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专题 2.1 一元二次方程与公共根、整数根、
整体代入
【例题精讲】
【例1】已知关于 的方程 ．
（1）试判断该方程根的情况，说明理由；
（2）若该方程与方程 有且只有一个公共根，求 的值．
【例2】关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选取一个合适的 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．【例3】已知 是方程 的一个根．求：
（1） 的值；
（2）代数式 的值．
【题组训练】
一．公共根
1．方程 和 有一个公共根，则 的值是 ．
2．若方程 和 只有一个公共根，则 的值是多少？
3．若两个方程 和 只有一个公共根，则
A． B． C． D．
4．若关于 的方程： 和 有且只有一个公共根，则
．
5．已知三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰有一个公共实数根，则 的值为 ．
6．已知关于 的一元二次方程 与 有一个公共实数根，则
．
7．有三个方程：① ；② ；③ ，它们
的公共根是
A．5 B． C．1 D．以上都不是
9．已知关于 的两个一元二次方程：方程①： ；方程②：
．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；
（3）若方程①和②有一个公共根 ．求代数式 的值．
10．已知关于 的两个一元二次方程：
方程①： ；
方程②： ．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求： 的值
（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
（3）若方程①和②有一个公共根 ，求代数式 的值．二．整数根
11．关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程
也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是
A． 是正数， 是负数 B．
C． 是正数， 是负数 D．
12．关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则整数 的值为
．
13．已知：关于 的一元二次方程 ．
（1）求方程有实数根的实数 的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的正整数根，求出此时 的整数值．
15．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若此方程总有两个相等的实数根，求 的值．（用含 的代数式表示）；
（2）当 时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的 的值，并求此时
方程的根．16．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程一定有实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数 的值．
17．已知关于 的方程 有两个整数根，且 为正整数，则符合条件的所
有正整数的和是
A．6 B．5 C．4 D．3
18．已知关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则 的值为
A．2 B．1 C． D．2或1
19．已知二次多项式 ．
（1）当 时，该多项式的值为 ；
（2）若关于 的方程 ，有两个不相等的整数根，则正数 的值为
．20．已知关于 的方程
（1）求证：无论 取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数 的值；
（3）若一元二次方程 满足 ，求 的值．
三．整体思想
21．若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 ．
22．已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值为
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
23． 是方程 的根，则式子 的值为
A．2018 B．2019 C．2021 D．2022
24．若 是方程 的一个根，则 的值为
A．2020 B． C．2019 D．
25．若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值为
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
26．若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则一元二次方程
必有一根为A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
27．已知 是方程 的一个根，则 的值为
A． B．2022 C．2021 D．无法计算
28．已知 是方程 的一个根．则 的值为
A．4 B．6 C． D．
29．若 是方程 的解，则 ．
30．已知实数 是元二次方程 的根，求代数式 的值为
．
31．若 是方程 的根，则代数式 的值是 ．
