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专题26 概率和统计
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·河南·统考模拟预测）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋
手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在
第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者进行比较即可解
决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2．（2022·北京·北京二中校考模拟预测）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机
地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天
去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38
【答案】A
【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间
表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”， “第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，则 ，且 与 互斥，
根据题意得： ， ， ，
则 .
故选：A.
3．（2022·山东德州·统考模拟预测）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局
比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概
率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.
【详解】由题意，甲获得冠军的概率为 ，
其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为 ，∴所求概率为 .
故选：B.
4．（2023·江苏·二模）在 这 个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得公差 ，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可．
【详解】因为三个数成递增等差数列，设为 ，
按题意必须满足 ， ，
若给定了 ，则 可以取 ，
故三数成递增等差数列的个数为 ，
所以三数成递增等差数列的概率为 ，
故选：C．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 、
、 、 、 和 六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中
度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，
则下面说法中正确的是（ ）．
A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从2日到5日空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数是214
D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B
【分析】根据折线图直接分析各选项.
【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；
B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确；
C选项：这14天中空气质量指数的中位数是 ，C选项错误；
D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11
日，D选项错误；
故选：B.
6．（2023·天津·统考一模）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位： ）
进行分组，区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二
组，....，第五组.画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为 ，且第一
组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）
A．48 B．50 C．54 D．60
【答案】A
【分析】由题意设前三小组的频率分别为 ，根据频率之和为 ，即可得到 ，从而得到 .
【详解】设报考飞行员人数为 ，根据前三个小组的频率之比为 ，可设前三小组的频率分别为 ，且
频率之和为 ，即 ，解得
则 ，解得 .
故选:A
7．（2023·四川南充·统考二模）近年来国产品牌汽车发展迅速，特别是借助新能源汽车发展的东风，国产品牌汽
车销量得到了较大的提升．如图是2021年1－7月和2022年1－7月我国汽车销量占比饼状图，已知2022年1－7月我国汽车总销量为1254万辆，比2021年增加了99万辆，则2022年1－7月我国汽车销量与2021年1－7月相比，
下列说法正确的是（ ）
A．日系汽车销量占比变化最大 B．国产汽车销量占比变大了
C．德系汽车销量占比下降最大 D．美系汽车销量变少了
【答案】B
【分析】由饼状图分析即可
【详解】由饼状图可得日系汽车销量占比下降2.2%，德系汽车销量占比下降1.6%，
美系与其他下降不足1%，而国产汽车销量占比增加5%>2.2%，故B选项正确，A、C选项错误；
美系汽车销量由 变化为 增加了，D选项错误.
故选：B
8．（2023·吉林长春·校联考一模）某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域
栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没
有公共边）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】每个区域种不同颜色的花，有 种方法，红色、白色种在相邻区域有 种方法，通过对立事件
求出正确答案.
【详解】每个区域种不同颜色的花，有 种方法；这9个区域中相邻的区域有9个(13; 23; 34;26; 48; 56; 67; 78;89)，所以红色、白色种在相邻区域有 种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为
，
故选：D.
二、多选题
9．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．
某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方
式，如图所示，则（ ）
A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%
B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%
C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半
D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多
【答案】ABC
【分析】根据已知条件可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年
人的人数的比例，即可判断.
【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为 ，
由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为 ， ， ，
其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为 ， ， ，
所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为 ，所以A正确；
因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数 ，
所以B正确；
因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为 ，其中青年人的人数为 ，所以C正确；
因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为 ，而到该地旅游的老年人的人数为 ，所
以D错误．
故选：ABC.
10．（2023·广东·校联考模拟预测）已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则
以下结论中，正确的是（ ）
A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%
B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%
C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%
D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%
【答案】BC
【分析】不妨设共有100名老人，则根据题意作出表格，根据表格数据逐项进项判断即可.
