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专题2.4 二次根式（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022春•藁城区期末）下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A。
【解答】解： ＝ ＝ ＝ ，∴B不符合题意；
＝ ＝4 ，∴C不符合题意；
＝ ＝ ，∴D不符合题意；
故选：A．
2．（2022春•勃利县期末）若a，b为两个有理数，且b＝ +4，则a+b的
值为（ ）
A．±6 B．3 C．3或5 D．5
【答案】D。
【解答】解：∵ 与 有意义，且分式 有意义，
∴ ，解得a＝1，
∴b＝4，
∴a﹣b＝1+4＝5．
故选：D．
3．（2022春•怀仁市期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：① • ＝1；②
＝ ；③ ÷ ＝﹣b，其中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B。
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴① • ＝1，正确；② ＝ ，错误；③ ÷ ＝﹣b，正确，
故选：B．
4．（2022•兴隆县一模）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．2+
C． ＝3 D．（ ﹣1）2＝3﹣2
【答案】D。
【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；
B、2与 不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝ ＝ ，所以C选项错误；
D、原式＝2﹣2 +1＝3﹣2 ，所以D选项正确．
故选：D．
5．（2022春•夏邑县期中）下列各数中，与 的积仍为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D。
【解答】解：A选项中， ，故不符合题意；B选项中， ，故
不符合题意；C选项中， ，故不符合题意．
D选项中， ，符合题意．
故选：D．6．（2022春•安庆期末）若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C。
【解答】解：∵ 的整数部分为1，小数部分为 ﹣1，
∴x＝1，y＝ ﹣1，
∴ ＝ ﹣（ ﹣1）＝1．
故选：C．
7．（2022春•临沭县期中）若 ≈1.414，计算2 ﹣3 ﹣99 的结果是（ ）
A．﹣141.4 B．﹣100 C．141.4 D．﹣0.01414
【答案】A。
【解答】解：原式＝（2﹣3﹣99）
＝﹣100 ．
∵ ≈1.414，
∴原式≈﹣100×1.414
＝﹣141.4．
故选：A．
8．（2022春•梁山县期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是
（ ）A． ﹣1 B．3﹣ C． ﹣3 D．5﹣
【答案】D。
【解答】解：由题意得：
3÷3﹣ ＝1﹣ ＜1，
∴（1﹣ ）×（3﹣ ）
＝3﹣ ﹣3 +2
＝5﹣4 ，
∴若输入数字“3”，则输出的结果是5﹣4 ，
故选：D．
9．（2022春•长沙期中）已知：a＝ ，b＝ ，则a与b的关系是（ ）
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
【答案】C。
【解答】解：分母有理化，可得a＝2+ ，b＝2﹣ ，
∴a﹣b＝（2+ ）﹣（2﹣ ）＝2 ，故A选项错误；
a+b＝（2+ ）+（2﹣ ）＝4，故B选项错误；
ab＝（2+ ）×（2﹣ ）＝4﹣3＝1，故C选项正确；
∵a2＝（2+ ）2＝4+4 +3＝7+4 ，b2＝（2﹣ ）2＝4﹣4 +3＝7﹣4 ，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C．
10．（2022 春•福清市期中）已知 ， ，c＝
2021×2020﹣2019×2021，则（a﹣b）（b﹣c）的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定【答案】B。
【 解 答 】 解 ： ∵ ＝ ＝ ＜
2022，
＝ ＝ ＝2022，
c＝2021×2020﹣2019×2021＝2021×（2020﹣2019）＝2021，
∴a﹣b＜0，b﹣c＝1，
∴（a﹣b）（b﹣c）＜0，
故选：B．
二、填空题。
11．（2022春•沂源县期末）已知等式 成立，化简|x﹣6|+ 的结果
为 4 ．
【答案】4。
【解答】解：∵等式 成立，
∴ ，
解得：3＜x≤5，
∴|x﹣6|+
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
故答案为：4．
12．（2022•贺州）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x ≥ 5 ．
【答案】x≥5。
【解答】解：式子 在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．13．（2022春•陇县期末）将二次根式 化为最简二次根式 5 ．
【答案】5 。
【解答】解：原式＝5 ，
故答案为：5
14．（2022春•大荔县期末）规定a b＝ • + ，a*b＝ab﹣b2，则（2 4）* ＝
3 ． ⊗ ⊗
【答案】3。
【解答】解：∵2 4＝ × + ＝2 + ＝ ，
⊗
∴（2 4）* ＝ * ＝ × ﹣（ ）2＝5﹣2＝3．
故答案⊗为3．
15．（2022春•浦北县校级月考）已知 +（a﹣3）2＝ • ，则ba+xa的值
为 1 9 ．
【答案】19。
【解答】解：∵x﹣3≥0且3﹣x≥0，
∴x＝3，
则 +（a﹣3）2＝0，
∴ ，解得 ，
∴ba+xa＝（﹣2）3+33＝19．
故答案为19．
16．（2021 春•科左中旗期末）对于任意不相等的两个实数 a，b，新定义一种运
算“※”如下：a※b＝ ，则2※6＝ 2 ．
【答案】2。【解答】解：2※6＝
＝
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
17．（2022春•朔州月考）把（1﹣a） 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是
﹣ ．
【答案】﹣ 。
【解答】解：由根式可知，1﹣a＜0；
故原式＝﹣
＝﹣ ．
18 ． （ 2021 春 • 天 河 区 期 末 ） 观 察 3 个 式 子 ： ，
， ．猜想第四个式子得：
＝ 1 ；依此类推，按照每个等式反映的规律，第n个二次根式的计
算结果是 ．
【答案】1 ； 。【解答】解：猜想第四个式子得： ＝1+ ﹣ ＝1 ；
第n个二次根式的计算结果为1+ ﹣ ＝ ＝ ．
故答案为1 ； ．
三、解答题。
19．（2022•拱墅区校级开学）计算：
（1） ﹣2 ×
（2） （1﹣ ）﹣3
（3）
【解答】解：（1）原式＝ ﹣2
＝﹣ ；
（2）原式＝ ﹣ ﹣
