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第 22 讲 双曲线的简单几何性质 9 种常见考法归类
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质．
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用.
知识点1 双曲线的几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈ y ≤ － a 或 y ≥ a ，x∈
性质
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a , 0) ， A ( a , 0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段A A ，长：；
1 2
轴 虚轴：线段B B ，长：；
1 2
半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
渐近线 y＝±x y＝±x
注：1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等
式≥1，y∈R，所以x≥a 或x≤－a; y∈R.2．对称性
－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A(－a,0)，A(a,0)，只有两个．
1 2
(2)如图，线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段BB 叫做双曲线的虚轴，它
1 2 1 2
的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．
它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(5)焦点到渐近线的距离为b.
5．离心率
(1)定义：e＝.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此
双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
知识点2 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
(3)等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方
程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
2、弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 ， 两点，则
（ 为直线斜率）
a=±1
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 、 两点，则弦长 .
1、由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
注：求性质时一定要注意焦点的位置．
2、求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶
点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程
(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(4)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)．
②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
3、双曲线渐近线的有关结论
(1)若双曲线方程为 渐近线方程：
(2)若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
(3)若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
(4)若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在
轴上， ，焦点在 轴上）
4、求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－
a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关
于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0
求解．
5、直线与双曲线的位置关系
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就
是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去 x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意 x2
项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x－x|＝ |y－y|.
1 2 1 2
(3)双曲线中点弦的斜率公式
设 为双曲线 弦 （ 不平行 轴）的中点，则有
证明：设 ， ，则有 ， 两式相减得：整理得： ，即 ，因为 是弦 的中点，
所以： ， 所以
考点一：双曲线的几何性质
例1．【多选】（2023春·江苏盐城·高二统考期末）下列关于双曲线 的判断，正确的
是（ ）
A．顶点坐标为 B．焦点坐标为
C．实轴长为 D．渐近线方程为
变式1．【多选】（2023秋·云南怒江·高三校考期末）已知双曲线 ，则下列选项中正确的是（
）
A． 的焦点坐标为 B． 的顶点坐标为
C． 的离心率为 D． 的焦点到渐近线的距离为
变式2．【多选】（2023秋·浙江金华·高二统考期末）已知双曲线 ，则（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标是
C．离心率为 D．实轴长为4
变式3．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）若实数m满足 ，则曲线 与曲线的（ ）
A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等
变式4．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知双曲线 与椭圆 焦点相同，则下
列结论正确的是（ ）
A．双曲线的焦点坐标为 ， B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1
变式5．【多选】（2023春·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线 ，则不因 的
值改变而改变的是（ ）
A．焦距 B．顶点坐标
C．离心率 D．渐近线方程
考点二：由双曲线的几何性质求标准方程
例2．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线 的左、右焦点分别为
，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
变式1．（2023春·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）与双曲线 有公共焦点，
且长轴长为 的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．变式2．（2023·全国·高二专题练习）与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线方程为
．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）过点 且与椭圆 有相同焦点的双曲线的标准方程为
（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023春·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 ，且焦
点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． 或 B．
C． D．
变式5．（2023·全国·高三对口高考）与 有相同渐近线，焦距 ，则双曲线标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
考点三：双曲线的渐近线
例3．（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线 经过点 ，则该双曲线的
渐近线方程为 ．
变式1．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 与双曲线 有相同的焦点.则 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）双曲线 的右焦点到C的一条渐近线的距离为
（ ）
A．2 B． C．3 D．4
变式3．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）双曲线 的焦点到渐近
线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为 .
变式4．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线
的焦点到渐近线的距离是（ ）
A．1 B． C．2 D．1或
变式5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知F为双曲线 的左焦点，点 ，若直线
与双曲线仅有一个公共点，则 （ ）
A． B．2 C． D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： ，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交
双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为 ．
变式7．（2023·四川自贡·统考三模）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，过 作C的
一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则 的内切圆的半径为 ．变式8．（2023春·陕西西安·高二统考期末）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作其中
一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ，直线 的斜率为 .
