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专题 2.1 一元二次方程与公共根、整数根、
整体代入
【例题精讲】
【例1】已知关于 的方程 ．
（1）试判断该方程根的情况，说明理由；
（2）若该方程与方程 有且只有一个公共根，求 的值．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下：
△ ．
，
，即△ ，
无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）设两个方程的一个公共根为 ，
则 ，
② ①，得： ，
解得： ， ．
当 时，有 ，
解得： ，
，
符合题意；当 时， ，
不符合题意，舍去．
的值为 ．
【例2】关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选取一个合适的 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．
【解答】（1）证明： △ ，
，
方程有两个实数根；
（3）解：取 时，则 ， ，
故方程为 ，
，
解得 或 ．
【例3】已知 是方程 的一个根．求：
（1） 的值；
（2）代数式 的值．
【解答】解：（1） 是方程 的一个根，
，
，；
（2）原式
．
【题组训练】
一．公共根
1．方程 和 有一个公共根，则 的值是 2 ．
【解答】解： 方程 和 有一个公共根，
，
，
解得， ，
当 时，
．
故答案是：2．
2．若方程 和 只有一个公共根，则 的值是多少？【解答】解：设公共根为 ，则 ．
① ②，得 ，
当 时，两方程完全一样，不合题意；
当 时， ，则 ．
答： 的值是1．
3．若两个方程 和 只有一个公共根，则
A． B． C． D．
【解答】解：设公共根为 ，则 ．
① ②，得 ，
当 时，方程可能有两个公共根，不合题意；
当 时， ．
故选： ．
4．若关于 的方程： 和 有且只有一个公共根，则 2 或
．
【解答】解：解方程 得 ， ，
把 代入 得 ，解得 ；
把 代入 得 ，解得 ，综上所述， 的值为2或 ．
故答案为：2或 ．
5．已知三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰
有一个公共实数根，则 的值为 3 ．
【解答】解：设公共实数根为 ，
则 ， ， ，
三式相加得 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以原式
．
故答案为3．
6．已知关于 的一元二次方程 与 有一个公共实数根，则．
【解答】解： 与 有一个公共实数根，
有一个实数根，
，
把 代入 得：
．
故答案为： ．
7．有三个方程：① ；② ；③ ，它们
的公共根是
A．5 B． C．1 D．以上都不是
【解答】解： ，
，
或 ，
， ，
把 ， 代入②③， 能使方程左右相等，
它们的公共根是5，
故选： ．
9．已知关于 的两个一元二次方程：方程①： ；方程②：．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；
（3）若方程①和②有一个公共根 ．求代数式 的值．
【解答】解：（1） 方程①有两个相等实数根，
且△ ，即 ，则 ，解此方程得
， ，
而 ，
，
当 时，方程②变形为： ，解得 ， ；
（2） △ ，
无论 为何值时，方程②总有实数根，
方程①、②只有一个方程有实数根，
此时方程①没有实数根，
（3）设 是方程①和②的公共根，
③，
④，
由 ③ ④ 得 ⑤，
由④得： ⑥，
将 ⑤ 、 ⑥ 代 入 ， 原 式
．10．已知关于 的两个一元二次方程：
方程①： ；
方程②： ．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求： 的值
（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
（3）若方程①和②有一个公共根 ，求代数式 的值．
【解答】解：
（1） 方程①有两个相等的实数根，
，
则 ，△ ，
则 ，
， ，
，
；
（ 2 ） △
，
无论 为何值时，方程②总有实数根，
方程①、②只有一个方程有实数根，
此时方程①没有实数根．
（3）根据 是方程①和②的公共根，
③， ④，③ 得： ⑤，
⑤ ④得： ，
代数式 ．
故代数式的值为5．
二．整数根
11．关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程
也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是
A． 是正数， 是负数 B．
C． 是正数， 是负数 D．
【解答】解：设方程 的两根为 、 ，方程 的两根为 、
．
关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程
也有两个同号非零整数根，
， ，
故选项 与 说法均错误，不符合题意；
关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程
也有两个同号非零整数根，
， ，、 不能同时为2，否则两个方程均无实
数根），
故选项 说法错误，不符合题意；选项 说法正确，符合题意；
故选： ．
12．关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则整数 的值为
．
【解答】解：由题意可知：△
，
，
或 ，
由题可知： ，
故答案为：
13．已知：关于 的一元二次方程 ．
