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专题 2.51 《二次函数》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1． 是二次函数，则 的值为（ ）
A． ， B． ， C． D．
2．如果函数 是二次函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． ＝﹣2 D． 为全体实数
3．下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
4．若y=（a2+a） 是二次函数，那么（ ）
A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a=﹣1 D．a=3
5．对于二次函数 ,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
6．关于二次函数y＝ (x+1)2的图像，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
7．如图，抛物线y=a（x+2）2-3与y= （x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，
1 2分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y 的值总是正数；②a=1；③
2
当x=0时，y-y=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
2 1
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．已知抛物线 ，如图所示，下列命题：① ；②对称轴为直线
；③抛物线经过 ， 两点，则 ；④顶点坐标是（ ，其中真命题的
概率是（ ）
A． B． C． D．1
9．二次函数 的图像如图所示，对称轴是直线 ．下列结论：① ；②
；③ ；④ ( 为实数)．其中结论正确的个数为(
)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图 所示，图像过点（﹣1，0），对称轴为直线
x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，
y）、点B（﹣ ，y）、点C（7，y）在该函数图像上，则y＜y＜y；（5）若方程a（x+1）
1 2 3 1 3 2
（x﹣5）=﹣3的两根为x 和x，且x＜x，则x＜﹣1＜5＜x．其中正确的结论有（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．已知二次函数 (其中 是自变量)的图像与 轴没有公共点，
且当 时， 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．下列对二次函数y=x2﹣x的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
13．如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图像可
能是（ ）A． B． C． D．
14．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图像，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点
（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次
方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是( )
A． B．
B． D． 有两个不相等的实数根
16．如图，已知二次函数 的图像如图所示，有下列5个结论
； ； ； ； 的实
数 其中正确结论的有A． B． C． D．
17．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中
错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
18．如图是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣ x2﹣ x+2
C．y=﹣ x2﹣ x+1 D．y=﹣x2+x+2
19．已知点A（ ），B（ ），C（ ）在二次函数 的图像上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
20．（2014年山东济南3分）二次函数的图像如图，对称轴为 ．若关于x的一元二次方程
（t为实数），在 的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x 2时，y
值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意
一点，设M的纵坐标为t，若 ，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B． ≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
22．如图，在平面直角坐标系中，已知 是线段 上的一个动
点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，若点 在直线 上，则 的
最大值是（ ）A． B． C． D．
23．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则
m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
24．如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
25．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是
（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 426．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高
点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2
C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2
27．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图像经过原点，则a的值必为（ ）
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0
28．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为
（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
29．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（
）
A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
30．将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式中，正确的是（
）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
31．将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式
为（ ）
A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3
32．将抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线关于 轴对称，则抛物线 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
33．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图像过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（
）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
34．已知函数 的图像与x轴有交点．则 的取值范围是( )
A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3
35．抛物线 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程
（ 为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=
在同一坐标系内的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，抛物线 与x轴一个交点为 ，对称轴为直线 ，则
时x的范围是A． 或 B．
C． D．
38．如图，二次函数 的图像与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值
y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
39．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图像在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段
位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
40．已知二次函数y＝x2﹣6x+m（m是实数），当自变量任取x，x 时，分别与之对应的函数值
1 2
y，y 满足y＞y，则x，x 应满足的关系式是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．x﹣3＜x﹣3 B．x﹣3＞x﹣3 C．|x﹣3|＜|x﹣3| D．|x﹣3|＞|x﹣3|
1 2 1 2 1 2 1 2
二、填空题
41．若函数 是二次函数，则m的值为______．
42．已知函数y=（m﹣2） ﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．43．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___
44．若 是二次函数，则m的值为________．
45．若点A（－3，y）、B（0，y）是二次函数y=－2（x－1）2+3图像上的两点，那么y 与y
1 2 1 2
的大小关系是________（填y＞y、y=y 或y＜y）．
1 2 1 2 1 2
46．已知点 ， 在二次函数 的图像上，若 ，则
__________ ．（填“ ”“ ”“ ”）
47．当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为__.
