专题2.4找规律（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练_题型分层练2022-2023学年八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 2.4 找规律 【例题精讲】 【例1】观察下列各式及验证过程： 验证： 验证： （1）通过对上述两个等式及其验证过程的分析研究，你发现了什么规律？并证明你的发现． （2）自己想一个数，验证你的发现． 【解答】解：（1）由题目可知 ， ， 验证： ． （2） ． 【题组训练】 1．观察下列各式： ； ； ，请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 ①猜想： ； ②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 为正整数）表示的等式： ； ③应用：计算 ． 【解答】解：①猜想： ； 故答案为： ， ； ②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用 为正整数）表示的等式： ； ③应用： ． 2．观察下列各式，发现规律： ； ； ；（1）填空： ， ； （2）计算（写出计算过程） ； （3）请用含自然数 的代数式把你所发现的规律表示出来． 【解答】解：（1）根据题意得： ； ； 故答案为： ； ； （ 2 ） ； （3）归纳总结得： （自然数 ． 3．观察下列各式： 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1） （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 为正整数）表示的等式： ；（3）利用上述规律计算： （仿照上式写出过程） 【解答】解：（1） ；故答案为： ； （ 2 ） ； 故 答 案 为 ： ； （3） ． 4．先观察下列等式，再回答下列问题： ① ； ② ； ③ ． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 的式子表示的等式 为正整数）． 【解答】解：（1） ， ；（2） ． 5．观察下列各式： ； ； ； （1）按上述两个等式的特征，请猜想 ； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 为自然数且 表示的式子； （3）证明你在（2）中写的结论成立． 【解答】解：（1）总结规律可知 ， （ 2 ） 由 ， ， ， 故根据上述规律可知 ， （3）理由： ， 故结论成立． 6．观察下列等式：回答问题： ①② ③ ， （1）根据上面三个等式的信息，猜想 ； （2）请按照上式反应的规律，试写出用 表示的等式； （3）验证你的结果． 【解答】解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ， 故答案为： ； （2） ． （3） ． 7．观察下列各式： ， ． （1）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含自然数 为正整数）的代数式表示出来为： ； （2）请你运用所发现的规律，写出第9个式子； （3）请你验证所发现的规律． 【解答】解：（1）上述式子的规用含自然数 为正整数）的代数式可表示为： ； （2）当 时，可得到第9个式子为： ． （3） 左边 右边． ． 8．观察下列各式： ， ， （1）找出规律，再继续写出下面的两个等式． （2）用含字母 的式子表示以上各式的特点． 【解答】解：（1）总结规律可知 ， ． （2） ． 9．观察下列各式： ； ； ， ， 请你猜想： （1） ， ；（2）计算（请写出推导过程） ； （3）请你将猜想到的规律用含有自然数 的代数式表达出来： ． 【解答】解：（1） ， ．故答案为： ， ； （2） ，故答案 为： ； （3） ， 故答案为： ． 10．观察下列各式及其验证过程： 验证： ； 验证： ； 验证： ； 验证： ． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 为任意自然数，且 表示的等式，并给出证明． 【解答】解：（1） ．验证如下： 左边 右边， 故猜想正确； （2） ．证明如下： 左边 右边． 11．判断下面各式是否成立 ① ；② ；③ ． 探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： （2）用含有 的代数式将规律表示出来，说明 的取值范围，并给出证明． 【解答】解：（1）① ； ； ② ； ； ③ ，； ； （2） ， 证明： ． ． 12．观察下列各式及其验证过程： ． 验证： ． ． 验证： ． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反应的规律，写出用 为任意自然数，且 表示的等式，并说明 它成立． 【解答】解：（1）验证： ； （2） ， 证明： ． 14．观察下列各式及验证过程： ， 验证 ； ， 验证 ， 验证 （1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验 证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给 出证明． 【解答】解：（1） 验证： ； （2） ．验证： ． 15 ． 阅 读 下 列 解 题 过 程 ： ； ； ； （1） ， ． （2）观察上面的解题过程，则 为自然数） （3）利用这一规律计算： ． 【解答】解：（1） ， ，故答案为： ， ． （2）观察上面的解题过程，则 ，故答案 为： ； （3）原式 ．