考点四：双曲线的离心率问题
（一）求双曲线的离心率
例4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则 的离
心率等于（ ）
A． B． C．2 D．3
变式1．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线 两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线
的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）设 分别是双曲线 的左､右焦点，过 作
的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 的直
线 与双曲线 的右支交于 两点，若 是等边三角形，则双曲线 的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
变式4．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知双曲线 的焦点为 、 ，渐近线为 ， ，过点 且与 平行的直线交 于 ，若 在以线段 为直径的圆上，则
双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
变式5．（2023春·湖南·高二校联考期末）如图，已知 是双曲线 的左､右焦点， 为双
曲线 上两点，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线 ， 为原点， 分别为该双
曲线的左，右顶点 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点 在双曲线的渐近线上， 为
的平分线，且线段 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
变式7．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为
， ，点 在 的左支上， ， ，则 的离心率为 ．变式8．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线 ，（ ， ）的左、
右焦点分别为 ， ，过点 作一条斜率为 的直线与双曲线在第一象限交于点M，且
，则双曲线C的离心率为 .
变式9．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，
点M在双曲线C的右支上， ，若 周长的最小值是 ，则双曲线C的离心率是 .
（二）求双曲线离心率的取值范围
例5．（2023秋·高二校考单元测试）已知二次曲线 ，当 时，该曲线的离心率
的取值范围是 ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E： 的左右焦点分别为 ， ，A
为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线 与 轴交于Q点．若 ，则双曲线E的离心率的取值
范围为 ．
变式2．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知双曲线 ，A为双曲线C的左顶点，B
为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段 ，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知过点 可作双曲线 的两条切线，若两个切点分别在双曲线 的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知 ， 分别是双曲线 的左、右
焦点，以 为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若 ，则C的
离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，记 为双曲线
： 的左焦点，以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 ， 两点，且线段
与 交于点 ，若 ，则 的离心率的取值范围为
（三）根据双曲线的离心率求参数
例6．（2023·北京石景山·校考模拟预测）已知双曲线 的离心率大于 ，则m的取值范
围是 .
变式1．（2023·北京密云·统考三模）已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的焦点坐标为
；渐近线方程为 .
变式2．（2023秋·江苏·高二统考期末）设 为实数，已知双曲线 的离心率 ，则 的取
值范围为
变式3．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线 的离心率不大于 ，则C的虚轴长的取
值范围为 .
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率 满足 ，且 ，则k的取值
范围是 .
考点五：直线与双曲线的位置关系
（一）根据直线与双曲线的位置关系求参数
例7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线 与双曲线 没有公
共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点 且与双曲线 有且只
有一个公共点的直线有（ ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023·高二课时练习）若直线 与双曲线 有两个交点，则 的值可以是( )
A．4 B．2
C．1 D．－2
变式3．（2023·高二单元测试）如果函数 的图象与曲线C： 恰好有两个不同的公共点，
则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线 与曲线
仅有三个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（二）弦长问题
例8．（2023·山东·模拟预测）过双曲线 的左焦点作直线 ，与双曲线交于 两点，若，则这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N
两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： 的一条渐近线方程是 ，
过其左焦点 作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线 交于
A，B两点，若 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线 实轴长为2，左、右两顶点
分别为 ， ， 上的一点 分别与 ， 连线的斜率之积为3．
(1)求 的方程；
(2)经过点 的直线 分别与 的左、右支交于M，N两点， 为坐标原点， 的面积为 ，求 的
方程．
变式5．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线 ，及直线 .
(1)若 与 有且只有一个公共点，求实数 的值；
(2)若 与 的左右两支分别交于A、B两点，且 的面积为 ，求实数 的值.变式6．（2023·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线 的
右焦点 且垂直于 轴的直线 与双曲线交于 两点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若直线 ： 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与双曲线的渐近线分别交于 两
点，求 的取值范围.
变式7．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线 的实
轴长为6，左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上， 轴，且 .
(1)求双曲线 及其渐近线的方程；
(2)如图，若过点 斜率为 的直线 与双曲线 及其两条渐近线从左至右依次交于 ， ， ，
四点，且 ，求 .
（三）中点弦问题例9．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）过点 作直线l与双曲线 交于点A，B，
若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线 上，线段AB的中点为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线 过 点作一直线交双曲线于A、B两点，并使
P为AB的中点，则直线AB的斜率为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
变式3．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C： 的焦点到渐近线的距离为
，直线l与C相交于A，B两点，若线段 的中点为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
变式4．（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，若 是线
段 的中点，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线 ，过点 作直线与双曲线交于 两点，且点 恰好是线段 的中点，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线 与直线
相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
考点六：双曲线的最值（范围）问题
例10．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知实数 满足 ，则下列正确的选项有
（ ）
A． 的最小值为
B． 的取值范围为
C． 的最大值为
D． 的最小值为
变式1．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）点 是双曲线 上一动点，过
做圆 的两条切线，切点为 ， ，则 的最小值为 .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， ，点 在双曲线 的右支上，则
的取值范围是 ．变式3．（2023秋·四川·高二成都七中校考期中）若 是曲线 上不同的两点， 为坐标原点，
则 的取值范围是 .