48．若A（x ， y）、B（x ， y）是一次函数y=﹣（x+1）2﹣2图像上不同的两点，且x
1 1 2 2 1
＞x＞﹣1，记m=（x﹣x）（ y﹣y），则m________0．（填“＞”或“＜”）
2 1 2 1 2
49．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
50．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半
轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的
值是_____．51．二次函数 的图像过点 ，且与 轴交于点 ，点 在该抛物线的对
称轴上，若 是以 为直角边的直角三角形，则点 的坐标为__________．
52．已知关于 的一元二次方程 ，有下列结论：
①当 时，方程有两个不相等的实根；
②当 时，方程不可能有两个异号的实根；
③当 时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
53．如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有________（填序
号）
①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．
54．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣ ，y），C（﹣ ，y）为图像上的两点，则y＜y；
1 2 1 2
③2a﹣b＝0；④ ＜0，其中正确的结论是_____．
55．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．
①abc＞0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x=﹣1，x=3
1 2
③2a+b=0
④当x＞0时，y随x的增大而减小
56．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图像开口向上，图像经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y
轴交于负半轴．给出四个结论：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＞0；④a+c＝1；其中正确的
结论的序号是_____
57．当x＝x 和x＝ x（x≠x）时，二次函数y＝3x2﹣3x+4的函数值相等、当x＝x+x 时，函数值
1 2 1 2 1 2
是_________．58．已知抛物线 与 轴交于 两点，若点 的坐标为 ，抛
物线的对称轴为直线 ，则点 的坐标为__________．
59．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则点B的
坐标是_____．
60．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的有_____．
61．如图，点 是双曲线 ： （ ）上的一点，过点 作 轴的垂线交直线 ：
于点 ，连结 ， .当点 在曲线 上运动,且点 在 的上方时，△ 面
积的最大值是______.62．已知抛物线 过点 ， 两点，若线段 的长不
大于 ，则代数式 的最小值是_________.
63．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由
甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又
要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____
个．
64．当 时，二次函数 有最大值4，则实数 的值为________．
65．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而
增大时，x的取值范围是______．
66．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣
N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，
点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是_____．
67．如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点 B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平
分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．68．二次函数的图像过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____________．
69．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y=- x2+3向下平移2个单位后得抛物
1
线y，则阴影部分的面积S=_____________．
2
70．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解
析式是_____．
71．已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平
移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若
B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
72．在平面直角坐标系中，将函数y=2x2的图像先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位
长度，所得图像的函数解析式为_____．
73．已知二次函数 的部分图像如图所示，则关于 的一元二次方程的根为________．
74．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞
x+m的解集为______________．
75．已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式m²-m+2019的值为_______
76．若二次函数 的图像与x轴交于A ，B 两点，则 的
值为______．
77．已知二次函数 与一次函数 的图像相交于点 ，
如图所示，则能使 成立的x的取值范围是______．
78．如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是_________．
79．如图为二次函数 图像的一部分，其对称轴为直线 .若其与x轴一交点为
A(3，0)则由图像可知，不等式 的解集是_______.
80．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式
ax2+mx+c≤n的解集是_____．
三、解答题
81．已知函数 是关于 的二次函数．
（1）求 的值．
（2）当 为何值时，该函数有最小值？最小值是多少？82．把二次函数y=a(x-h)2+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数
y= (x+1)2-1的图像.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
83．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图像不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
84．在平面直角坐标系中，设二次函数y=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
1
（1）若函数y 的图像经过点（1，﹣2），求函数y 的表达式；
1 1
（2）若一次函数y=ax+b的图像与y 的图像经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
2 1（3）已知点P（x，m）和Q（1，n）在函数y 的图像上，若m＜n，求x 的取值范围．
0 1 0
85．如图一，抛物线 过 三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2） 两点均在该抛物线上，若 ，求 点横坐标 的取值范围；
（3）如图二，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，该抛物线的对称轴与 轴交于点 ，连
结 ，点 为线段 的中点，点 分别为直线 和 上的动点，求 周长
的最小值．
86．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C
在x轴下方，且使△OCA∽△OBC（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
87．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛
物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图像经过该二次函数图像上的点A（﹣1，0）及点
B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
88．在平面直角坐标系中，已知点 ，直线 经过点 ．抛物线恰好经过 三点中的两点．
判断点 是否在直线 上．并说明理由；
求 的值；
平移抛物线 ，使其顶点仍在直线 上，求平移后所得抛物线与 轴
交点纵坐标的最大值．
89．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
90．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图像的顶点是A，与x轴交于B，C两
点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图像直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图像，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图像所对应的二次函数
的表达式．
参考答案
1．D【分析】
根据二次函数的概念，二次项系数m≠0，x的指数m2＋2m＋2＝2，从而求出m的值.
