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专题 2.4 立方根
1. 理解立方根的概念，能准确阐述其定义，会用根号“√ 3 ❑”表示一个数的立方
根 ，明确根指数3不能省略。
2. 熟练运用立方运算求一些常见数的立方根，清晰掌握开立方与立方互为逆运算，
教学目标
并能利用这一关系解决简单数学问题。
3. 深入探究立方根的性质，能够准确区分立方根与平方根在定义、性质、个数及被
开方数取值范围等方面的不同 。
1.重点
教学重难点
（1）立方根的概念，引导学生深刻理解立方根是如何由一个数的立方运算逆推得出的，掌握立方根的文字表述与数学符号表示。
（2）立方根的求法，通过实例练习，让学生熟练掌握利用立方运算求立方根的方
法，包括正数、负数和零的立方根求解 。
2.难点
（1）正确理解立方根的概念，学生易将立方根与平方根概念混淆，需通过对比分
析，帮助学生理解立方根独特的性质和内涵 。
（2）区分立方根与平方根的不同，详细剖析两者在定义、性质、个数以及被开方数
范围等方面的差异，通过具体例子和练习强化学生认知 。
知识点01 立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那
么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个
互为相反数的数的立方根也互为相反数.
【即学即练1】计算： ．
【即学即练2】已知a的立方根为 ，则a的值为 ．
知识点02 立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【即学即练】若 ，则 的平方根是 ．
知识点03 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位.例
如， ， ， ， .
【即学即练】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x … 64 6400 64000 …
… 8 m …… n 40 …
(1)表格中的 ______， ______；
(2)已知 ，估计 和 的值；(结果保留四位小数)
(3)若 ，估计 的值．（参考数据：
)．（结果保留四位小数）
题型01 立方根概念理解
【典例1】下列语句正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B． 的立方根是
C．立方根等于本身的数只有 D．
【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号
C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A． 的立方根是 B． 没有立方根
C．立方根等于本身的数是 和 D．
题型02 求一个数的立方根
【典例2】64的立方根是 ．
【变式1】计算： ．
【变式2】 的平方根是 ． 的立方根是 ．
题型03 已知一个数的立方根，求这个数
【典例3】已知一个数的立方根为 ，则这个数为 ．
【变式1】一个正数的平方根分别是 和 ， 的立方根是 ，则 的算术平方根为
．
【变式2】已知： 和 是正数M的平方根， 的立方根为 ，则 的算术平方根
．题型04 立方根的性质
【典例4】已知 ，则 的值为 ．
【变式1】数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简 的结果为 ．
【变式2】根据立方根的意义填空：
_____， _____， ______， _____， _____．
观察上述结果，猜想对于实数 等于什么？对于式子 （ 是整数）的化简，你有怎样的认识？
题型05 利用开立方解方程
【典例5】解下列方程：
(1) ；
(2)
【变式1】解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【变式2】求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
题型06 平方根与立方根的综合
【典例6】已知 的平方根是 的立方根是2．
(1)求 的值；
(2)求 的算术平方根．
【变式1】已知实数 的算术平方根是2， 的立方根是2．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的平方根．
【变式2】已知 的立方根是 ， 的算术平方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)若 ，且c是整数，求 的平方根．题型07 立方根的应用
【典例7】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为 ，它的棱长是多少？
【变式1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块．
(1)求该正方体铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方
体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为
圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为 ，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下
降了 ．
(1)铁块的棱长为多少厘米？
(2)杯内部的底面直径为多少厘米（ 取 ）？
题型08 与立方根有关的规律探究问题
【典例8】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的
小数点就向___________移动___________位；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知 ，则 ___________， ___________．
(3)类比上述立方根运算：已知 ，则 ___________， ___________．
【变式1】观察下列规律回答问题：
(1) _______， _______；
(2)已知 ，若 ，用含x的代数式表示y，则 _______；(3)根据规律写出 与a的大小情况．
【变式2】（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根 的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述
这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知 ， ， ，则 介于哪两个整数之间？
②已知 ，则 ______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01
平方米）
a 0.000008 0.008 8 8000
0.02 0.2 2 20
一、单选题
1．已知实数 的立方根是 ，则实数 的立方根是（ ）
A． B．8 C． D．2
2．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A． 是 的立方根 B．9的立方根是3
C． 是 的算术平方根 D．16的平方根是4
4．若 ， ，则 （ ）
A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9
5．如图，某港口有一个体积为 的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为
的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍
6．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．计算： ， ， ．
8．已知 与 互为相反数，则 与 的积的立方根为 ．
9．已知实数 在数轴上的位置如图所示：则 ．
10．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，其流程图如下，当输入 的值是64时，输出的 值是
．
11．若将一个棱长为 的立方体体积减少 （ ），而保留立方体形状不变，则棱长应减少
（用含 的代数式表示），若 ，则棱长应减少 ．
12．（1）填表：
a 1 1000 1000000
（2）根据你发现的规律填空：
① ，则 ______， ______；
②已知 ，则 ______．三、解答题
13．求下列各数的立方根：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
14．求下列各式中 的值：
(1)
(2)
15．计算：
(1)
(2)
16．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了 ．如果玻璃杯内部的底面半径为
，那么正方体的棱长是多少毫米？（ 取 ，结果取整数．）
17．已知： 和 是某正数的两个不相等的平方根， 的立方根为 ．
(1)求 、 的值；
(2)求 的算术平方根．
18．某正数的两个平方根是 与 ，且 的算术平方根是5．
(1)求m，n的值；
(2)求 的立方根．
19．观察下表，并解决问题．
a 0.0004 0.04 4 400 40000
0.02 0.2 2 20 200
(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右
（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．
(2)已知 ， ，则 ______．
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知 ， ， ，则
______．20．【观察】
① ；
② ；
③ ；
④ ．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数 ，
，若______________，则 ，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若 与 的值互为相反数，求 的算术平方根．
