ，即 ，所以 ，即 .
即直线l与x轴交于 .
又抛物线 的焦点 ，所以 .
所以 的面积 .因为 ，所以 ，
当m=0时，即直线 的斜率不存在时，取等号，
此时 的面积的最小值： .
故选：D
9．已知抛物线 ， 和 分别为抛物线上的两个动点，若 （ 为坐标原点），弦
恒过定点 ，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设直线 的方程为 ，设 、 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦
达定理，分析可得 ，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出 的值，即可得出抛物
线的标准方程.
【详解】
若直线 与 轴重合，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
设点 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 可得 ，
，所以， ，因为 ，则 ，解得 .
因此，抛物线的方程为 .
故选：B.
10．已知点F为抛物线 的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若 ，则
（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设直线l的方程为 ，联立直线l与抛物线方程化简可得 ，设 ， ，
由此可得 ，结合 可求A,B的坐标，再由焦点弦公式求|AB|.
【详解】
因为焦点 ，设直线l的方程为 ，代入抛物线方程，得 ．设 ，
，由韦达定理得 ．因为 ，所以 ，所以 ．解得 ，
或 ， ，所以 ， ，所以 ．故选D．
11．已知抛物线 的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点
为 ，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
【答案】D【分析】
设 ，由题意得到 ，设直线AB方程为 ，联立方程组得到
，根据 均为抛物线上的点，得到 ，两式相加得出关于 的方程，求得 的值，结
合焦点弦的性质，即可求解.
【详解】
设 ，
因为 中点坐标为 ，可得 ， ，
因为直线AB过焦点 ，可设直线AB方程为 ，
联立直线AB与抛物线方程 ，整理得 ，则 ，
因为 均为抛物线上的点，可得 ，
两式相加得 ，
即 ，解得 或 ，
因为 ，可得 或 .
故选：D.
12．已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直 线交抛物线 于 两点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， : ，联立抛物线方程，应用韦达定理有 ，由向量的数量关
系得 ，即可求 ，进而求 ，最后应用抛物线焦点弦的性质知 即可求 .
【详解】
焦点 ，设直线 为 ，代入抛物线方程得 .
设 ，由韦达定理得： ①.
由 ，即 ，有 ②
∴由①②得： 或 ，即 ，
，化简得 ，
或 （舍）.
故选：B.
13．已知过 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 为弦 的中点， 为坐标原点，
直线 与抛物线的另一个交点为 ，则两点 、 纵坐标的比值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先设出直线 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得中点 的坐标，并求出直线
的方程，与抛物线联立，求得点 的纵坐标，即可求得 的范围.
【详解】设直线 ，代入 得 ，
， ，
，
直线 ，代入 得 ，
.
故选：A
14．椭圆 上到直线 距离最近的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设与直线 平行且与椭圆相切的直线 的方程为： ，与椭圆的方程联立化为关于 的一元
二次方程，令 ，进而解出点的坐标．
【详解】
解：设与直线 平行且与椭圆 相切的直线 的方程为： ，
由 ，化为 ．（*）
，化为 ，解得 ．
∵直线 在椭圆的下方，故直线 系中靠近 的直线 ，
取 ，代入 可得： ，解得 ．故选：A．
15．过拋物线 ： 焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点， ，O为坐标原点，
且△ 的面积为 ，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意设 为 ，联立抛物线结合韦达定理求得 ， ，再由线段的数量关系
求 ，最后由 列方程求p，写出抛物线方程即可.
【详解】
由题设，令 为 ，联立抛物线方程并整理得 ，
∴若 ，则 ， ，又 易得 ，
∴ ，则 ，即 ，
∴ ，
又 ，而 ，
∴ ，即 ，又 ，则 ，故 .
故选：D
16．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，过点 的直线 与抛物线 交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B【分析】
根据抛物线的定义求得 ，进而求得抛物线方程.设出直线 的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与
系数关系，结合基本不等式求得 的最小值.
【详解】
因为抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，
所以 ，抛物线 的方程为 ．设直线 的方程为 ，
将此方程代入 ，整理得 ．
设 ， ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故选：B．
17．设F为椭圆 的右焦点，过点 的直线与椭圆C交于 两点，设直线 的斜率分
别为 ， ，则 为（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
【答案】B
【分析】
设出直线 的方程，代入椭圆方程后写出根与系数关系，计算 ，由此求得 为定值 .【详解】
，
设 ，由图可知直线 的斜率存在且不为 .
设直线 ，
代入椭圆方程并化简得： ．
所以 ．
故
．
又 均不为0，故 ，即 为定值 .
故选：B
18．设抛物线 ： 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，且 ．设直线 与抛物
线 交于 、 两点，若 （ 为坐标原点）．则直线 过定点（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先结合抛物线的定义求得抛物线方程，设出直线 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，
由 列方程，化简求得 ，由此求得直线 过定点 .
【详解】
∵ 是抛物线 上一点，且 ．∴ ，
解得 ，即抛物线 的方程为 ．依题意可知直线 的斜率不为 ，设直线 的方程为 ， ， ，
由 消去 得 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，即 ．
化简得 ．由 得 ，所以直线 的方程为 ，
所以直线 经过定点 ．
故选：C
19．过椭圆 的焦点 的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可
推理作答.
【详解】
显然过椭圆焦点 的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由 消去x并整理得： ，
设直线l与椭圆交于点 ，则有 ，
则有
，当且仅当 时取“=”，于是，当 ，即直线l垂直于x轴时， ，
所以过椭圆 的焦点 的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是 .
故选：A
20．已知F是椭圆 的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则 ABF面积的最大值为（
△
）
A．6 B．15 C．20 D．12
【答案】D
【分析】
由直线AB不垂直y轴，设出直线AB方程，联立直线AB与椭圆方程，求出弦AB长，即可列式推理作答.
【详解】
显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由 消去y得： ，设 ，
由椭圆对称性，不妨令 ，焦点 ，
ABF的面积 ，当且仅当 时取“=”，
△
所以 ABF面积的最大值为12.
故选△：D
21．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 ， 两点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设直线方程为： ，将直线方程与双曲线方程联立消 ，根据 ，可得 ，利用韦达定理可得 ，整理即可求解.
【详解】
过右焦点 的直线的倾斜角 ,
不妨设直线方程为： ，
联立方程 ，
得 ，
设 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：D
22．若过点 的直线 与抛物线 有且只有一个公共点，则这样的直线 的共有（ ）
A．一条 B．两条 C．三条 D．四条【答案】C
【分析】
过点 的直线l与抛物线 有且只有一个交点，则需分直线与抛物线对称轴平行、直线与抛物线相
切两种情况讨论，特别要注意直线的斜率是否存在.
【详解】
解：（1）当过点 的直线斜率不存在时，显然 与抛物线 有且只有一个交点，
（2）①当过点 且直线与抛物线 的对称轴平行，即斜率为0时，显然 与抛物线 有
且只有一个交点，
②当直线过点 且斜率存在且斜率不为0，与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程
为 ，代入到抛物线方程 ，消 得： ，
由已知有 ，则 ，解得： ，即直线方程为 ，
综上可得：过点 的直线l与抛物线 有且只有一个交点的直线l共有3条，
故选：C.
23．如图，在抛物线 的准线上任取一点 （异于准线与x轴的交点），连接 并延长交抛物线于
点 ，过点 作平行于 轴的直线交抛物线于点 ，则直线 与 轴的交点坐标为（ ）
A．与点 位置有关 B．
C． D．【答案】D
【分析】
根据抛物线的标准方程求出准线方程，设出 点坐标，可得直线 的方程，与抛物线方程联立可得交点
点坐标，然后求出 坐标，再求出直线 的方程，令 即可求出答案.
【详解】
抛物线 的准线方程为 ，设 ， ，则直线 的方程为 ，
由 得 ，令 ，可得 ，
所以直线 的斜率为 ．所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，所以直线 与 轴的交点坐标为 ．
故选：D
24．已知抛物线C：y2＝8ax(a＞0)的焦点F与双曲线D： 的一个焦点重合，过点F的直线与
抛物线C交于点A，B，则|AF|＋2|BF|的最小值为（ ）
A．3＋4 B．6+4 C．7 D．10
【答案】B
【详解】
依题意得，2a＝ ，即2a2－a－1＝0，解得a＝1或 (负值舍去)，
∴F(2，0)，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AF|＝x＋2＝ ＋2．
1
设直线AB的方程为x＝my＋2(m≠0)，
由 得y2－8my－16＝0，
∴yy＝－16．
1 2从而|AF|＋2|BF|＝
＝6＋ ≥6＋ ，
当且仅当 ＝2 时取等号．
故选：B．
25．已知 为坐标原点， 、 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上不同于 、 的动
点，直线 、 分别与 轴交于点 、 .则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设动点 ， ，由椭圆方程可得 、 的坐标，求出 ， 所在直线方程，可得 与 的坐标，求
得 ，再由动点 在椭圆 上，得 ，则 的值可
求.