根据二次函数的概念，二次项系数m≠0，x的指数m2＋2m＋2＝2,解得m＝0或－2.其次系数m不
等于0，所以排除0，即答案是－2.所以答案选D.
【点拨】本题考察了二次函数的概念，二次项系数不等于0，最高次项指数为2.
2．C
【分析】
根据二次函数定义可得m-2≠0， ，再解即可．
解：由题意得：m-2≠0， ，
解得：m=-2，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的
函数，叫做二次函数．
3．C
【解析】
A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系;
B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系;
C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系;
D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系；
故选C.
点拨：本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键.
4．D
【解析】
【分析】
根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．
根据题意，得：a2﹣2a﹣1=2
解得a=3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a=3．
故选D．【点拨】解题关键是掌握二次函数的定义．
5．B
二次函数 ,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
6．D
【分析】
根据抛物线的性质由a= 得到图像开口向上，将x=0代入求出相应的y值即可判断是否经过原
点，由抛物线的性质可判断对称轴右侧图像的变化情况，根据顶点式即可得到顶点坐标，由此即
可得答案.
二次函数y＝ (x+1)2中a= >0，所以抛物线开口向上，
当x=0时，y= ，所以图像不经过原点，
因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，
由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，
所以选项A、B、C是错误的，D是正确的，
故选D.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，牢记其y=a(x-h)2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解
答本题的关键．当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线(a≠0)的开口向下．
7．D
【分析】
直接由 判断①；把A点坐标代入抛物线y=a（x+2）2-3求出a值判断②；
1
由x=0求得y，y 作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC
2 1判断④．
解：对于①， ，∴无论x取何值，y 的值总是正数正确；
2
对于②，∵抛物线y=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得 ，②错误；
1
对于③， ，当x=0时， ，③错
误；
对于④，∵抛物线y=a（x+2）2-3与 交于点A（1，3），∴可求得B（-5，
1
3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．
故选D．
【点拨】本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题．
8．C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假，根据概率公式计算即可．
∵抛物线开口向上，∴a＞0，①是真命题；
对称轴为直线x=1，②是真命题；
当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线经过（2，y），（4，y）两点，则y＜y，③是假命
1 2 1 2
题；
顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；
∴真命题的概率 ．
故选C．
【点拨】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．C
【分析】①由抛物线开口方向得到 ，对称轴在 轴右侧，得到 与 异号，又抛物线与 轴正半轴
相交，得到 ，可得出 ，选项①错误；
②把 代入 中得 ，所以②正确；
③由 时对应的函数值 ，可得出 ，得到 ，由 ， ，
，得到 ，选项③正确；
④由对称轴为直线 ，即 时， 有最小值，可得结论，即可得到④正确．
解：①∵抛物线开口向上，∴ ，
∵抛物线的对称轴在 轴右侧，∴ ，
∵抛物线与 轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，①错误；
②当 时， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
把 代入 中得 ，所以②正确；
③当 时， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ 时，函数的最小值为 ，
∴ ，
即 ，所以④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．
当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系数 共同
决定对称轴的位置：当 与 同号时，对称轴在 轴左；当 与 异号时，对称轴在 轴右．常
数项 决定抛物线与 轴交点：抛物线与 轴交于 ．抛物线与 轴交点个数由判别式确定：
时，抛物线与 轴有2个交点； 时，抛物线与 轴有1个交点；
时，抛物线与 轴没有交点．
10．B
根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=- =2，即b=-4a，变形为4a+b=0，所以
（1）正确；
由x=-3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，可得9a+c＞-3c，故（2）正确；
因为抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得a+4a+c=0，即
c=-5a.代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a，由函数的图像开口向下，可知a＜0，因此7a﹣3b+2c
＜0，故（3）不正确；
根据图像可知当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，可知若点A（﹣
3，y）、点B（﹣ ，y）、点C（7，y）在该函数图像上，则y=y＜y，故（4）不正确；
1 2 3 1 3 2
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x 和x，且x＜x，则x＜﹣1＜x，故（5）正确．
1 2 1 2 1 2
正确的共有3个.