＝ ﹣3 ﹣
＝ ﹣ ；
（3）原式＝﹣
＝﹣ （2+ ）
＝﹣2 ﹣3 ．
20．（2022春•济宁期末）计算：（﹣ ）﹣1﹣ + ﹣（ ﹣ ）0+|1﹣ |．
π【解答】解：原式＝﹣3﹣2 + ﹣1+ ﹣1
＝﹣5．
21．（2021秋•高邑县期末）已知x＝ ．
（1）求代数式x+ ；
（2）求（7﹣4 ）x2+（2﹣ ）x+ 的值．
【解答】解：（1）x＝ ＝ ＝2+ ，
则 ＝2﹣ ，
∴x+ ＝2+ +2﹣ ＝4；
（2）（7﹣4 ）x2+（2﹣ ）x+
＝（7﹣4 ）（2+ ）2+（2﹣ ）（2+ ）+
＝（7﹣4 ）（7+4 ）+（2﹣ ）（2+ ）+
＝49﹣48+4﹣3+
＝2+ ．
22．（2021秋•新民市期末）小明在解决问题：已知 a＝ ，求2a2﹣8a+1的值，他是
这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2﹣ ，
所以a﹣2＝﹣ ．
所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
所以a2﹣4a＝﹣1．所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ＝ ﹣ 1 ．
（2）计算： + + +…+ ；
（3）若a＝ ，求4a2﹣8a+1的值．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣1．
故答案为： ﹣1；
（2）原式＝（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）
＝ ﹣1
＝10﹣1
＝9．
（3）因为a＝ ＝ ＝ +1，
所以a﹣1＝ ．所以（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2．
所以a2﹣2a＝1．
所以4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．
23．（2022春•孟村县期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点
B，点A表示﹣ ，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+（m+ ）2的值．【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B所表示的数比点A所表示的数大2．
∵点A表示﹣ ，点B表示m，
∴m＝﹣ +2；
（2）|m﹣1|+（m+ ）2
＝|﹣ +2﹣1|+（﹣ +2+ ）2
＝|﹣ +1|+4
＝ ﹣1+4
＝ +3．
24．（2022春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 ＞ 2
，1+ ＞ 2 ，5+5 ＝ 2 ．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2 （m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如
图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少
需要 4 0 m．
【解答】解：（1）∵4+3＝7，2 ＝4 ，
∴72＝49，（4 ）2＝48，
∵49＞48，∴4+3＞2 ；
∵1+ ＝ ＞1，2 ＝ ＜1，
∴1+ ＞2 ；
∵5+5＝10，2 ＝10，
∴5+5＝2 ．
故答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2 （m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵（ ﹣ ）2≥0，
∴（ ）2﹣2 • +（ ）2≥0，
∴m﹣2 +n≥0，
∴m+n≥2 ．
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2 ＝2 ＝2 ＝2×20＝40，
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
25．（2021秋•绥宁县期末）在解决问题“已知a＝ ，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小
明是这样分析与解答的：
∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝ ，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简： ．
（2）若a＝ ，求2a2﹣12a+1的值．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝3+ ；
（2）∵a＝ ＝ ＝ ＝3﹣2 ，
∴a﹣3＝﹣2 ，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴2a2﹣12a＝﹣2，
则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．
26．（2022春•潍城区期中）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2
＝（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b ＝（m+n ）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2
mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b 的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m，n的式子分别
表示a，b，得：a＝ m 2 + 3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b ＝（m+n）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
（3）若a+6 ＝（m+n ）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【解答】解：（1）（m+n ）2＝m2+2 mn+3n2＝m2+3n2+2mn ．
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，
故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小．
（3）（m+n ）2＝m2+2 mn+5n2＝a+6 ，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；
当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．
当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．
综上，a的值为14或46．