【详解】
设动点 ， ，由椭圆方程可得 ， ，
则 ， ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由此可得 ， ，
所以 .
因为动点 在椭圆 上，所以 ，所以 ，
则 .
故选：B.
26．已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线 线交抛物线 于 两点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设直线方程，与抛物线联立得出韦达定理，再结合向量的等式以及弦长 即可求解.
【详解】
解：由焦点 ，设直线 为 ，
代入抛物线方程得 .
设 ， ，由韦达定理得： ①.
由 ，即 ，有 ②
∴由①②得： ， 或 ， ，
即 ， ，
所以 ，
化简得 ，
所以 或 （舍）.
故选：B.27．已知椭圆 ： 上有一动点 （异于顶点），点 ､ 分别在 ､ 轴上，使得 为 的中点，
若 轴上一点 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】
设 且 ，可得 ，由点在椭圆上有 ，进而求 坐标，由题设易知
，最后利用基本不等式求最值，注意等号成立条件.
【详解】
令 且 ，则 ，又 在椭圆上，
∴ ，则 ，
此时直线 为 ，故 ，
由 ，即 是 垂直平分线，则 .
综上， ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，当 时， ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最小值为 .
故选：B
28．已知椭圆 ，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为 的直线l与E交于M，N两点，
则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
设出点 和直线l的方程，联立直线和椭圆方程得出韦达定理，结合两点距离公式和韦达定理化简
即可求解.
【详解】
设 ，直线l的方程为 ，将直线方程代入椭圆方程并化简
得到 ，进而有 ，
所以
．
故选：B．
29．已知直线 过抛物线 （ ）的焦点 ，与抛物线交于 ， 两点.若直线 的斜率为 ，
，以 为直径的圆与 轴交于 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
依题意表示出焦点 的坐标，从而得到直线 的方程，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据
抛物线焦点弦公式求出 ，即可得到抛物线方程，设 的中点为 ，即可求出 的坐标，从而求出圆的
方程，令 ，即可求出圆与 轴的交点的横坐标，即可求出 ；
【详解】
解：抛物线 （ ）的焦点 ，则直线 为 ，则 ，消去 得
，即 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以抛物线方程为 ，直线 ，所以 ，设 的中点为 ，则
， ，即 ，所以圆 的方程为 ，令 ，解
得 ， ，所以 ；
故选：C
30．已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ，， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
由题可设直线 的方程为 ，设 ，利用韦达定理可得 ，再结合抛物线的定
义可得 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】
由抛物线 ： 可知焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
由抛物线的定义可知
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号.
故选：D31．已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，并与抛物线交于 ， 两点，且 ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据抛物线方程写出焦点坐标，利用直线点斜式方程写出直线 的方程，将直线与抛物线方程联立，化简
整理，求得 ，利用焦点弦长公式，结合题中条件得到关于 的等量关系，求得结果.
【详解】
抛物线 的焦点 ，
根据题意，直线 的方程为 ，
与抛物线方程 联立得 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
32．两个长轴在 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若 ， 分别为外层椭圆的左顶点和上顶
点，分别向内层椭圆作切线 ， ，切点分别为 ， ，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设内椭圆方程为 ，外椭圆为 ，切线 的方程为 ，
联立 ，根据直线 为椭圆的切线，由△ ，得到 ，同理得到
，然后由两切线斜率之积等于 求解.
【详解】
解：设内椭圆方程为 ，外椭圆为 ，
切线 的方程为 ，
联立 ，
消去 可得： ，
因为直线 为椭圆的切线，所以△ ，
化简可得： ，
设直线 的方程为： ，同理可得 ，
因为两切线斜率之积等于 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 ．
故选：B．
33．过点（1，2）且与双曲线 没有交点的直线l斜率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣2，+∞）
【答案】B
【分析】设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），与双曲线方程联立方程组，由方程组无解（相应方程无解）得结论．
【详解】
解：由题意l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
与双曲线方程联立 ，
消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0，
若4﹣k2＝0，即k＝±2，
当k＝2时，方程即为﹣4＝0，方程无解，直线l与双曲线无交点，符合题意；
当k＝﹣2是，方程即为16x﹣20＝0，方程有一个解，此时直线l与双曲线有一个交点，不符合题意；
若4﹣k2≠0，∵过点P（1，2）直线l与双曲线没有交点，
∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0，
解得k＞2．
综上所述，直线l斜率的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
34．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，则 的中点 到 的准线 的
距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
设出直线 的方程 ，联立后利用弦长公式表达出 ，求出 长度的最小值，再利用抛物线的
定义来进行转化，得到 的中点 到 的准线 的距离为 的一半，进而求出点 到 的准线 的距离
的最小值.
【详解】
如图，分别过点 ， ， 作准线的垂线，垂足分别为 ， ， ，
则
设直线 的方程为 ， ， ， ， .
联立 ，整理得 ，
则 ， .
.
故选：B.
35．已知F是抛物线C： 的焦点，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，则三角形OAB
面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
利用韦达定理得到 ，由 的范围可得答案.
【详解】
由 得 ，设
由已知直线 的斜率存在设为 ，所以直线 ，
联立 得 ，
，
当 时，三角形 面积的最小值为 ，
故选：D．
36．已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若 ，O
为坐标原点，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线
AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y-y|，进而求出面积.
1 2
【详解】
抛物线 的准线方程为 ，设 ， ，由抛物线的定义可知，
，由抛物线的对称性，不妨令 ，设直线 的方程为 ，由
得 ， ，∴ ，四边形 的面积
，
故选：A．
37．对正整数 ，设抛物线 ，过点 任作直线 交抛物线于 ， 两点，则数列的前 项和公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设直线 的方程为 ， ， ，联立直线与抛物线的方程得
，利用向量的数量积结合韦达定理求得 ，利用等差数列求和公式
即可得解.
【详解】
设过点 任作直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，整理得 ，
由韦达定理得： ，
则
，
故 ，
故数列 的前 项和 ，
故选：A．
38．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，左顶点为A，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，
若 则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题可知直线 的斜率不为0，可设直线方程为 ，联立椭圆方程利用韦达定理及条件可求出点
，即得.
【详解】
由题可知 ，根据题意可知直线 的斜率不为0，可设直线方程为 ，
，不妨设 ，如图，
由 得， ，
∴ ，
由 可得 ，∴
∴ 解得∴
∴ ，即 ，
∴ .
故选：A.
39．设A，B分别是双曲线x2- =1的左、右顶点，设过P 的直线PA，PB与双曲线分别交于点
M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且 =2 ，则△BST的面积
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
分别设直线PA和PB的方程，联立与双曲线的方程可得M，N的坐标，进而利用三点共线斜率相等，化简
可得Q(2，0)，再联立过Q的直线与双曲线的方程，设S(x，y)，T(x，y)，根据 =2 与S = |BQ|
1 1 2 2 △BST
·|y-y|求解即可
1 2
【详解】
双曲线x2- =1的左、右顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，又P ，
∴直线PA的方程为x= -1，PB的方程为x=- +1，
联立 可得 y2- =0，解得y=0或y= ，将y= 代入x= -1可得x= ，即有M ，
联立 可得 y2- y=0，
解得y=0或y= ，将y= 代入x=- +1，可得x= ，
即N
设Q(s，0)，由M，N，Q三点共线，可得k =k ，
MN QN
即有 = ，
将M，N的坐标代入化简可得 = ，
解得s=2，即Q(2，0)，
设过Q的直线方程为x=my+2，
联立 得(3m2-1)y2+12my+9=0，
设S(x，y)，T(x，y)，可得y+y=- ，yy= ，
1 1 2 2 1 2 1 2
Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，
又 =2 ，∴y=-2y，∴-2· = ，
1 2
解得m2= ，
可得S = |BQ|·|y-y|= |y-y|=
△BST 1 2 1 2
= · =3· =故选：A．
40．已知斜率不为0的直线 过椭圆 的左焦点 且交椭圆于 ， 两点， 轴上的点 满足
，则 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
设直线 的方程并联立椭圆方程求解，得到 的斜率为参数的关于 的二次方程，再根据韦达定理，写出弦
长 ，求出 中点坐标和 的垂直平分线的方程，求出点 的坐标，写出 和 ，最后根据
的斜率范围求出 的取值范围.