故选B.
点拨：本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决
定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次
项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与
y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交
点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．D
【分析】
由抛物线与 轴没有公共点，可得 ，求得 ，求出抛物线的对称轴为直线 ，抛物
线开口向上，再结合已知当 时， 随 的增大而减小，可得 ，据此即可求得答案.
，
抛物线与 轴没有公共点，
，解得 ，
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
而当 时， 随 的增大而减小，
，
实数 的取值范围是 ，
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图像的增减性，
熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
12．C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-
，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关
键.
13．B
分析：可先根据一次函数的图像判断a的符号，再判断二次函数图像与实际是否相符，判断正误
即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该
开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开
口向上，对称轴x=﹣ ＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开
口向上，对称轴x=﹣ ＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开
口向上．故选项错误．
故选B．
点拨：本题考查了二次函数以及一次函数的图像，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐
标等．
14．C
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1
时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=- =1，即b=-2a，则可对②进
行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到 =n，则可对③进行判断；由于抛物线与直
线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=- =1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ =n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
15．C
【分析】观察图像：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；由对称轴为x= =1，可得2a+b=0；当
x=-1时图像在x轴下方得到y=a-b+c＜0，结合b=-2a可得 3a+c＜0；观察图像可知抛物线的顶点
为（1，3），可得方程 有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图像：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞
0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0，故A选项错误；
∵对称轴x= =1，∴b=-2a，即2a+b=0，故B选项错误；
当x=-1时， y=a-b+c＜0，又∵b=-2a，∴ 3a+c＜0，故C选项正确；
∵抛物线的顶点为（1，3），
∴ 的解为x=x=1，即方程有两个相等的实数根，故D选项错误，
1 2
故选C.
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的
图像，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为
直线x= ，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；
当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交
点．
16．B
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
对称轴在y轴的右侧，
，
由图像可知： ，，故 不正确；
当 时， ，
，故 正确；
由对称知，当 时，函数值大于0，即 ，故 正确；
，
，
，
，
，故 不正确；
当 时，y的值最大 此时， ，
而当 时， ，
所以 ，
故 ，即 ，故 正确，
故 正确，
故选B．
【点拨】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛
物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函
数的性质是关键．
17．C
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.
A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，
故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B
选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜
n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x
的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数
形结合是解题的关键.
18．D
【分析】
根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项分析即可.
A、由图像可知开口向下,故a＜0, 故A错误；
B、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是 ,
而 的顶点横坐标是﹣ , 故B错误；
C、 的顶点横坐标是﹣ , 故C错误；
D、 的顶点横坐标是 ,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D正确．
故选D.
【点拨】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线： ；
若抛物线与轴的两个交点是A(x，0)，B(x，0)，则抛物线的对称轴是： .
1 2
19．D
【分析】
根据二次函数的解析式得出图像的开口向上，对称轴是直线 ，根据 时， 随 的增大
而增大，即可得出答案．
∵ ，
∴图像的开口向上，对称轴是直线 ，
∴B（ ， ）关于直线 的对称点是（4， ），
∵1＜2＜3＜4，
∴ ＜ ＜ ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，
能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
20．C
试题解析：∵二次函数y=x2+bx-t对称轴为x=1，
∴ ,
∴b=-2．
∵一元二次方程x2-2x-t=0在-11时，y随x的增大而增大.
∴若x>x>1 时，y>y .
1 2 1 2
故答案为>
47．
【分析】
根据二次函数的性质进行解答即可
解：函数y＝－（x－1）2＋2的图像的开口向下，对称轴为直线x＝1，
当2.5≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，
所以当x＝2.5时，y ＝－（2.5－1）2＋2＝- ．
最大
故答案为- .
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时根据函数的解析式判断出函数的增减性
质，然后根据范围判断出取最值的x值，然后求出最大值即可，此题易错为不考虑2≤x≤5的范围，
单纯的考虑y＝－（x－1）2＋2的最大值，出现错误答案．
48．＜
【解析】
试题解析：∵ 是二次函数 图像上不同的两点,且
又∵对称轴x=−1，故答案为:<.
