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专题 15 一元二次方程的根与系数的关系(重难题型)
1．已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（
）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
2．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．定义新运算“ ”：对于任意实数a，b，都有 ，例如
．若 （k为实数）是关于x的方程，则它的
根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个根，若 、 、5为等腰
三角形的边长，则 的值为（ ）
A．－4 B．8 C．－4或－8 D．4或－8
5．若x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
6．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，且
， ，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
7．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（ ）
A．0 B．2020 C．4040 D．40428．已知 ， 是方程2 +2x-3=0的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知关于 的方程 的根为 ， ，则 的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
10．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
11．设a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，则a2+ab＋2a＋b的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．-1 D．-2
12．已知 ， 是一元二次方程 两个根，则 的值为（ ）
A． B． ． C． D．
13．已知关于 的一元二次方程 ，当 时，该方程解的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根 B．没实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
14．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x ，x ，则x 2+3x +x x +1的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．10 B．9 C．8 D．7
15．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
16．如果方程 的两个根为 ， ，那么 的值为（ ）
A．7 B．6 C． D．0
17．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
18．关于x的方程 （a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（
）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根一个负根 D．无实数根
19．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x ，x ，且 ，则k的值为（
1 2
）
A．0 B．2 C．4 D．8
20．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
21．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值是（
）
A．81 B．61 C． D．
22．若 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(
)
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
23．已知关于x的方程 的两个根互为相反数，则a的值是
（ ）
A．5 B．-3 C．5或-3 D．1
24．设m、n是一元二次方程 的两个根，则 （ ）
A． B．1 C． D．17
25．等腰三角形的一边长是 ，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
26．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
27．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另
一个根大 ，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于 的方程 是
常数， 是“邻根方程”，令 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A． B．
C． D．
29．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根且 ，则
的值为（ ）．
A．0或1 B．0 C．1 D．
30．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根
31．若一元二次方程 的两个根分别为 ，则 的值为（
）
A．-4 B．-2 C．0 D．1
32．设 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
33．关于x的一元二次方程 的两实数根分别为 、 ，且 ，
则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
34．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
35．关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
36．已知关于 的一元二次方程 有两个不等的实数根 ， ．
若 ，则 的值为______．
37．若方程 的一个根是3，那么另一个根是_______
38．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是
__________．
39．设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 _______．
40．已知 、 是方程 的两个实数根，则代数式
______．
41．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
42．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围：
（2）若 ，求 的值．
43．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x 3x ＋x x 3＝－48，求k的值．
1 2 1 2
44．关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围：
（2）是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
45．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使得等式 成立?如果存在，求出 的值；如果不存
在，请说明理由．
46．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x ，x 满足（x ﹣1）（x ﹣1）＝6，求k的值．
1 2 1 247．关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 ， 是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
48．已知 是方程 的两根，求：
（1）（x +3）（x +3）的值；
1 2
（2） 的值．49．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求 的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求 的值并求出方程的另一根．
50．已知关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为 、 ，且 ，求 的取值范围．51．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：对于任意实数a，方程恒有两个实数根
（2）设 ， 是该方程的两个根，若 ，求a的值．