【详解】不妨设共有100名老人，则根据题意可作出如下表格：
需要陪同 不需要陪同 合计
75岁及以上 18 42 60
75岁以下 4 36 40
合计 22 78 100
所以如果从该养老院随机抽取一位老人，抽到的老人年龄在75岁以下的概率为40%，故选项 错误；
抽到的老人需要有人全天全天候陪同的概率为22%，故选项 正确；
抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%，故选项 正确；
抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为42%，故选项 错误，
故选： .
11．（2023·重庆·统考二模）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩 满分为 分，成绩都是整数
中抽取一个样本量为 的样本，其中男生成绩数据 个，女生成绩数据 个，再将 个男生成绩样本数据分为
组： ， ， ，绘制得到如图所示的频率分布直方图 同一组的数据用
该组的中间值代表 则下列说法中正确的是（ ）A．男生成绩样本数据的平均数为
B．估计有 的男生数学成绩在 分以内
C．在 和 内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为
D．若男生成绩样本数据的方差为 ，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为 和 ，则总样本的方差
为
【答案】AC
【分析】利用频率分布直方图及相关数字特征的计算公式可判断AB，根据古典概型概率公式可判断C，利用按比
例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系进行求解判断D.
【详解】对于选项A，根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数
，故A正确；
对于选项B，根据频率分布直方图有，男生数学成绩在 分以内的人数的频率为
，所以估计有 的男生数学成绩在 分以内，故B错误；
对于选项C，根据频率分布直方图有，在 和 内的男生人数分别为6人、2人，随机抽取两个进行调
查，则调查对象来自不同分组的概率为 ，故C正确；
对于选项D，设女生成绩样本数据的平均数为 ，则总样本的平均数 ，
所以总样本的方差为 ，故D错误.
故选：AC.
12．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会
堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的
关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是 ，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这
10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否
互不影响，则（ ）
A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是
C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是
【答案】ABD
【分析】首先设乙的得分为 ，则 的所有可能取值为0，10，25，40，分别求出对应的概率，即可得到
，即可判断A，B正确，记“甲得分为正数”为事件 ，“乙得分为正数”为事件 ，根据独立重复试
验概率公式即可判断C错误，根据独立事件概率公式即可判断D正确.
【详解】A，B选项：设乙的得分为 ，则 的所有可能取值为0，10，25，40，
且 ，
， ， ，
因此 ，故A，B正确；
C，D选项：记“甲得分为正数”为事件 ，“乙得分为正数”为事件 ，
则 ， ，
， ，
因此甲得0分的概率是 ，
甲、乙的得分都是正数的概率是 ，
故C错误，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2023·安徽安庆·统考二模）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的
次品率为______.
【答案】5%
【分析】令A表示“取到的是一件次品”， ， ， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，设
，由全概率公式即可求解.
【详解】解：令A表示“取到的是一件次品”， ， ， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，
显然 是样本空间S的一个划分，且有 ， ， .由于 ，
，设 ，
由全概率公式得：
，
而 ，故 .
故答案为：5%.
14．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）2022年神州十五号载人飞船发射任务都取得圆满成功，神州十四号航天员
与神州十五号航天员首次完成空中会师，现有航天员甲､乙､丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空
站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功任务结束，10分钟内不能
完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次.已知甲､乙､丙10分钟内试验成功的概率分别为 ， ， ，每
个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲､乙､丙顺序派出，则试验任务成功的概率为___________.
【答案】
【分析】把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公
式计算作答.
【详解】试验任务成功的事件 是：甲成功的事件 ，甲不成功乙成功的事件 ，甲乙都不成功丙成功的事件
的和，事件 ， ， 互斥， ， ， ，
所以试验任务成功的概率 .
故答案为： .
15．（2023·四川南充·统考二模）设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ______．
【答案】 ##
【分析】由概率的性质结合对称性求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 .
则 .
故答案为：
16．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，
某学校制订了“生活､科技､体育､艺术､劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球､足球､排球､乒乓球､羽毛
球”五门课程供学生选修.甲､乙两名同学各从体育课程中选择一门课程，则两人选择课程相同的概率是
___________.
【答案】 ##0.2
【分析】根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】体育课程开设了“篮球､足球､排球､乒乓球､羽毛球”五门课程供学生选修，
甲､乙两名同学各从中选择一门课程，基本事件总数为 ，
两人选择课程相同的包含的基本事件数为 ,
所以两人选择课程相同的概率 ，
故答案为： .