49．﹣3＜x＜1
【分析】
根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，
再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图像可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
50．﹣2
【解析】
分析：根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（- ，- ），再利用二次函数图像
上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
详解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（- ，- ）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴- =a（- ）2，
解得：b=0（舍去），b=-2．
1 2
故答案为：-2．
点拨：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像上点的坐特征以及正方形的性质，利用正
方形的性质结合二次函数图像上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．
51． 或
【分析】先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M
作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得
点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而
可得点M坐标．
解：对 ，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），
抛物线 的对称轴是直线： ，
当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则 ，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠MFB=∠BOA=90°，
∴△BFM∽△AOB，
∴ ，即 ，解得：BF=3，
∴OF=6，
∴点M的坐标是（ ，6）；
当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则 ，
同上面的方法可得△BAE∽△AMH，
∴ ，即 ，解得：AH=9，
∴点M的坐标是（ ，﹣9）；
综上，点M的坐标是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和
性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
52．①③④
【分析】
由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，∵一元二次方程 ，
∴ ；∴当 ，即 时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当 ，解得： ，方程有两个同号的实数根，则当 时，方程可能
有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为： ，则当 时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由 ，则 ，解得： 或 ；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键
是掌握所学的知识进行解题．
53．①③④．
【解析】
①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交于y轴负半轴，
∴a>0， >0，c<0，
∴b<0，abc>0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴△=b2−4ac>0，b2>4ac，②错误；
③当x=−2时，y=4a−2b+c>0，③正确；
④∵0< <1，
∴−2a0>c，④正确．
故答案为①③④．
54．①③
【分析】
①由抛物线交y轴于正半轴可得出c＞0，结论①正确；②由点B，C的横坐标可得出点C离对称
轴远，结合抛物线开口向下，即可得出y＞y，结论②错误；③由抛物线的对称轴为直线x=-1，
1 2可得出b=2a，即2a-b=0，结论③正确；④由抛物线顶点的纵坐标大于0，可得出 ＞0，结
论④错误．综上即可得出结论．
①∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-1-（- ）＜- -（-1）．
又∵抛物线的开口向下，B（- ，y），C（- ，y）为图像上的两点，
1 2
∴y＞y，结论②错误；
1 2
③∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴- =-1，
∴b=2a，即2a-b=0，结论③正确；
④∵抛物线的顶点纵坐标在x轴上方，
∴ ＞0，结论④错误．
故答案为①③．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标
特征，观察函数图像，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
55．②③
【分析】
由函数图像可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y
轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为
（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方
程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，
对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，∴ ＞0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x=﹣1，x=3，故②正确；
1 2
∵对称轴为直线x=1，∴ =1，即2a+b=0，故③正确；
∵由函数图像可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为②③．
【点拨】此题考查了二次函数图像与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确
定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物
线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开
口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析
式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
56．①③④．
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对
称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；
②∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；
③由图像可知：对称轴x=- ＞0且对称轴x=- ＜1，∴2a+b＞0，正确；
④由图像可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2，当x=1时y=0，∴a+b+c=0；a-b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，解得a+c=1，正确；
故正确结论的序号是①③④．
【点拨】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，
则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=- 判断符号．（3）c
由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x
轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
57．4
【分析】
根据二次函数的性质和二次函数图像具有对称性，可以求得 的值，从而可以求得相应的y
的值．
∵ 的对称轴为直线 ，
当 分别取 两个不同的值时，函数值相等，
∴ ，
∴当 取 时， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的
性质解答．
58．
【分析】
根据抛物线对称轴是直线 及 两点关于对称轴直线对称求出点B的坐标即可.
解：∵抛物线 与 轴交于 两点，且点 的坐标为 ，抛物
线的对称轴为直线∴点B的横坐标为
即点B的坐标为
【点拨】本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线 对称的点的坐标是本
题的解题关键.
59．（﹣1，0）．
【分析】
根据点B与点A关于直线x＝1对称确定点B的坐标即可．
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，
∴点A与点B关于直线x＝1对称，
而对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（3，0），
∴点B的坐标是（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的图像关于对称轴对称是解决问题的关键.