【详解】
解：很明显点 为线段 的垂直平分线与 轴的交点，
设直线 ， ， ， ， ，
联立直线方程与椭圆方程，可得 ，
因此 ，
所以线段 的中点坐标为 ，
，
的垂直平分线的方程为 ，
当 时， ，则 ，
因此 ，
所以，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题
41．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线在第一象限内交于点 ， ， 为坐
标原点.若 ，则 的面积为___________.
【答案】
【分析】
设 ， ，根据 可得 ， ，设出直线 的方程，代入抛物线方程，
利用韦达定理可求出 ，进而可求出 的面积.
【详解】
由 ， 知： 为 的中点，设 ， ，
则 ， ，
设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 ，
整理得 ，
由直线 与抛物线 有两个不同的交点，知 ，得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
42．已知直线l分别切抛物线 （ ）和圆 于点A，B（A，B不重合），点F为抛物线的焦点，当 取得最小值时， ___________.
【答案】
【分析】
设 ，首先求出直线 的方程为 ，再利用点到直线的距离公式可得 ，求出 ，
再由焦半径公式即可求解.
【详解】
设 ， ，所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，则 ，
把 代入，可解得 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，所以 .
故答案为：
43．抛物线C：y2=4 ，直线 绕 旋转，若直线 与抛物线C有两个交点．则直线 的斜率k的取值范
围是_________________
【答案】 ，
【分析】
由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，联立抛物线方程，运用判别式大于零，从
而可求得答案
【详解】
由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入抛物线方程得
，化简得， ，
因为直线 与抛物线C有两个交点，
所以 ，且 ，
即 ，且 ，
解得 ，且 ，
所以直线 的斜率k的取值范围是 ，
故答案为：
44．已知点 在椭圆 ： （ ）上，左顶点为 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，
的最大值和最小值分别为4和 ．直线 点 ，且与 平行，过 ， 两点作 的垂线，垂足
分别为 ， ，当矩形 的面积为 时，则直线 的斜率是______．
【答案】
【分析】
由已知求得a，b，从而求得椭圆的方程，再设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联
立直线 与椭圆的方程，求得弦长AP，点A到直线 的距离，由矩形的面积公式建立方程可求得m的值，
从而得出直线 的斜率.
【详解】
解：因为 ，又 ，所以 ，
解得 ，所以椭圆的方程为 ，则 ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立 得 ，所以 ，而点A到直线 的距离为 ，
所以矩形 的面积为 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，所以直线 的斜率为 ，
故答案为： .
45．已知斜率为1的直线l经过椭圆 的一个焦点，与椭圆交于A，B两点.直线l，l 分别过点
1 2
A，B，且与x轴平行，在直线l，l 上分别取点M，N（M，N分别在点A，B的右侧），分别作∠ABN和
1 2
∠BAM的角平分线相交于点P，则 PAB的面积为___________.
【答案】
【分析】
解方程组 求出点 的坐标，从而求出|AB|= ，再求出点 到 的距离即得解.
【详解】
解：不妨假设直线l过左焦点（﹣1，0），则直线方程为y=x+1.
联立 ，解得 或 ，
则A（0，1）， ，则|AB|= .
则l 的方程为y=1，l 的方程为 ；
1 2
设P点到l，l，l 的距离分别为d，d，d，由角平分定理得d=d=d，
1 2 1 2 1 2
又 ，所以 .所以△PAB的面积为 .
故答案为： .
46．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为C上的动点，直线MF与C的另一交点为A，M关于点P
（12，4）的对称点为B，当|MA|+|AB|的值最小时，直线AM的方程为 __．
【答案】
【分析】
根据抛物线的定义|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），由于点P到准线的距离为13，所以|NG|+|NP|
≥13，当且仅当G，N，P三点共线，且N在G，P之间时，等号成立，进而可得点N的纵坐标为y ＝4，，
N
设出直线MA的方程为x＝my+1，与抛物线联立即可求出参数m，进而得到结果.
【详解】
解：设N为MA的中点，连接NP，分别过点M，N，A作抛物线准线的垂线，垂足分别为D，G，E，
则|AB|＝2|NP|，
由抛物线的定义知，|MA|＝|MF|+|AF|＝|MD|+|AE|＝2|NG|，
∴|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），
∵点P到准线的距离为13，
∴|NG|+|NP|≥13，当且仅当G，N，P三点共线，且N在G，P之间时，等号成立，
此时，点N的纵坐标为y ＝4，
N
∵直线MA过点F（1，0），
∴设直线MA的方程为x＝my+1，
设M（x，y），A（x，y），
1 1 2 2
联立 ，得y2﹣4my﹣4＝0，
∴y+y＝4m＝2y ＝8，∴m＝2，
1 2 N
∴直线MA的方程为x＝2y+1，即 ．故答案为： ．
47．已知点 在抛物线 ： 上，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，若
，则直线 的倾斜角为________．
【答案】 或
【分析】
设直线 方程为： ， ， ，用坐标表示 ，可得 ，将直线 与抛
物线联立，结合韦达定理，可解得 ，即 ，结合 ，即得解.
【详解】
因为点在抛物线 ： 上，
所以 ，得 ，所以 ，
设过点 的直线方程为： ，
所以 ，所以 ，
设 ， ，
所以 ， ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
则直线斜率 ，
由 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
48．点 ､ 分别为椭圆 的左､右顶点，直线 与椭圆相交于 ､ 两点，记直线 ､
的斜率分别为 ､ ，则 的最小值为___________
【答案】
【分析】
设 ､ ，联立 ，由韦达定理可得 ， ，设直线 的斜率为 ，求得
， ，从而可将 用k表示,求出 ，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：设 ､ ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理可得 ， ，
设直线 的斜率为 ，则 ， ，所以， ， ，
而
，
因此， ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .
故答案为： .
49．已知椭圆 ，一组平行直线的斜率为 ，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的
线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为___________.
【答案】
【分析】
设这组平行直线的方程为 ，并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系、判别式，求得中点坐
标，由此求得定直线 的方程.
【详解】
设这组平行直线的方程为 ，联立 ，
整理得 ，，解得 .
且 ， ，
所以这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为 ，
， ，
所以这些点均在 上.
故答案为： .
50．已知直线 与抛物线 交于 ， 两点.且线段 的中点在直线 上，若 （ 为
坐标原点），则 的面积为_______________________．
【答案】
【分析】
由点差法求出 ，设直线方程为 ，联立抛物线方程和 求出 ，可得直线过 ，
再由 结合韦达定理即可求解.
【详解】
设 ， 是 中点，则满足 ，两式作差得 ，即
，又 ，故 ，设过 直线方程为 ，联立 可
得 ， ，又 ，即 ，解得 或1，
因为 异号，故 ，则 ，直线方程为 ，则直线过 ，
，
故答案为：
51．已知直线 与抛物线 交于 ， 两点.且线段 的中点在直线 上，若 （ 为
坐标原点），则 的面积为______．
【答案】
【分析】
设出直线 的方程 ，与抛物线方程联立，消元，写韦达；根据题意求出 的值；然后求
弦长 和原点到直线 的距离，从而可求出 的面积.
【详解】
由题意知：直线 的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，
由 ，消 得 ，
设 ，则 ， ，
因为线段 的中点在直线 上，所以 ，即 ，
因为 ，
所以
，解得 或 (舍)，
所以 ，直线 的方程为 ，所以 ，
原点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 .
故答案为： .
52．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若线段AF，BF的中点在y轴
上的射影分别为P，Q，且｜PQ｜＝4，则直线l的方程为__________．
【答案】
【分析】
设 ， ，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足为 ， ，由 可得 ，
设直线 ，联立 ，利用韦达定理可得 ， ，从而可求的m的值，即可得出答
案.
【详解】
解：设 ， ，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足为 ， ，
由 可得 ，所以 ，
设直线 ，
联立 ，消去x得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，解得 ，
所以直线l的方程为 .故答案为： ．
53．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F斜率为k的直线l与C交于M， N两点，若O为坐标原
点， OMN的重心为点G ，则k=__________.
【答案】
【分析】
设 的中点坐标为 ，根据三角形重心性质 ，得到 ，再设过焦点的直线 的方程为
， 与抛物线方程联立，然后利用韦达定理求解.
【详解】
焦点坐标为 ，设直线 的方程为 ， 的中点坐标为 ，
由三角形重心性质得， ，
解得 ，
联立方程 得
则 ，
解得 ， 时G 不合题意，故答案为：
54．如图，过点 作直线 、 与抛物线 相交，其中 与 交于 、 两点， 与 交于
、 两点，直线 过E的焦点F，若 、 的斜率为 ， 满足 ，则实数 的值为_______．
【答案】
【分析】
设直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，设点 、 、 、
，设直线 的方程为 ，将直线 、 、 的方程均与抛物线的方程联立，列出韦达定
理，利用直线的斜率公式结合已知条件可求得实数 的值.