四、解答题
17．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．
某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名
学生的测试成绩，按照 ， ， ， 分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用 表示这10名学生中恰有k
名学生的成绩在 上的概率，求 取最大值时对应的k的值；
(3)从测试成绩在 的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至
少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、
乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为 ，求 的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意，由中位数的意义列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意可得，当 取最大值时，则 ，
然后求解，即可得到结果；
（3）由题意可得，甲乙分别进入复赛的概率，然后求得 的概率，即可得到分布列与期望.
【详解】（1）因为前两个矩形的面积之和为 ，前三个矩形面积为
，
所以中位数在 之间，设中位数为 ，
则 ，解得 ，故中位数为 .（2）由题意可得，成绩在 上的概率为 ，则不在 的概率为 ，
所以 ，即有 ， ，
当 取最大值时，则 ，
即 ，
解得 ，即 ，
且 ，所以 .
（3）由题意可知，从6道题中选4题共有 ，
因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有 ，
所以甲能进复赛的概率为 ，则甲不能进复赛的概率为 ；
因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有 ,
所以乙能进复赛的概率为 ，则乙不能进复赛的概率为 ；
依题可得， 的可能取值为 ，
所以 ， ， ，
则分布列为:
则 .
18．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民
警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在
意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）
如下：第二 第四 第六
日期 第一天 第三天 第五天 第七天
天 天 天
日期代码 1 2 3 4 5 6 7
杯数 4 15 22 26 29 31 32
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断， 与 哪一个更适宜作为y关于x的回归
方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超
过35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量
X的分布列.
参考公式和数据：其中
回归直线方程 中，
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
【答案】(1)图见解析， 更适宜作为 关于 的回归方程模型；
(2) ，到第9天才能超过35杯；(3)分布列见解析.
【分析】(1)根据散点图趋势即可判断；
(2)利用非线性回归方程转化为线性回归方程的方法求解；
(3)根据超几何分布求分布列.
【详解】（1）
根据散点图，知 更适宜作为 关于 的回归方程模型；
（2）令 ，则 ，
由已知数据得 ，
，
所以 ，
故 关于 的回归方程为 ，
进而由题意知，令 ，整理得 ，即 ，
故当 时，即到第9天才能超过35杯；
（3）由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量 的可能取值为
， ，
， ，
则随机变量 的分布列为0 1 2 3
【提能力】
一、单选题
19．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬
奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．小张同学要从24个节气中随机
选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出从24个节气中选择4个节气的情况，和4个节气中含有“立春”的情况，利用古典概型求概率公式
进行求解.
【详解】从24个节气中选择4个节气，共有 种情况，
这四个节气中含有“立春”的情况有 种情况，
故这4个节气中含有“立春”的概率为 .
故选：C.
20．（2023·云南昆明·统考一模）某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天
可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三
次作答的得分情况如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ ）A．该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B．该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C．该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D．该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
【答案】D
【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断．
【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：
1号员 2号员 3号员 4号员 5号员 6号员 7号员 8号员 9号员 10号员
工 工 工 工 工 工 工 工 工 工
第一次作
65 80 85 80 90 90 90 85 90 90
答
第二次作
80 85 90 90 95 90 95 90 95 95
答
第三次作
85 90 95 95 100 100 100 95 100 100
答
对于A：第一次作答的平均分为： ，
第二次作答的平均分： ，
第三次作答的平均分： ，
故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；
对于B：第一次作答的正确率： ，
第二次作答的正确率： ，
第三次作答的正确率： ，
故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；
对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差： ，
该单位职工一天中第二次作答得分的极差： ，
故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；
对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：，
该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：
，
故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，
故选：D．
21．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现
该100名患者中有20名的年龄位于区间 内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间
内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 内，则此人患该疾病的概率为
（ ）
A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007
【答案】A
【分析】利用条件概率公式计算即可.