60．①②③④
【解析】
【分析】
①由图像与c轴的交点可以判断;
②根据开口方向可以判断a的正负, 根据顶点坐标所在的位置可以判断b的正负, 根据与y轴的交
点可以判断c的正负, 从而可以解答本题;
③根据对称轴可以确定a、b的关系,由x=-2对应的函数图像, 可以判断该结论是否正确;
④根据对称轴和二次函数具有对称性可以判断该结.论是否正确.
解：由二次函数的图像与z轴两个交点可知, b2﹣4ac＞0,故①正确;
由二次函数的图像可知,开口向上,则a>0,顶点在y轴右侧,则b<0(左同右异),图像与y轴交于负半轴,
则c<0,故abc>0,故②正确;
b
由图像可知:− =1,则b=-2a,当x=-2时,y=4a-2b+c>0,则y=4a-2×(-2a)+c>0,即8a+c>0,故③正确;
2a
由图像可知: 此函数的对称轴为x=1, 当x=-1时和x=3时的函数相等并且都小于0,故x=3
时,y=9a+3b+c<0,故④正确;
故答案为: ①②③④.
【点拨】主题主要考查二次函数的图像与性质，注意观察用图像，利用二次函数的性质解题.61．3
【分析】
令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由
双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△ 的面积
最大.设Q（a， ）则S = ×a×（ ）= = ，可知当a=2时
△OEQ
S 最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△ 面积的最大值是是3.
△OEQ
∵ 交x轴为B点，交y轴于点A,
∴A（0，-2），B（4，0）
即OB=4，OA=2
令PQ与x轴的交点为E
∵P在曲线C上
∴△OPE的面积恒为2
∴当△OEQ面积最大时△ 的面积最大
设Q（a, ）
则S = ×a×（ ）= =
△OEQ
当a=2时S 最大为1
△OEQ
即当Q为AB中点时△OEQ为1故△ 面积的最大值是是3.
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关
键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.
62．
【分析】
根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥ ，把x= 代入代数式即可求得．
∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴ ，顶点为（-2,1）
∴由题意可知a>0,
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（ ）2+ +1= ；
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是
解题的关键．
63．210
根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次
函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：
服务驿站序号 在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1 n﹣1
2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
… …
n 0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的
最值在x＝﹣ 时取得．
64．2或
【分析】
求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减
性列方程求解即可．
解：二次函数 的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得 ，
，
∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得 ，
所以 ，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或 时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图像能分类讨论是解题的关键．
65．x＞
解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y=x2+bx+c中，得： ，
解得： ，
那么二次函数的解析式是： ，
函数的对称轴是： ，
因而当y随x的增大而增大时，
x的取值范围是： ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像性质，利用数形结合思想解题
是关键．66．﹣15．
【分析】
由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，可以求出抛物线的a值；当顶点在N处时，y=a-
b+c取得最小值，即可求解．
解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，
将点A坐标（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，
解得：a=-1，
当x=-1时，y=a-b+c，
顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，
顶点在N处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，
当x=-1时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-15，
故答案为-15．
【点拨】本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，
其中函数的a值始终不变．
67．y=- x2+ x+4
【分析】
先计算出AC=5，再证明CB=CA=5，则B（5，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式．
解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AC=5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC=∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠BAC=∠CBA，
∴CB=CA=5，∴B（5，4）．
把A（-3，0）、B（5，4）代入y=ax2+bx+4，
得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=- x2+ x+4．
故答案为y=- x2+ x+4．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，平行
线的性质，等腰三角形的判定．求出B点坐标是解题的关键．
68．y＝－x2－2x＋3
【解析】
∵二次函数图像过点（-3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，
∴顶点横坐标为-1，即顶点坐标为（-1，4），
设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
将x=1，y=0代入得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3．
故答案是：y=-x2-2x+3．
69．4
【解析】
【分析】
根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积．
解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．
故答案是：4．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换．解题关键是把阴影部分的面积整理为规则图形的
面积．
70．y＝（x﹣1）2﹣1．
【分析】先将所给的抛物线解析式写成顶点式，然后再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
y＝x2﹣6x+5=(x-3)2-4，
向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，
得到的抛物线解析式是y＝(x-3+2)2-4+3，
即：y＝(x﹣1)2﹣1，
故答案为：y＝(x﹣1)2﹣1．
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键．
71．2
【解析】
分析：先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和
B的坐标可得AB的长，从而得结论．
详解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x=1，x=﹣3，
1 2
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为2．
点拨：本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形
结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
72．y=2(x-1)2+5【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
由“左加右减”的原则可知，
抛物线y=2x2的图像向右平移1个单位所得函数图像的关系式是：y=2（x-1）2；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线y=2（x-1）2的图像向上平移5个单位长度所得函数图像的关系式是：y=2（x-1）2+5．
故答案是：y=2（x-1）2+5．
【点拨】考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键．
73． 或
【分析】
根据函数图像求出二次函数与x轴的交点,利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题.