【详解】
设直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
设点 、 、 、 ，
联立 ，可得 ，所以， ， ，
同理可得 ， ，
易知点 ，设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，所以， ， ，
， ，
因为 ，则 ，解得 .
故答案为： .
55．已知点P为直线l：x＝－2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px(p＞0)的两条切线，切点分别为
A(x，y)，B(x，y)，若xx 为定值，则该定值为____．
1 1 2 2 1 2
【答案】4
【分析】
假设切线方程x＝my－my＋x，然后与抛物线方程联立然后使用Δ＝0，得到m＝ ，同时联立两条切线
1 1
方程并化简可得 ，结合抛物线方程计算即可.
【详解】
解析 设过A(x，y)的切线方程为x＝my－my＋x．
1 1 1 1
由 得y2－2pmy＋2pmy－2px＝0，
1 1
∴Δ＝4p2m2－4×2p(my－x)＝0，
1 1
解得m＝ ．
因此切线方程为yy＝px＋px，
1 1
同理，过B(x，y)的切线方程为yy＝px＋px，
2 2 2 2
又两切线的交点P在直线l：x＝－2上，
故设P(－2，t)，则消去t得 ．
从而 ，
化简得(xx－4)(x－x)＝0，
1 2 2 1
又x－x 不恒为0，故xx－4＝0恒成立．
2 1 1 2
故xx 为定值4．
1 2
故答案为：4
56．已知抛物线 ： ，过焦点 作倾斜角为 的直线与 交于 ， 两点， ， 在 的准线上
的投影分别为 ， 两点，则 __________.
【答案】
【分析】
设 ，则 ，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即得.
【详解】
由抛物线 ： 可知则焦点坐标为 ，
∴过焦点 且斜率为 的直线方程为 ,化简可得 ，
设 ，则 ，
由 可得 ，
所以
则故答案为：
57．已知椭圆 ，过椭圆在第二象限上的任意一点 作椭圆的切线与 轴相交于 点， 是
坐标原点，过点 作 ，垂足为 ，则 的取值范围是 ______________
【答案】
【分析】
设出点P的坐标，求出切线PQ方程，进而求得点Q坐标，再借助数量积及对勾函数单调性即可得解.
【详解】
设 ，则有 ，即 ，
显然切线PQ斜率存在，设PQ的方程： ，
由 消去y并整理得： ，
因此， ，化简整理得： ，
即 ，亦即 ，解得 ，
则直线PQ方程为： ，当 时， ，即点 ，
，又 ，则 ，令 ， ，函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，于是得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
58．已知椭圆C： ＝1，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于
M点，则 的取值范围为__．
【答案】
【分析】
由椭圆的方程得到左焦点 （i）当直线l的斜率为0时，直接计算求得 ；（ii）当直线l
的斜率不存在时，可知与已知矛盾；（iii）当直线的斜率不为0时，设直线l的方程为 ，联立方
程，利用韦达定理判别式得到中点坐标，弦长，根据直线垂直的关系可以得到中垂线方程，求得 坐标，
得到 ，进而得到 关于 的函数表达式，进而利用函数的性质求得取值范围.综合可得 的取
值范围.
【详解】
解：由椭圆的方程： ＝1，可得左焦点 ，
（i）当直线l的斜率为0时，则直线l为x轴，AB的中垂线为y轴，这时M与原点O重合，这时
，|FM|＝c＝1，所以 ，
（ii）当直线l的斜率不存在时，AB的中垂线为x轴，舍去，
（iii）当直线的斜率不为0时，设直线l的方程为 ，
由于直线 的斜率存在，所以 .设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），
1 1 2 2
联立直线与椭圆的方程： ，整理可得： ，
,
∴y+y＝ ，yy＝ ，
1 2 1 2
则弦长|AB|＝ ，
，
所以AB的中点坐标 ，
所以直线AB的中垂线方程为： ，
令y＝0，可得 ，所以 ，
所以 ，
所以
综上所述 的取值范围是 ，
故答案为： ．
59．抛物线 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与 交于 ， 两点， 的准线
与 轴的交点为 ，若 的面积为 ，则 ___________.【答案】2或
【分析】
先求出抛物线的标准方程，再设出直线 方程 ，与抛物线联立，求出弦长 ，求出点M到直
线 的距离为d，表达出 的面积，求出m的值（注意分两种情况），再分别求出 与 的长，
求出结果
【详解】
抛物线 化为标准形式为：
∵抛物线的焦点 到准线的距离为2
∴ ，即
∴抛物线方程为 ，焦点
∵过点 的直线与 交于A， 两点
∴设直线 方程为：
与抛物线方程联立得：
设 ， ，不妨假设A点在x轴上方，B点在x轴下方.
则 ，
则
设点M到直线 的距离为d
则
∴
解得：
∴当 时， ，
解得：
此时：
∴ ，
∴ 2
当 时， ，
解得：
此时：
∴ ，
∴
故答案为：2或
60．已知斜率不为0的直线 过椭圆 ： 的左焦点 且交椭圆于 两点， 轴上的点 满足
，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理分别求得 和 的表达式，即可求出范围.
【详解】
由题可得点 为线段 的垂直平分线与 轴的交点，
因为 ，可设直线 方程为 ，设 ，
联立方程 可得 ，则 ，
所以线段 的中点坐标为 ，
，
的垂直平分线方程为 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，
则 .
故答案为： .
三、解答题61．己知抛物线C： y2=2px (p>0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B,
且
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不经过坐标原点O的直线 与抛物线C相交于不同的两点M，N, 且满足 .证明直线 过x
轴上一定点Q，并求出点Q的坐标.
【答案】
（1）
（2）证明见解析，
【分析】
（1）由题意可得直线AB方程，进而可得 ，可求得p值，即可得答案.
（2）设直线l的方程为 ， ， ，联立直线与抛物线，根据韦达定理，可
得 ， 表达式，根据 ，可得 ，代入计算，即可求得n值，分析即可得答案.
（1）
由己知A，B两点所在的直线方程为
则 ，故 ．
抛物线C的方程为 ．
（2）
由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为 ， ， ，
联立 ，消去x，得 ．
， ， ，
， ，又 ， ，
，
解得
或n=4.
而 ，
此时
直线l的方程为 ，
故直线l过定点 ．
62．设抛物线 的焦点为 ，过焦点 作直线 交抛物线 于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若点 的坐标为 ，直线 ， 分别与抛物线 的准线相交于 ， 两点，求证： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）设过焦点的直线 方程，代入抛物线方程，运用韦达定理及焦点弦长公式可得解.
（2）用 ， 两点的坐标表示 ， 两点的坐标，再结合第（1）问证明 即可.
（1）
设 ， ,直线 方程为： ，代入 ，得 ，
则 ， ，
所以 ， ，
，则 ， ， ，故直线 的方程为:
（2）
设 ，
则 ，故直线 的方程为 .
令 ，得 ，
所以点 ，同理可得，点 .
则 ，
所以
由（1）可得， ，
所以 ，所以 .
63．设抛物线 的焦点为 ，过焦点 作直线 交抛物线 于 ， 两点．
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）设 为抛物线 上异于 ， 的任意一点，直线 ， 分别与抛物线 的准线相交于 ，
两点，求证：以线段 为直径的圆经过 轴上的定点．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）设出过焦点的直线，再和抛物线联立，最后运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线方程；
（2）求出直线 ， 分别与抛物线 的准线相交于 ， 两点的坐标，然后根据向量数量积为零建立
方程求解即可.
（1）
由已知，得
设直线 的方程为 ，代入 ，得 ．
设 ， ，则 ， ．
则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
（2）
证明：设 ，
则 ，故直线 的方程为 ．
令 ，得 ，所以点 ．
同理可得，点 ．
设以线段 为直径的圆与 轴的交点为
则 ， ．
由题意，知 ，则 ，即 ．
由（1）可得 ，所以
解得 或 ，
故以线段 为直径的圆经过 轴上的两个定点 和 .
64．在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，点P是平面内一动点，且直线 的斜率与直线
的斜率之积为 ，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点 的直线l与C交于A，B两点，则在x轴上是否存在定点D，使得 的值为定值？若
存在，求出点D的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）曲线C表示中心为坐标原点，以 为焦点的椭圆（不含左、右顶点）
（2）存在点 ，使得 为定值
【分析】
（1）由 直接化简即可求解；
（2）当直线斜率为0时，与曲线无交点，当斜率不为0时，设直线l的方程为 ，
联立直线与曲线方程，结合韦达定理表示出 ，将 整体代换为关于 的表达式，
利用比例关系化简可求.