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知F，F 是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，
1 2
C的离心率为5，点 在C上， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2023春·全国·高三校联考开学考试）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为 ，分别从点
､ ，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围( )
A． B．
C． D．
变式6．（2023秋·高二校考课时练习）若点 依次为双曲线 的左、右焦点，
且 ， ， . 若双曲线C上存在点P，使得 ，则实数b的取值范围为
.
考点七：双曲线的向量问题
例11．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C： 的
渐近线方程为 ，且过点 ．(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且 ，
求直线l的斜率．
变式1．（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线 ： （ ， ）的左顶点为
， 到 的一条渐近线的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 ， 两点，求 的值．
变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）如图：双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，过 作直线l交y轴于点Q．
(1)当直线l平行于 的一条渐近线时，求点 到直线l的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在 的右支上是否存在点P，满足 ？若存在，求出P点的坐标；若
不存在，说明理由.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平
行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
考点八：双曲线的定点、定值问题
例12．（2023秋·重庆·高二校联考阶段练习）已知双曲线C与椭圆 有相同的焦点，
是C上一点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M.
变式1．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）已知双曲线 的实轴
长为 ，C的一条渐近线斜率为 ，直线l交C于P，Q两点，点 在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为 ，求 的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点 的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为 ， ，若
，求证：直线PQ过定点.
变式2．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知双曲线 的
右焦点为 ，渐近线与抛物线 ： 交于点 .
(1)求 ， 的方程；
(2)设A是 与 在第一象限的公共点，作直线l与 的两支分别交于点M，N，使得 .求证：直线
MN过定点.变式3．（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知双曲线 的离心率为 的右焦点
到其渐近线的距离为1.
(1)求该双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线 （存在斜率）与双曲线 的右支交于 两点， 轴上是否存在一个异于点 的
定点 ，使得 成立．若存在，请写出点 的坐标，若不存在请说明理由.
变式4．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线 ，四点 ， ，
， 中恰有三点在双曲线 上.
(1)求 的方程；
(2)设直线 不经过 点且与 相交于 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 证明： 过定点.
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ，
）的渐近线方程为 ，焦距为10， ， 为其左右顶点．
(1)求 的方程；
(2)设点 是直线 ： 上的任意一点，直线 、 分别交双曲线 于点 、 ， ，垂足
为 ，求证：存在定点 ，使得 是定值．
变式1．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知直线 过定点 ，双曲线
过点 ，且 的一条渐近线方程为 .
(1)求点 的坐标和 的方程；(2)若直线 与 交于 ， 两点，试探究：直线 ， 的斜率之和是否为定值，若是，
求出该定值；若不是，请说明理由.
变式2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦
点分别为 ，离心率为 ，点 是 右支上一点， 的面积为4．
(1)求 的方程；
(2)点A是 在第一象限的渐近线上的一点， 轴，点 是 右支在第一象限上的一点，且 在点 处
的切线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点 ．试判断 的值是否为定值？若为定值，求
出它的值；若不为定值，请说明理由．
考点九：双曲线的实际应用
例14．（2023春·河南商丘·高二虞城县高级中学校联考开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以
看作双曲线 的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为 米，则当水
面宽度为 米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米 B． 米 C． 米 D． 米
变式1．（2023春·陕西汉中·高二校联考期中）伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛
车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为 的双曲线C： 上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则 与P到C
的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
变式2．（2023秋·高二课时练习）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3
个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个
监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 （注：信号每秒传播
）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多
少千米？
变式3．（2023秋·高二课时练习）某校兴趣小组运用计算机对轮船由甲地海湾行驶入乙地海湾进行了一次
模拟试验.如图，乙地海湾的入口处有暗礁，其中线段AA，BB，CC ，DD分别关于坐标轴或原点对称，
1 1 1 1
线段BB的方程为y=x，x∈[a，b]，b>a>0，过O有一条航道.有一艘正在甲地海湾航行的轮船准备进入乙
1
地海湾，在点M（- a，0）处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N（ a，0）处晚1 s（设海面上
声速为a m/s）.若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积），则兴趣小组观察到轮船当前航线所在
的轨迹是什么?1．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与
圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·统考高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条
渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．C． D．