解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴关于 的一元二次方程 的根为 或 .
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
74．x＜1或x＞3
【分析】
利用函数图像与不等式的关系可以求得不等式的解集.
数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x＜1或x＞3.
【点拨】利用一次函数图像和二次函数图像性质数形结合解不等式：
形如式 不等式，构造函数 = ， ，如果 ,找
出 比 ,高的部分对应的x的值, ,找出 比 ,低的部分对应的x的值.
75．2020
【分析】
把点（m，0）代入抛物线y=x²-x-1求出m²-m的值，再代入所求代数式进行计算即可．
∵抛物线y=x²−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，
∴m²−m−1=0，
∴m²−m=1，∴原式=1+2019=2020.
故答案为2020.
【点拨】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用待定系数法求解.
76．﹣4
【分析】
与x轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与
两根之积．把要求的式子通分代入即可．
设y=0，则 ，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即 ， ，∴
，
∴ ，故答案为 ．
【点拨】根据求根公式可得，若 ， 是方程的两个实数根，则
77．x<-2或x>8
【解析】
试题分析：根据函数图像可得：当 时，x＜－2或x＞8．
考点：函数图像的性质
78．x<－1或x>4．
【分析】
数形结合，将不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集转化为直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方时对
应的x的范围即可．
由图像可得，当x<－1或x>4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是：x<－1或x>4．
故答案为：x<－1或x>4．
【点拨】本题主要考查二次函数、一次函数与不等式的关系，数形结合思想的运用是解题关键．
79．﹣1＜x＜3试题分析：由图像得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图像与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
利用图像可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴-1＜x＜3．
考点：二次函数与不等式（组）．
80．﹣5≤x≤2
【分析】
先把问题转化为： ，根据二次函数和一次函数的图像和性质即可求解．
解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图像可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
不等式
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为﹣5≤x≤2．
【点拨】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图
像解决问题．
81．（1） 或 ；（2） 时函数有最小值为
【分析】
（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图像有最低点，函数有最小值；解：（1）∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，且m＋3≠0，
解得： ， ；
（2）∵m＝−4或1，
∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞−3，
∵m＝−4或1，
∴当m＝1时，函数为 ，该函数有最小值，最小值为-1．
【点拨】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的
关键．
82．（1） （2）开口向下，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5）
【解析】
试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，
再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图像的平移法则，确定函数解
析式，即可得到结论；
（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.
试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得
到二次函数y= (x+1)2-1，
∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函
数y=a(x-h)2+k，
而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y=(x-1)2-5，
∴a= ，b=1，k=-5；
（2）二次函数y= (x-1)2-5，
开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.
83．(1)证明见解析；（2）k≤1；（3）2.
试题分析：（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数 的图像不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣
k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知
道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x，x，根据题意得（x﹣3）（x﹣3）＜0，根据一元二次方程根与
1 2 1 2
系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
试题解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何
值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数 的图像不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛
物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交
点的横坐标分别为x，x，∴x+x=5﹣k＞0，xx=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；
1 2 1 2 1 2
（3）解：设方程的两个根分别是x，x，根据题意，得（x﹣3）（x﹣3）＜0，即xx﹣3
1 2 1 2 1 2
（x+x）+9＜0，又x+x=5﹣k，xx=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜ ．则k
1 2 1 2 1 2
的最大整数值为2．
84．（1）函数y 的表达式y=x2﹣x﹣2（2）a２=b或b=-a2﹣a（3）x 的取值范围0