（1）
设点 ，由题意得 ，整理得 ，
所以曲线C表示中心为坐标原点，以 为焦点的椭圆（不含左、右顶点）；
（2）
由（1）可知，曲线C与x轴无公共点，所以当直线l斜率为0时，与曲线C无交点．所以设直线l的方程为 ，
由 得 ，
由于点 在曲线C内部，所以 恒成立，
则 ．
假设在x轴上存在定点 ，使得 的值为定值，则有
．
要使上式为定值，则 ，解得 ，
此时 ，
所以，存在点 ，使得 为定值 ．
65．已知抛物线 ， 点 是抛物线 上的点．
（1）求抛物线的方程及 的值；
（2）直线 与抛物线交于 两点， ，且 ，求 的最小值并证
明直线 过定点．
【答案】
（1） ；
（2）最小值为 ，证明见解析
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，解得答案.（2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据 得到 ，再利用均值不等式
解得最值，得到直线的定点.
（1）
依题意，点 坐标满足方程 ，∴抛物线的方程为 ．
（2）
设直线l的方程为 ，联立方程组 ，消去x得，
．
，解得 或2（舍）
，当 ，即 ， 时等号成立.
∴t＝3或t＝－1（舍）
所以 的最小值为 ，直线l：x＝my＋3恒过定点（3，0）．
66．已知 是抛物线 （ ）的焦点，过点 且斜率为 的直线与抛物线 交于 ，
两点，若 .
（1）求抛物线的标准方程；
（2）动直线 垂直于线段 ，且与抛物线 交于 ， 两点，当四边形 面积为 时，求直线 的
方程.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设 ， ，直线 方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理，计算 交代入韦达定理的结论可求得 值，得抛物线方程；
（2）设出直线 的方程，由直线方程与抛物线方程联立，应用韦达定理求得弦长，然后由四边形面积可得
参数值，得直线方程．
（1）
根据已知条件可知直线 的方程为 .联立 消去 并整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
.
因为 ，所以
，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以抛物线 的标准方程为 .
（2）
因为直线 与线段 垂直，所以直线 的斜率为 .设直线 的方程为 ，
由弦长公式得 ，由（1）可知， ， ，所以
.联立 消去 并整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
由弦长公式得 ，所以四边形 的面积 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .
67．椭圆的两个焦点坐标分别为F (－ ，0)和F ( ，0)，且椭圆过点 .
1 2
（1）求椭圆方程；
（2）过点 作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的
大小是否为定值，并说明理由.
【答案】
（1）
（2）为定值 ，理由见解析
【分析】
（1）设出椭圆的标准方程，采用待定系数法和椭圆关系式即可求解；
（2）设 ，联立直线与椭圆方程得出韦达定理，通过求 为定值可判断 .
（1）
由题意设椭圆方程为 ，
将c＝ ，a2＝b2＋c2，代入椭圆方程得 ，
又因为椭圆过点 ，得 ，
解得b2＝1，所以a2＝4.所以椭圆的方程为 ；
（2）设直线MN的方程为 ，联立直线MN和椭圆的方程
得 ，
设M(x，y)，N(x，y)，A(－2，0)，yy＝ ，y＋y＝ ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则 ＝
，所以∠MAN＝ .
68．已知椭圆 和抛物线 ，点F为 的右焦点，点H为 的焦点．
（1）过点F作 的切线，切点为P， 求抛物线 的方程；
（2）过点H的直线l交 于P，Q两点，点M满足 ，（O为坐标原点），且点M在线段
上，记 的面积为 的面积为 ，求 的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】设直线 的方程为： ，联立 可得： ．求出 的坐标，然后
求解 ，推出抛物线方程；
设点 ，直线 方程为： ，联立 可得： ．利用韦达定理，
结合又 ，求出 的纵坐标的范围然后求解三角形的面积的比值，推出结果即可．
（1）
由题可知： 设直线 的方程为： ，
联立 可得： ．
则△ ，故 且 ，即点 ,
故 ，所以 ，抛物线 的方程： ；
（2）
设点 ，直线 方程为： ，
联立 可得： ．
故 ，从而 ，
又 ，则 ，
从而 ，且 ，则 ，
从而 ，
，由此可得 ．
69．已知椭圆 的方程为： （ ），离心率为 ，椭圆上的动点 到右焦点 距离的最
大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过右焦点 作不平行于 轴的直线 交椭圆于 、 两点，点 关于 轴对称点为 ，求证：直线
过定点．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
(1) 由题意知， ，再由 得到各个参数值，进而得到方程；（2）将直线和椭圆方程联立，
直线 方程为： ，化简得到 ，再由直线方程化简得到
，代入韦达定理即可得到结果.
（1）
由题意知， ， ， ，
（2）
，设 ： ，与 ，联立得设 ， ， ， ，
直线 方程为： ，
即
： ， 过定点 ．
70．已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若轨迹 上存在两点 ， 满足 （ ， 分别为直线 ， 的斜率），求直线
的斜率的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由题设知： ，结合椭圆的定义写出轨迹 的方程；
（2）设 ： ， ，联立椭圆方程并应用韦达定理可得 ，
，根据 可得 ，由 有 ，即可求直线 的斜率的取值
范围.
（1）由题设，若 ，
∴ ，即动点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴动点 的轨迹 的方程为 .
（2）
由题设，设直线 ： ， ，
∴ .
联立轨迹 可得： ，则 ，
∴ ， ，
，则 ，即 ，
∵ ，且 ，
∴ 且 ，可得 或 .
71．已知椭圆： 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为 且 ，求直线 的倾斜角.
【答案】
（1）
（2） 或
【分析】
(1)结合已知条件分别求出 ， 即可求解；(2)首先设出直线 的方程，然后联立椭圆标准方程求出 点坐标，结合两点间距离公式求出斜率，进而即可得到答案.
（1）
不妨设所求椭圆的焦距为 ，
因为离心率 ，所以 ①，
因为椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，所以 ，即 ②，
又因为 ③，
所以联立①②③可得， ， ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）
由(1)结论可知， 的坐标为 ，
设直线 的方程为： ， ，
由 可得， ，
，
从而 ，即 ， ，
故 点坐标为 ，
由两点间距离公式可知， ，解得 ，
故直线 的倾斜角为 或 .
72．设 分别是平面直角坐标系中 轴正方向上的单位向量，若向量 ， ，
且 ，其中 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过点 作直线 与轨迹 交于 ， 两点，设 ，是否存在直线 ，使得四边形
是矩形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，试说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，
【分析】
通过 ，得到 点M的轨迹为以 为焦点， 的椭圆，应用椭圆的定义得到其轨迹方程；
首先判断直线的斜率是否存在，通过联立方程组 ，得到 ，结合
，得到四边形为平行四边形，若要成为矩形，需有 ，运算化简即可得结果．
（1）
由题意得 ， ，
， ，
设 ， ，则动点M满足 ，
由椭圆的定义可知动点M的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设椭圆 的方程为 ，则 ， ，
，
故轨迹 的方程为
（2）
存在满足条件的直线 .设直线 的方程为 ，由方程组 ，消去 ，整理得：
则 恒成立，即直线 与椭圆 恒有两个不同的交点，
设交点为 ， ，则 ①， ②
由 得 ，即 ，∴四边形OAPB为平行四边形
若存在直线 使四边形OAPB为矩形，则 ，
即 ③
将①､②代入③式得： ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，此时四边形OAPB为矩形.
73．已知抛物线 上的一点 到焦点 的距离等于3.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点， .求直线 的斜率.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）（1）根据 到焦点的距离为3，利用抛物线的定义求解；
（2）设 的方程为 .联立 ，根据 ，利用弦长公式求解.
（1）
抛物线的准线方程为 ，到焦点的距离为 ，
.
抛物线方程为 .
（2）
设 的方程为 .
联立方程组 ，得 .
设 ， ， ， ，则 ， .
.
. ，
.
74．已知点 皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜
率与直线PB的斜率之积为 .
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线 的右焦点为 ，过 的直线 与曲线 交于 ，求证：直线 与直线 斜率之和
为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）设 ,代入 ,化简即可求出曲线 的方程
（2）椭圆与直线联立，运用韦达定理即可
（1）
设 为曲线 上异于A,B的任意一点,因为
所以 .
所以 即 .
所以
又 皆为曲线 上的点
所以曲线 的方程为 .
（2）
设直线 的方程为
联立 ,得
所以 ,即 ①
因为焦点 ，所以
②
把①式代入②式得
直线 与直线 斜率之和为定值075．已知椭圆C： ， ，且椭圆C右焦点为 ，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过 的直线l交椭圆C于A，B两点，若 ，求直线l的方程.