【详解】设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 内为事件A，此人患该疾病为事件B，则
.
故选：A.
22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超
过5”的概率记为 ”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为 ，“向上的点数之积为偶数”的概率记为 ”，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用列举法结合古典概型的公式求出 ， ， 即可求解．
【详解】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：共有36种等可能的结果，
其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，
“向上的点数之和为奇数”的有18种情况，
“向上的点数之积为偶数”的有27种情况，
所以“向上的点数之和不超过5”的概率 ，
“向上的点数之和为奇数”的概率 ，
“向上的点数之积为偶数”的概率 ，
因为 ，
所以 ，
故选：A．
23．（2023·全国·模拟预测）甲、乙两同学进行棒球比赛，约定连胜两局者胜出，比赛结束，最多比赛五局，若前
四局不分胜负，则第五局胜者获胜，比赛结束．已知甲每局获胜的概率为 ，每局比赛没有平局，结果相互独立，
则甲第一局获胜并最终获得胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，甲第一局获胜并最终获得胜利，可能比赛两局、四局或五局，结合独立事件的概率乘法公式
和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】由题意，甲第一局获胜并最终获得胜利，可能比赛两局、四局或五局，当比赛两局时，则甲每局比赛的结果依次为胜胜，获胜的概率 ；
当比赛四局时，则甲每局比赛的结果依次为胜负胜胜，
则获胜的概率 ；
当比赛五局时，则甲每局比赛的结果依次为胜负胜负胜，
获胜的概率 ，
故甲第一局获胜并最终获得胜利的概率为 ．
故选：D.
24．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）如图（1）反映了我国2016-2021年全国R&D经费及投入强度情况；图（2）
反映了我国2016-2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理
的是（ ）
A．2019-2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快
B．2016-2021年，我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长
C．2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元
D．2016-2021年，我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及
【答案】D
【分析】根据统计图读取相关数据，再逐项判断各选项即可.
【详解】对于A，由图(1)可得2017年我国R&D经费与GDP之比比2016增长0.02%，
2018年我国R&D经费与GDP之比比2017增长0.02%，
2019年我国R&D经费与GDP之比比2019增长0.10%，
2020年我国R&D经费与GDP之比比2020增长0.175%，
2021年我国R&D经费与GDP之比比2021增长0.03%，A正确；由统计图(1) 2016-2021年，我国R&D经费总量（单位：亿元）依次为 ，
所以2016-2021年期间，我国R&D经费总量逐年增加，
由统计图(2) 2016-2021年，我国基础研究经费（单位：亿元）依次为
，
所以2016-2021年期间，我国基础研究经费逐年增加，B正确；
所以2016-2021年，我国R&D经费总量的平均值为 （亿元），
所以2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元，C正确；
由图(2) 2016-2021年我国基础研究经费的中位数为 （亿元），
2016-2021年我国基础研究经费占R&D经费投入比重的中位数为 ，D错误；
故选：D.
25．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 和 ，且已知
，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1
C．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组： ；乙组： ，若这两组数据的第30
百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则
【答案】C
【分析】对于A项，由分层抽样的方差公式判断即可；对于B项，运用 越大相关性越强可判断；对于C项，由
正态分布的对称性可求得结果；对于D项，运用百分位数计算公式即可求得结果.
【详解】对于A项，总体方差与样本容量有关，故A项错误；
对于B项，相关性越强， 越接近于1；故B项错误；
对于C项，若 ，则 ，所以 ，故C项正确；
对于D项，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为 ，乙组：第30百分位数为 ，第50百分位数为，
所以 ，解得： ，故 .故D项错误.
故选：C.
26．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到
了广大市民的认可．某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手
通过决赛后将参加该市2023年网络春晚．已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙
通过的概率依次为 ， ， ，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可求得答案.
【详解】设该小组三人能同时进入决赛为事件A，
则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过，
则 ,
故选：A．
二、多选题
27．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．
他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为
36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
【答案】BCD
【分析】首先利用正态分布，确定 和 ，再结合正态分布的对称性，和 的原则，即可求解.
