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第 22 讲 双曲线的简单几何性质 9 种常见考法归类
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质．
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用.
知识点1 双曲线的几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈ y ≤ － a 或 y ≥ a ，x∈
性质
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a , 0) ， A ( a , 0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段A A ，长：；
1 2
轴 虚轴：线段B B ，长：；
1 2
半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
渐近线 y＝±x y＝±x
注：1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等
式≥1，y∈R，所以x≥a 或x≤－a; y∈R.2．对称性
－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A(－a,0)，A(a,0)，只有两个．
1 2
(2)如图，线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段BB 叫做双曲线的虚轴，它
1 2 1 2
的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．
它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(5)焦点到渐近线的距离为b.
5．离心率
(1)定义：e＝.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此
双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
知识点2 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
(3)等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方
程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
2、弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 ， 两点，则
（ 为直线斜率）
a=±1
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 、 两点，则弦长 .
1、由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
注：求性质时一定要注意焦点的位置．
2、求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶
点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程
(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(4)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λa>0，过O有一条航道.有一艘正在甲地海湾航行的轮船准备进入乙
1
地海湾，在点M（- a，0）处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N（ a，0）处晚1 s（设海面上
声速为a m/s）.若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积），则兴趣小组观察到轮船当前航线所在
的轨迹是什么?1．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与
圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·统考高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条
渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．C． D．
4．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
5．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在
上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.一、单选题
1．（2023春·陕西安康·高二统考期末）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成
是双曲线C： 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8
，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A． B．24 C．32 D．
2．（2023秋·高二课时练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与
较大部分的比值，其比值为 ，把 称为黄金分割数.已知双曲线 的实轴长与焦
距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2023春·上海虹口·高二统考期末）双曲线 的两条渐近线的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知双曲线C的离心率为 ，焦点为 ，点A在C上，若，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，过点 作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且 ，则双曲线
C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·河北·高二校联考期末）已知双曲线 与双曲线 ，则两双
曲线的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
7．（2023秋·高二课时练习）过双曲线 的右焦点作直线与双曲线交于 两点，若 ，
则这样的直线有（ ）
A．一条 B．两条
C．三条 D．四条
8．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ， 为 的左
焦点.经过原点的直线 与 的左、右两支分别交于A， 两点，且 ， ，则 的一条渐
近线的倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·高二校考单元测试）已知离心率为 的双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且 ，O为坐标原点，若 ，则双曲线
的实轴长是（ ）
A．32 B．16
C．84 D．4
10．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）如图所示， ， 是双曲线 ： （ ，
）的左、右焦点， 的右支上存在一点 满足 ， 与双曲线 左支的交点 满足
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线 ，则（ ）
A． 的焦距为 B． 的虚轴长是实轴长的 倍
C．双曲线 与 有相同的渐近线 D．点 到 的一条渐近线的距离为
12．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知曲线 是顶点分别为 的双曲线，点 （异于 ）在 上，则（ ）
A．
B． 的焦点为
C． 的渐近线可能互相垂直
D．当 时，直线 的斜率之积为1
13．（2023春·江苏南通·高二期末）双曲线 的离心率为e，若过点 能作该双曲线的两条切线，
则e可能取值为（ ）．
A． B． C． D．2
14．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过
点 作直线 垂直于双曲线 的一条渐近线，直线 交双曲线 于点 ，若 ，则双曲线 的
渐近线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023春·湖南衡阳·高二校联考期末）已知双曲线 ： 的右焦点 到渐近
线的距离为 ， 为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A． 的离心率为
B． 的最小值为C．若 ， 为 的左、右顶点， 与 ， 不重合，则直线 ， 的斜率之积为
D．设 的左焦点为 ，若 的面积为 ，则
三、填空题
16．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期末）若双曲线 的渐近线的方程为 ，
则 .
17．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ）的离心率为3，
焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上.若 的周长为 ，则 的面积是 .
18．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知直线 与离心率为 的
双曲线 的一条渐近线平行，则 所有可能取的值之和为 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率 ，实半轴长为4，则双曲线的方程
为 .
20．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知直线 是双曲线 （ ）的一条渐
近线，则 的离心率为 .
21．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为
为坐标原点，以 为直径的圆与双曲线 的一条渐近线交于点 及点 ，则双曲线 的方程为
．22．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为60°，
且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
四、解答题
23．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，且过
．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点， 是 的右顶点，且直线 与 的斜率之积为 ，证
明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
24．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，且
C的一条渐近线经过点 .
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方
程；若不存在，请说明理由.
25．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知双曲线C： 的右焦点为F，过点F的直线与
双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.
(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)若点 ， 在双曲线C的右支上，且 ， ， ，过点P且斜率为
的直线与过点Q且斜率为 的直线交于线段AB上一点M，且 ，求实数 的值.
26．（2023春·湖南郴州·高二校考期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为，且左焦点 到渐近线的距离为 ，直线 经过 且互相垂直（斜率都存在且不为0），与
双曲线 分别交于点 和 分别为 的中点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明：直线 过定点.
27．（2023春·浙江·高二校联考期末）已知双曲线 离心率为 ， ， 分别是左、
右顶点，点 是直线 上一点，且满足 ，直线 ， 分别交双曲线右支
于 ， 两点.记 ， 的面积分别为 ， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)求 的最大值.
28．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知双曲线 的离心率为 ，且 的一个焦
点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)设点 为 的左顶点，若过点 的直线 与 的右支交于 两点，且直线 与圆
分别交于 两点，记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围.