【答案】
（1）
（2） 或
【分析】
（1）结合 ， ， 求解即可得答案；
（2）根据题意设直线l的方程为 ，进而与椭圆联立方程得 ，再结合
得 ，进一步求解得 即可得答案.
（1）
解：∵ ， ，
∴ 解得 ， .
∴椭圆C的方程为：
（2）
解：易知直线l的斜率存在且不为零.
设 ， ，直线l的方程为： .联立： ，可得 .
其中
由韦达定理有：
又∵ ，可得
代入韦达定理有 ，可得
解得， .
∴直线l的方程为： 或 .
76．已知点 皆为曲线C上点，P为曲线C上异于M，N的任意一点，且满足直线PM的
斜率与直线PN的斜率之积为 .
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线上点 ，经过曲线C右焦点 的直线 与曲线C交于 ， （异于 ）两点，与直线
交于点 ，设 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，求证： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析【分析】
（1）设 ，依题意得 ，化简即可求解；
（2）设设直线 的方程为： ，由 得 ，设 ，由斜
率公式与根与系数的关系求解即可
（1）
设 ，依题意得 ，
整理得 ，
所以曲线C的方程为 ；
（2）
由题意可知 ，不妨设 ，
椭圆的右焦点 ，由题意可设直线 的方程为： ，
由直线 与直线 交于点 ，可知 ，
由 得 ，设 ，
则 ，
又由题意可得： ，
， ，
因为，
所以
77．已知双曲线 的离心率为2，且过点 .
（1）求C的方程；
（2）若斜率为 的直线l与C交于P，Q两点，且与x轴交于点M，若Q为PM的中点，求l的方程.
【答案】
（1）
（2） （或 ）
【分析】
（1）由离心率可得 ，再将点A的坐标代入方程可得 ，解方程组即可求解.
（2）设 ， ， ，由题意可得 ，设l的方程为 ，将直线方程与椭
圆方程联立消去 ，利用韦达定理即可求解；将直线与椭圆方程联立消去 ，利用韦达定理也可求解.
（1）
因为 ，所以 ，即 .
将点A的坐标代入 ，得 ，
解得 ，故C的方程为 .
（2）
设 ， ， ，因为Q为PM的中点，所以 .
因为直线l的斜率为 ，所以可设l的方程为 ，
联立 得 ，
，
由韦达定理可得 ， .
因为 ，所以 ，解得 ，
，解得 ，
即 ，故l的方程为 .
在第（2）问中，若未写判别式大于0，
但写到“由 ，得l与C必有两个不同的交点”，
另外本问还可以通过联立方程消去y求解，其过程如下：
设 ， ，l的方程为 ，
联立 得 ，
，
由韦达定理可得 ， .
因为Q为PM的中点，所以 ，则 ，，解得 ， ，
，解得 ，
即 ，故l的方程为 （或 ）.
78．已知椭圆 的长轴长是 ，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段 的垂直平分线与y轴负半
轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是 ，求 的最小值；
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）结合题意可得 ，解方程组，进而可求出结果，
（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出点Q的纵坐标，进而求出 的范围，从
而结合弦长公式即可求出结果.
（1）
由题意可得 ，解得 ，所以椭圆E的方程为 ；
（2）
椭圆E左焦点为 ，设过椭圆E左焦点的直线为 （ 存在且不为0），
，则 ，设 ，
则 ，且
所以 的中点为 ，
因此线段 的垂直平分线为 ，令 ，则 的纵坐标为 ，因为与 轴
交于负半轴，所以 ，又因为点Q的纵坐标的最大值是 ，所以 ，即 ，
而
当 时， ；
79．已知抛物线C： 的焦点到其准线的距离为2，（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l过点 与抛物线交于不同的两点A，B．点A关于y轴的对称点为 ，连接 ．求证：
直线 过y轴上一定点，并求出此定点坐标．
【答案】
（1）
（2）直线 过定点
【分析】
（1）依题意表示出焦点坐标与准线方程，即可求 ，从而得解；
（2）设直线 的方程为 ，又设 ， ， ， ，则 ， ，联立直线与抛物线方程，
利用韦达定理以及判别式，求出直线的斜率，推出直线方程，利用直线系求解即可．
（1）
抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，所以 ，即 ，所以抛物
线方程为 ；
（2）
设直线 的方程为 ，又设 ， ， ， ，则 ， ，
由 得 ，则△ ， ， ，
所以 ，
于是直线 的方程为 ，
所以， ，当 时， ，
所以直线 过定点 ．
80．已知椭圆 的左､右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线 .（1）若椭圆W的左顶点A关于直线 的对称点在直线 上，求m的值；
（2）过F的直线 与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线 与直线 相交于点
M，求证：A，D，M三点共线.
【答案】
（1）
（2）证明见解析.
【分析】
(1)设点A关于直线对称的点为 ，根据题意可得 的中点 在直线上且 ，列出方程组，
解方程组即可；
(2)对直线斜率是否存在分类讨论，当直线CD斜率k不存在时，求出点A、M、C、D坐标，
利用 可证得A、D、M三点共线；当直线CD斜率存在时，设直线
： ， ，与椭圆方程联立方程组，消y得到关于x的一元二次方程，
将 表示为含有k的算式，得出 即可.
（1）
由题意知，
直线 的斜率存在，且斜率为 ，
设点A关于直线 对称的点为 ，则 ，
所以线段 的中点 在直线 上，又 ， ，
有 ，解得 或 ，
所以 ；
（2）
已知 ，当直线 的斜率不存在时， ：x=1，此时 ，
有 ，所以直线 ，当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即A、D、M三点共线；
当直线 的斜率存在时，设直线 ： ，
则 ，得 ，
，
设 ，则 ，
直线BC的方程为 ，令 ，得 ，
所以直线AD、AM的斜率分别为 ，
，
上式的分子
，
所以 ，即A、D、M三点共线.
综上，A、D、M三点共线.81．已知抛物线 ： 上有一点 .
（1）求抛物线 的标准方程及其准线方程；
（2）过点 的直线交抛物线C于A，B两点， 为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为 ， ，
求证： 为定值.
【答案】
（1）抛物线 ： ，准线方程为：
（2）证明见解析
【分析】
(1)根据抛物线C所过的点即可求出C的方程及其准线方程.
(2)设出直线AB方程，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理即可计算作答.
（1）
因抛物线 ： 过点 ，则有 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程是： ，准线方程为： .
（2）
依题意，过点 的直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程为 ，
由 消去x并整理得： ，设 ，则 ， ，
于是得 ，
所以 为定值 .
82．已知椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
（2）设 ，过点Q作与 轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数 ，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在；
【分析】
（1）结合斜率的计算公式化简整理即可求出结果；
（2）直线MN的方程为 与椭圆联立，进而结合韦达定理即可求出结果.
（1）
；设 ，且 ，则
所以
（2）
设 ，直线MN的方程为 ；
联立 及 ，得 ，
所以 ， （*）
若以MN为直径的圆过点B，则 ，即
将 带入整理得 ；
带入（*），化简整理得5 ，解得 ，或 （舍）
，满足 ，故存在 ，使得以MN为直径的圆过恒过定点B；
83．已知抛物线 的焦点为 ，且 为圆 的圆心．过 点的直线 交抛物线与
圆分别为 ， ， ， （从上到下）．（1）求抛物线方程并证明 是定值；
（2）若 ， 的面积比是 ，求直线 的方程．
【答案】
（1） ，证明见解析
（2）
【分析】
（1）根据 ，结合韦达定理即可获解
（2） ，再结合焦点弦公式即可获解
（1）
由题知， 故 ，
抛物线方程为 ，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
，得 ，
， ，
，（2）
，
由（1）知 ，可求得 ， ，
故
的方程为 ，即
84．如图，已知椭圆C： ，点 ， 为其左右焦点，过点 作直线 与椭圆C交于A、B两点，
点M为线段AB的中点.
（1）若直线 的斜率为2，求直线OM的斜率；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)结合已知条件利用点差法即可求解；(2)联立直线 和椭圆方程，利用韦达定理和已知条件求出 ，然后
利用 和 表示出 的面积即可求解.
（1）由题意，不妨设 ， ， ，从而 ， ，
故 ，由两式相减可得到， ，
化简整理可得， ，
因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以 ，解得 ，
即直线OM的斜率为 .
（2）
由椭圆C： 易知， ， ，
由题意，不妨设直线 的方程： ，
由 可得， ， 恒成立，
由韦达定理可知， ， ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
即 ，解得 ，
因为 ， ，
所以 的面积 ，
因为 ，所以 的面积为 .