【详解】A.由条件可知 ， ，根据对称性可知 ，故A错误；B. , ，所以 ，故B正确；
C. = ，所以 ，故C正确；
D. ， ，所以 ，故D正确.
故选：BCD
28．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知 ， ，随机变量 ， 的分布列如下表所示：
0 1 0 1
下列说法中正确的是（ ）A．若 且 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】根据期望与方差公式表示出 、 、 、 ，再利用作差法结合各选项所给条件判断即可.
【详解】依题意 ，
，
则 ，
又 ，
，
所以 ，，
所以
，
对于A：因为 且 ，所以 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，由于无法确定 与 的大小关系，
即无法判断 的正负，故无法确定 与 的大小关系，故B错误；
对于C：因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，即 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，但是无法确定 与 的大小关系，
即无法判断 的正负，故无法确定 与 的大小关系，故D错误；
故选：AC
29．（2023·全国·模拟预测）某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组
有8名选手，其中4名男生，4名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人， 表示事件
“从甲组抽取的是男生”， 表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则
（ ）
A． ， 不是对立事件 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据对立事件的概念可判断A错误；根据互斥事件的加法公式求出 可判断B正确；根据条件概率公式计算可判断C正确；D错误．
【详解】A选项：根据对立事件的概念可知， ， 是对立事件，A错误；
B选项：由题意可知， ，B正确；
C选项：当 发生时，从乙组抽取1人有9种可能情况，其中抽取的不是1名女生有5种可能情况，则
，C正确；
D选项：当 发生时，从乙组抽取1人有9种可能情况，其中抽取的是1名女生有5种可能情况，则 ，
D错误．
故选：BC
30．（2023·辽宁·校联考模拟预测）某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上
有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或
者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都
能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率
的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P，第四次投完实心
1
球后恰好胜利的概率为P，则（ ）
2
A．
B．
C．
D．若 ，则p的取值范围为
【答案】AC
【分析】对四个选项一一判断：
对于A：利用概率的范围直接判断；对于B：利用概率的乘法直接求解；对于C：根据游戏规则利用概率乘法直接
求解；对于D：分别表示出 ，列不等式求出p的取值范围.
【详解】对于A：小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为1－6p，故 ，正确；对于B：小张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关包含“第一次未投中区域①或者②，第二次投中区域①或
者②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则概率 ，错误；
对于C：第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则游戏胜利需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域
④，因此 ，正确；
对于D：
，令
2p(12p－1)(18p－5)＞0，得 或 ，又 ，所以 ，错误．
故选：AC．
三、填空题
31．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）设 为随机变量，从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条，当两条棱
相交时， ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 为两条棱上两点（不在同一
条棱上）间距离的最小值，则随机变量 的数学期望为_______．
【答案】
【分析】作出图形，分析可知随机变量 的可能取值有 、 、 ，求出随机变量 在不同取值下的概率，进而可
求得 的值.
【详解】在棱长为 的正方体 中，如下图所示：当两条棱相交时， ，与每条棱相交的棱有 条，即 ；
当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为 或 ，
其中，与棱 平行且距离为 的棱为 、 ，与棱 平行且距离为 的棱为 ；
当两条棱异面时， ，与棱 异面的棱为 、 、 、 .
所以， ， ，
因此， .
故答案为： .
32．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知 为正四棱锥，从O，A，B，C，D五点中任取三点，则取到
的三点恰好在同一个侧面的概率为_________．
【答案】 ##0.4
【分析】利用古典概型的概率计算公式 ，分析出符合题意的基本事件总数和个数，即可求解.
【详解】解：从O，A，B，C，D五点中任取三点，
有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共10种不同取法，
取到的三点恰好在同一个侧面有 ， ， ， ，共4种情况，由古典概型的概率计算公式知，所求概率为 ，
故答案为： 或0.4.