4．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
5．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在
上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.一、单选题
1．（2023春·陕西安康·高二统考期末）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成
是双曲线C： 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8
，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A． B．24 C．32 D．
2．（2023秋·高二课时练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与
较大部分的比值，其比值为 ，把 称为黄金分割数.已知双曲线 的实轴长与焦
距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2023春·上海虹口·高二统考期末）双曲线 的两条渐近线的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知双曲线C的离心率为 ，焦点为 ，点A在C上，若，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，过点 作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且 ，则双曲线
C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·河北·高二校联考期末）已知双曲线 与双曲线 ，则两双
曲线的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
7．（2023秋·高二课时练习）过双曲线 的右焦点作直线与双曲线交于 两点，若 ，
则这样的直线有（ ）
A．一条 B．两条
C．三条 D．四条
8．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ， 为 的左
焦点.经过原点的直线 与 的左、右两支分别交于A， 两点，且 ， ，则 的一条渐
近线的倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·高二校考单元测试）已知离心率为 的双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且 ，O为坐标原点，若 ，则双曲线
的实轴长是（ ）
A．32 B．16
C．84 D．4
10．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）如图所示， ， 是双曲线 ： （ ，
）的左、右焦点， 的右支上存在一点 满足 ， 与双曲线 左支的交点 满足
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线 ，则（ ）
A． 的焦距为 B． 的虚轴长是实轴长的 倍
C．双曲线 与 有相同的渐近线 D．点 到 的一条渐近线的距离为
12．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知曲线 是顶点分别为 的双曲线，点 （异于 ）在 上，则（ ）
A．
B． 的焦点为
C． 的渐近线可能互相垂直
D．当 时，直线 的斜率之积为1
13．（2023春·江苏南通·高二期末）双曲线 的离心率为e，若过点 能作该双曲线的两条切线，
则e可能取值为（ ）．
A． B． C． D．2
14．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过
点 作直线 垂直于双曲线 的一条渐近线，直线 交双曲线 于点 ，若 ，则双曲线 的
渐近线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023春·湖南衡阳·高二校联考期末）已知双曲线 ： 的右焦点 到渐近
线的距离为 ， 为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A． 的离心率为
B． 的最小值为C．若 ， 为 的左、右顶点， 与 ， 不重合，则直线 ， 的斜率之积为
D．设 的左焦点为 ，若 的面积为 ，则
三、填空题
16．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期末）若双曲线 的渐近线的方程为 ，
则 .
17．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ）的离心率为3，
焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上.若 的周长为 ，则 的面积是 .
18．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知直线 与离心率为 的
双曲线 的一条渐近线平行，则 所有可能取的值之和为 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率 ，实半轴长为4，则双曲线的方程
为 .
20．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知直线 是双曲线 （ ）的一条渐
近线，则 的离心率为 .
21．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为
为坐标原点，以 为直径的圆与双曲线 的一条渐近线交于点 及点 ，则双曲线 的方程为
．22．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为60°，
且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
四、解答题
23．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，且过
．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点， 是 的右顶点，且直线 与 的斜率之积为 ，证
明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
24．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，且
C的一条渐近线经过点 .
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方
程；若不存在，请说明理由.
25．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知双曲线C： 的右焦点为F，过点F的直线与
双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.
(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)若点 ， 在双曲线C的右支上，且 ， ， ，过点P且斜率为
的直线与过点Q且斜率为 的直线交于线段AB上一点M，且 ，求实数 的值.
26．（2023春·湖南郴州·高二校考期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为，且左焦点 到渐近线的距离为 ，直线 经过 且互相垂直（斜率都存在且不为0），与
双曲线 分别交于点 和 分别为 的中点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明：直线 过定点.
27．（2023春·浙江·高二校联考期末）已知双曲线 离心率为 ， ， 分别是左、
右顶点，点 是直线 上一点，且满足 ，直线 ， 分别交双曲线右支
于 ， 两点.记 ， 的面积分别为 ， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)求 的最大值.
28．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知双曲线 的离心率为 ，且 的一个焦
点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)设点 为 的左顶点，若过点 的直线 与 的右支交于 两点，且直线 与圆
分别交于 两点，记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围.