85．已知椭圆 经过点 ，且椭圆E的离心率 ．
（1）求椭圆E的标准方程：
（2）当直线l（斜率不为0）经过点F，且与椭圆E交于A、B两点时，问x轴上是否存在定点P，使得x
轴平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2） 轴上存在点 ，使得 轴平分
【分析】
（1）由题意得 ，求出 即可求解；
（2）假设存在点 ，使得 轴平分 ，然后把角度问题转化为斜率问题是本题的关键，列出等式，
利用韦达定理化简得到结果.
（1）
由题意可知：
，解得 ，
∴椭圆 的标准方程为： ；
（2）
轴上存在点 ，使得 轴平分 ；理由如下：假设 轴上存在点 ，使得 轴平分
设直线 ： ，与 联立可得：
设 ，
则 ，
由题意得：
∴
即
化简得：
把 ， 代入，得：
化简得：
∵直线 的斜率变化，且斜率不为0
∴
∴
∴ 轴上存在点 ，使得 轴平分
86．若抛物线 的交点为F，过F作直线l与抛物线 交于A，B两点，分别以线段AF，BF为直
径作圆 和圆 .
（1）证明：圆 和圆 均与y轴相切；
（2）设圆 与y轴相切于点D，圆 与y相切于点E，求 的值，并求 面积的最小值.【答案】
（1）证明见解析
（2） ，最小值
【分析】
（1）过点 ， 分别作 轴的垂线，分别记垂足为 ， ，
利用抛物线的定义判断出 ，即可证明圆 与 轴相切，同理可得圆 与 轴相切于点 ；
（2）设 ， ， ， ，
设直线 的方程为 ，将直线 与抛物线 联立，
判断出 ，表示出 面积 利用基本不等式求出 的面积的最小值.
（1）
过点 ， 分别作 轴的垂线，分别记垂足为 ， ，
因为 为线段 中点，故 ，
故圆 与 轴相切，同理可得圆 与 轴相切于点 ；
（2）
设 ， ，
由（1）可知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线 的方程为 ，将直线 与抛物线 联立，
消去 得 ，即 ，故 ，
故 ，故 ，故 ，则 面积
又因为 ，所以 ，当且仅当 ，
即 或 时， 的面积取得最小值 .
87．已知椭圆 ： 的离心率为 ，且点 为椭圆 上一点.
（1）求椭圆 的方程.
（2）已知 ，直线 ： 交椭圆 于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之
积为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据条件可得 ， ，解出即可；
（2）设 ， ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到 ， ，然后由
算出答案即可.
（1）
由题意， ， ，
解得 ， ，因此椭圆 的方程为 ；
（2）
证明：直线 的方程为 ，
设 ， ，直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 .
由 消去 ，得 ，
易知 ，得 ， ，
所以直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.
88．已知抛物线C： ，直线l过抛物线焦点F，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点M的纵坐
标为1.
（1）求直线l的方程；
（2）求 （O为坐标原点）的面积 .
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设出直线方程，与抛物线联立，根据中点纵坐标即可建立关系求解；（2）利用弦长公式求出 ，再求出点 到直线距离，即可求出面积.
（1）
由题可得 ，易知直线斜率不为0，可设直线方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，
设 ，则 ，
则 ，解得 ，
所以直线方程为 ，即 ；
（2）
因为 ，
点 到直线的距离为 ，
所以 .
89．有一种画椭圆的工具如图1所示，定点O是滑槽AB的中点，短杆OP绕O转动，长杆PQ通过P处铰
链与OP连接，PQ上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且 ， ．当栓子D在滑槽AB内作往
复运动时，带动P绕O转动一周（D不动时，P也不动），Q处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，
AB所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，过点 的动直线l与曲线C交于E、F两点，是否存在异于点M的
定点N，使得MN平分 ？若存在，求点N坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在 ，使得MN平分
【分析】
（1）利用待定系数法设 ： ，求出 的值即可求解；
（2）先猜出定点的坐标为 ，当直线 斜率存在且不为0时，设直线方程 为： ，
，则 ，求解即可
（1）
由题意可知：曲线 是中心在坐标原点，焦点在 轴的椭圆，
设 ： ，
则 ，
所以曲线C的方程为 ；
（2）
假设存在异于点 的定点N，使得MN平分 ；当直线 与 轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为 ，
由对称性知：若定点N存在，则点N一定在 轴上，设 ，
当直线 与 轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为 ，MN平分 也成立；
当直线 斜率存在且不为0时，设直线方程 为： ， ，
联立 ，得 ，
， ，
所以 ，
又 ，
又
，
所以 ，
因为 不恒为0，
所以 ，即 ， ，综上可知：存在 ，使得MN平分
90．已知椭圆 ： 的右焦点 和上顶点 在直线 上，过椭圆右焦点的
直线交椭圆于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 面积的最大值.
【答案】
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）由已知可得椭圆的右焦点为 ，上顶点为 ， 可得 ，可求椭圆标准方程．
（2）设 ，直线 的方程为 ，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到 ，
又 ，求得 的最大值，即可得结果.
（1）
椭圆 ： 的右焦点 和上顶点 在直线 上，
椭圆的右焦点为 ，上顶点为 ，
故 ，
∴所求椭圆标准方程为 ．
（2）
设 ，
直线 的方程为联立 得： ，
，
即
，
,
，
令 ，
函数 在 上为增函数，
故当 ，即 时， ，
此时三角形 的面积取得最大值为 .
91．如图，椭圆 ： 的离心率为 ， ， 分别是其左、右焦点，过 的直线 交椭
圆于点 ， ， 是椭圆上不与 ， 重合的动点， 是坐标原点．（1）若 是△ 的外心， ，求 的值；
（2）若 是△ 的重心，求 的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由椭圆和圆的对称性得 轴，再由 得出 的关系式，得离心率．
（2）设 ，直线 方程为 ，代入椭圆方程后应用韦达定理得 ，由
直线方程得 ，利用重心坐标公式得 ，此坐标代入椭圆方程，设 换元，注意利用
转换，得关于 的二次方程需有正数解．从而得 的范围．
（1）
由椭圆与圆的对称性知， 轴， 是椭圆内接矩形的三个顶点，
则 ， ， 或 ．
又 ，所以 ， ， （舍去负值），
所以 ；
（2）
设 ，直线 方程为 ，
由 得 ，
， ，，
是 的重心， ， ，
所以 ， ，
在椭圆上，则 ，
设 ，则
，由 得
，该方程在 上有解，
若 ，方程为 ，无正数解；
， ，
所以 或 ，
解得 ．
综上， ．
92．已知 的上顶点到右顶点的距离为 ，离心率为 ，过椭圆左焦点 作不与x轴重合的
直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为： ，过点M作ME垂直于直线m于点E
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（i）求证：线段EN必过定点 ，并求 的值
（ii）点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值
【答案】
（1）
（2）（i）证明见解析， ；（ii）【分析】
（1）根据椭圆的几何性质和离心率，列出方程组，即可求出 ，从而得出椭圆 的标准方程；
（2）（i）设直线 方程： ， ， ， ， ， ，联立直线与椭圆方程，利用
韦达定理求解直线 方程，然后得到定点坐标；（ii）由题可得 ，然后利用函数的
单调性求解最大值即可．
（1）
（1）由题可知： ，所以 ， ，
故椭圆的标准方程为 .
（2）
（i）由题意知 ，
设直线 方程： ，
设 ， ， ，
联立方程得 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以直线 方程为： ，
令 ，则
，所以直线 过定点 ， .
（ii）由（i）中 ，所以 ，又易知 ，
所以 ，
令 ， ， ，
则 ，
又因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
所以 时 ，
所以 ．
93．在直角坐标系 中，椭圆 （ ）的左右焦点分别为 和 ，若 为椭圆上动点，
直线 与椭圆交于另一点 ，若三角形 的周长为为 ，且点 在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 、 与直线 分别交于点 、 ，记直线 和直线 的斜率分别为 和 ，若
，试求直线 的斜率．
【答案】
（1）
（2）【分析】
（1）由椭圆定义求出 ，再代入点 求出 即可求出方程；
（2）设出直线 方程，与椭圆联立，利用韦达定理化简计算可求解.
（1）
由已知和椭圆的定义知：三角形 的周长 ，故 ，
所以椭圆的方程为 ，又点 在椭圆上，故 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）
由已知可得直线 的斜率不为 ，故可设直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立方程组 ，消去 得：
故有 ， ，故 ， ，
直线 的方程为 ，解得与直线 的交点 ，
同理解得 ，故 ， ，
．
故 ，解得 ．所以直线 的斜率 ．
94．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．
过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 上，片门位于该椭圆的另一个焦点
上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P
处的切线与直线 、 的夹角相等．已知 ，垂足为 ， ， ，以 所在
直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；
（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在m，使得P到 和P到直线 的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请
说明理由；
②若 的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线 、 的斜率分别为 ， ，
请问 是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】
（1） .