33．（2023·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该
数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子
数列”．现在从该数列前21项中，按照奇数与偶数这两种类型进行分层抽样抽取6项，再从这6项中抽出2项，
则至少含有一项是偶数的概率为______．
【答案】 ##0.6
【分析】根据斐波那契数列的递推关系，奇数+奇数=偶数、奇数+偶数=奇数，该数列项的奇偶性以3为周期，再
根据分层抽样性质及对立事件的概率公式求概率即可.
【详解】由题意得，斐波那契数列的前21项中偶数项的个数为 ，奇数项的个数为 ，
所以奇数与偶数的个数之比为 ，
所以采用分层抽样抽取6项中奇数有4项，偶数有2项，
所以从这6项中抽出2项，至少含有一项是偶数的概率 ．
故答案为：
34．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比
如：二进制数 化为十进制的计算公式如下 ，若从二进制数 、 、 、
中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为__________．
【答案】 ##0.25
【分析】将二进制转化为十进制，再计算概率即可.
【详解】 ； ； ； ，
十进制数大于2的概率为 .
故答案为：四、解答题
35．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费 商场在春节期间推出“你摸
球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的 个红球和 个黑球，乙盒内有大小相同的 个
红球和 个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取 个球．具体规则如下：摸出 个红球记为
一等奖，没有红球记为二等奖， 个红球记为三等奖， 个红球记为鼓励奖.
(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为 折、 折、 折和 折．记随机变量 为获得各奖次的折扣率，
求随机变量 的分布列及期望 ；
(2)某一时段内有 人参加该促销活动，记随机变量 为获得 折及以下资格的人数，求 ．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列，进而求出离散型随机变量的期望；
（2）根据随机变量 服从二项分布，利用二项分布概率公式即可得解．
【详解】（1）设事件 为“从甲盒中取出i个红球”，事件 为“从乙盒中取出 个红球”，
则 ， ,
记 为取出的 个球中红球的个数，
则 ，
，
，，
由题意得 的分布列为
折 折 折 折
则 ；
（2）由（1）可知，获得 折及以下资格的概率为 ．
由题意得 ，则 .
36．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）某市为了解新高三学生的数学学习情况，以便为即将展开的一轮复
习提供准确的数据，在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取
名，根据统计结果，将他们的数学成绩（满分 分）分为 ， ， ， ， ，
， ， 共 组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若 表示事件“从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于 分”，估计事件 发生的概
率；
(2)利用所给数据估计本次数学考试的平均分及方差（各组数据以其中点数据代表）．
参考数据： ， ， ， ， ，， ， ，其中 为第 组的中点值．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【分析】（1）由频率和为 ，计算出 ，进而根据频率分布直方图可得事件 发生的概率；
（2）分别根据平均数和方差的计算公式代入求解即可．
【详解】（1）
从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于 分的概率为
.
（2）本次数学考试的平均分为
本次数学考试的方差为
.
37．（2023·贵州·校联考二模）某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，
然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位；分），制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这50名职工考核成绩的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数 （精确到0.01）；
(2)若该单位职工的考核成绩 服从正态分布 ，其中“ 近似为50名职工考核成绩的平均数 近似为
样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？
（结果四舍五入保留整数.）
附参考数据与公式： ， ，则 ，
， .
【答案】(1)平均数为84.80；中位数84.67（分）
(2)32名.
【分析】（1）直接代入平均数公式与中位数性质即可求解；
（2）根据正态分布的性质求出 ，再乘以200即可求解.
【详解】（1）依题意，这50名职工考核成绩的平均数为
由频率分布直方图得 ，
，
中位数 （分）
（2）由题意得 ，
，
，
（名），
估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有32名.
38．（2023·北京丰台·统考一模）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度
越高．某平台计算TPI的公式为： ，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的
4个等级：TPI 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：
(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为
，求 的分布列及数学期望 ；
(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为 ，将
2022年同期TPI依次记为 ，记 ， ．请直接写出 取得最大值时 的值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；
（2）结合题意先求出 的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；
（3）结合题意先求得 ，进而即可求解.
【详解】（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为 .（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
数学期望 .
（3）由题意， ，
，
，
，
，
，
，
所以 ，
所以 取得最大值时， .