（1）求方程有实数根的实数 的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的正整数根，求出此时 的整数值．
【解答】，解：（1）由题意可知： ，
△
，△ ，
故 ，方程总有实数根；
（2） ，
，
或 ，
方程有两个不相等的正整数根，
．
15．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若此方程总有两个相等的实数根，求 的值．（用含 的代数式表示）；
（2）当 时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的 的值，并求此时
方程的根．
【解答】解：（1）根据题意得△ ，
所以 ；
（2）当 时，原方程变形为 ，
方程有两个不相等的根，
△ ，
即 ，
当 时，方程变形为 ，
方程有两个整数根，
即 ， ．16．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程一定有实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数 的值．
【解答】（1）证明： ，
△
，
方程一定有实数根；
（2） ，
， ，
当整数 取 ， 时， 为整数，
方程有两个不相等的整数根，
整数 为 ，1，2．
17．已知关于 的方程 有两个整数根，且 为正整数，则符合条件的所
有正整数的和是
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：根据题意得△ ，
解得 ，
为正整数，
为1、2、3，当 时，△ ，所以方程的根为无理数，不合题意舍去；
当 时，方程化为 ，方程有两个整数解；
当 时，方程化为 ，方程有两个相等整数解；
所以符合条件的所有正整数 的和为 ．
故选： ．
18．已知关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则 的值为
A．2 B．1 C． D．2或1
【解答】解： 方程 是一元二次方程，
，
，
，
或 ，
方程有两个不相等的正整数根，
， 是正整数，
．
故选： ．
19．已知二次多项式 ．
（1）当 时，该多项式的值为 ；
（2）若关于 的方程 ，有两个不相等的整数根，则正数 的值为 ．【解答】解（1）当 时， ，
故答案为 ；
（2）设 ， 是方程两个不相等的整数根，
则 ， ．
， 均为整数，
△ 为完全平方数，
设 为整数，且 ，
则 ．于是， ，
由于 ， 奇偶性相同，且 ，
或 或 ，
解得 或 （舍去）或 ，
经检验 ， 符合要求，
或 ，
故答案为2或5．
20．已知关于 的方程
（1）求证：无论 取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数 的值；
（3）若一元二次方程 满足 ，求 的值．【解答】解：（1）证明：当 ，即 时，原方程为 ，
解得： ；
当 ，即 时，△ ，
方程有实数根．
综上可知：无论 取何值，此方程总有实数根．
（2） 方程有两个整数根，
， ，且 ，
为整数， 为正整数，
或 ．
（3）由（2）得 ， ，且 ，
，
解得： 或 ，
经检验 或 是原方程的解．
故 的值为 或0．
三．整体思想
21．若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 6 ．
【解答】解： 是一元二次方程 的一个根，
，
，
，故答案为：6．
22．已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值为
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解答】解： 是一元二次方程 的一个根，
，
，
．
故选： ．
23． 是方程 的根，则式子 的值为
A．2018 B．2019 C．2021 D．2022
【解答】解： 是方程 的根，
，
即 ，
．
故选： ．
24．若 是方程 的一个根，则 的值为
A．2020 B． C．2019 D．
【解答】解： 是方程 的一个根，
，， ，
．
故选： ．
25．若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值为
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【解答】解：将 代入方程，得： ，
则 ，
所以原式
，
故选： ．
26．若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则一元二次方程
必有一根为
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
【解答】解：对于一元二次方程 ，
设 ，
所以 ，
而关于 的一元二次方程 有一根为 ，所以 有一个根为 ，
则 ，
解得 ，
所以一元二次方程 必有一根为 ．
故选： ．
27．已知 是方程 的一个根，则 的值为
A． B．2022 C．2021 D．无法计算
【解答】解： 是方程 的一个根，
，
即 ， ，
则 ．
故选： ．
28．已知 是方程 的一个根．则 的值为
A．4 B．6 C． D．
【解答】解：把 代入方程 ，得
，
所以 ，
则 ．故选： ．
29．若 是方程 的解，则 ．
【解答】解： ，
是方程 的解，
，
原式
．
故答案为： ．
30．已知实数 是元二次方程 的根，求代数式 的值为
．
【解答】解： 是方程 根，
，
，
原式
．
故答案是： ．
31．若 是方程 的根，则代数式 的值是 202 3 ．【解答】解： 是方程 的根，
，
，
．
故答案为：2023．