（2）①存在 ②是定值【分析】
（1）设所求椭圆方程为 ，由椭圆的性质求得 ， ，可得椭圆的方程；
（2）①存在, 设椭圆上的点 ,直接计算 ，即可探索出存在m；
②由（1）得椭圆的方程为 ，设椭圆上的点 ，有 ，证明椭圆
在点 处的切线方程为 ， 再由右光学性质得直线 ，由此可求得定值.
（1）
设所求椭圆方程为 ，
则 ，
由椭圆的性质： ，所以 ，
，
所以椭圆的方程为 .
（2）
由椭圆的方程为 ，则 .
①存在直线 ，使得P到 和P到直线 的距离之比为定值.
设椭圆上的点 ,则 ，P到直线 的距离 ，
所以 ，
所以，当 时， （定值）.
即存在 ，使得P到 和P到直线 的距离之比为定值 .
②设椭圆上的点 ，则 ，
又椭圆 在点 处的切线方程为 ，
证明如下：对于椭圆 ，
当 ， ，则 ，
所以椭圆 在 处的切线方程为 ，
又由 ，可以整理切线方程为： ，
即切线方程为 ，即 ，也即 .
所以椭圆 在点 处的切线方程为 ，
同理可证：当 ，椭圆 在点 处的切线方程为 ，
综述：椭圆 在点 处的切线方程为 ，
所以在点 处的切线 的斜率为 ，
又由光学性质可知：直线 ，所以 ，则 .
所以 ，，
那么 .
95．已知抛物线 ，直线 经过点 ，并与抛物线交于 ， 两点．
（1）证明：在 轴上存在一个定点 ，使得 ；
（2）若直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的
最小值．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）设 ，联立方程组求得 ，由题意得到 ，代入抛物线
方程得到 ，整理得到 ，根据 和 ，即可求解.
（2）由 ，得到 ，写出 和 的方程，求得
，得到 ，分直线 的斜率不存在和存在，结合韦达定理得到，利用换元法和函数的单调性，即可求解.
（1）
解：设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
当 时，此时直线方程为 ，此时 关于 轴对称，显然 ；
当 时，解得 ，此时点 ，能使得 ，
综上可得，在 轴上存在一点 ，使得 .
（2）
解：由 ，
又由 ，则 ，
又由直线 的方程为 ，令 ，可得 ，
同理可得 ，所以 ，
两式相加可得 ，即 ，
当直线 的斜率不存在时，此时 ，可得 ，且 ，
此时 ；当直线 的斜率存在时，此时 ，
则
，
又由 ，整理得 ，可得 ，
代入上式，可得 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
令 ，则 ，所以 ，
又因为函数 在 上为单调递增函数，
所以 ，
综上可得，面积 的最小值为 .
96．已知点 是抛物线 ： 的焦点， 为坐标原点，过点 的直线 交抛物线与 ，
两点.
（1）求抛物线 的方程；（2）求 的值；
（3）如图，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点（点 ， 在 轴的同侧， ），且 ，直线
与直线 的交点为 ，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据题意得到 ，从而得到抛物线 ： .
（2）首先设直线 的方程为 ，与抛物线 联立得 ，再利用韦达定理求解.
（3）设 ， ， ， ，再利用韦达定理和 求解
即可.
（1）
因为抛物线 ： ，焦点 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 ： .
（2）
设直线 的方程为 ，
与抛物线 联立得： ，
由韦达定理得 ， ，所以 ，
所以
（3）
设 ， ， ， ，
因为 ，
所以直线 ： ，即 。
同理：直线 ： 。
联立 ，解得 。
设直线 的方程为： ， ， ，
联立 。
因为 ，解得 ， ， ，
因为 ，
所以
，化简得： 。所以 。
因为 ，
，
所以
97．已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 作斜率为 的直线与 相交于
， ，且以 为直径的圆过点 ，其中 为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率 ；
（2）若 ，过点 作与直线 平行的直线 ， 与椭圆 相交于 ， 两点.
①求 的值；
②点 满足 ，直线 与椭圆的另一个交点为 ，求 的值.
【答案】
（1）
（2）① ；②
【分析】
(1)根据给定条件用a表示出点B的坐标，再代入椭圆方程计算即得.
(2)①由(1)中信息求出椭圆C及直线l的方程，联立椭圆C与直线l的方程借助韦达定理计算得解；②设 ，用 及点P，Q坐标表示出点N的坐标，结合点P，Q，N都在椭圆上及①的结论计算作答.
（1）
依题意，如图， ， ， ， ， ，则 ，
而点B在椭圆 上，于是得： ，整理得 ，即 ， ，
所以椭圆的离心率 .
（2）
①由(1)及 得， ，椭圆 的方程为 ，而直线 与直线 平行，
则直线 的方程为 ， ， ，由 消去x得： ，显然
于是得 ， ，
所以 .
②因 ，由①得 ，设 ， ，
则 ， ， ，
，即 ，解得 ，而 ， ， 都在椭圆上，即 ， ， ， ，
整理得： ，
由①可知 ，则有 ，解得 ，
所以 的值是 .
98．已知抛物线 ，过点 作直线 ､ ，满足 与抛物线恰有一个公共点 ， 交抛
物线于 ､ 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与抛物线和相切于点 ，且 ､ 的斜率之和为0，直线 ､ 分别交 轴于点 ､ ，求线
段 长度的最大值.
【答案】
（1） 或 或 .
（2）
【分析】
（1）由题设有 ，设 为 ，讨论 、 并根据直线与抛物线交点个数确定k值，
即可写出直线方程.
（2）设直线 为 ，则 为 ，联立抛物线，由直线与抛物线的关系及 求k的
范围，再应用韦达定理求 、 及 点纵坐标，进而写出直线 ､ 方程，求 ､ 横坐标，结
合二次函数的性质求 长度的最大值.
（1）
由题设，抛物线为 ，且 的斜率一定存在，令 为 ，∴ ，当 时显然满足题设，此时 ，
若 ，则 ，可得 或 ，
综上， 为 或 或 .
（2）
由题设，显然 的斜率存在且不可能为0，设 为 ，则 为 ，
∵ 与抛物线和相切于点 ，联立方程并整理得 ，
∴ ，可得 ，易知 ，
联立 与抛物线可得： ，则 ，
∴ ， ，且 ，
∵ 在抛物线上，故 ， ，则 ，
∴直线 ： ，则 ，同理 ，
∴ ，又 ，
故当 时， .
99．已知 是抛物线 的焦点，点 是抛物线上横坐标为2的点，且 ．（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 交抛物线 于 两点，若 ，且弦 的中点在圆 上，求实数 的
取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据抛物线的定义，将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，进而求得答案；
（2）设出直线l，并代入抛物线方程化简，通过根与系数的关系得到 和线段的中点公式，进而将中点
坐标代入圆的方程，然后将所得式子化简，最后通过函数求值域的方法求得答案.
（1）
抛物线的渐近线为 ，由抛物线的定义可知， ，则抛物线的方程为： ．
（2）
设直线 的方程为 ， ， ．将直线 的方程与抛物线的方程联立，得
，于是 ， ， ，
且 ，化简得 ①．设弦 的中点为 ，则 ，将点 的坐标代入圆的方程，得 ，且
，
由①代入消元，消去 ，得 ．
令 ，则 ，于是 ，解得 或 ．
若当 时，由对勾函数性质可知，函数 在 上单调递增，所以 随 单调递
增（增+增），故 ．
若当 时，令 ，
则 ．
因为 ，所以 ，即 单调递减，故 .
综上所述，实数 的取值范围为 ．
100．已知椭圆 的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.
（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
（2）设 ，过点Q作与 轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数 ，
使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在，
【分析】（1）设出点P的坐标，进而代入椭圆方程，再求出两条直线斜率的乘积，最后得到答案；
（2）设出点 的坐标，根据以MN为直径的圆过点A，得到 ，设出直线 的方程并代入
椭圆方程，然后利用根与系数的关系求得答案.
（1）
，设 ，且 ，则 ，所以
.
（2）
设 ，根据题意，设直线MN的方程为 ，
联立 及 ，得 ，
，
， （*）
若以MN为直径的圆过点A，则 ，即
将 , 带入整理得： ；
带入（*），化简整理得5 ，解得 ，或 （舍）满足 ，故存在
，使得以MN为直径的圆过恒过定点A.
