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专题03 一元二次方程（重点）
一、单选题
1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义可判断A，根据分母中有未知数，不是整式方程，可判断B根据二次项
系数为a是否为0可判断 C，根据二次项系数是0，不是一元二次方程，可判断D
【解析】解：A、∵ ，
∴ ，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当 =0，b≠0时 ，一元一次方程，当 时
是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故选择：A．
【点睛】本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．
2．下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可．
【解析】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
1C. ，故该选项正确；
D. ，故该选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查多项式的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．
3．以x＝ 为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0
【答案】C
【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．
【解析】解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为﹣b，常数项为c，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式 解方程时，一定要弄清楚
该公式中的字母a、b、c所表示的意义．
4．方程 的根是（ ）
A．-1，3 B．1，-3 C．0，-1，3 D．0，-1，-3
【答案】D
【分析】根据因式分解法求解即可．
【解析】由题可得， 或 或 ，
解得： 或 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
5．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（ ）；
A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法
B．因式分解法、公式法、公式法、配方法
C．配方法、因式分解法、配方法、公式法
D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法
2【答案】D
【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②
可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公
式法求解比较简便.
【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；
方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；
方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；
方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.
故选D.
【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.
6．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”受广大群众的喜爱，某官方旗舰店首日上架3000个销售，很快就
被消费者一抢而空，为了满足消费者的需求，上架个数逐日增加，到第三天共上架了10920个“冰墩墩”，
设平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设平均增长率为x，根据题意，分别求得三天的上架个数，根据到第三天共上架了10920个“冰
墩墩”，列出方程即可．
【解析】解：设平均增长率为x，根据题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7．一元二次方程 的两个根为 ，则 的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【分析】利用方程根的定义可求得 ，再利用根与系数的关系即可求解．
【解析】 为一元二次方程 的根，
3，
．
根据题意得 ， ，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关
系 ， 是解题的关键．
8．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是（ ）．
A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．
【答案】A
【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．
【解析】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，
分解因式得：（b-4）（b+7）=0，
解得：b=4或-7，
当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，
则b=4．
故选A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正
方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆
盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部
分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
4【答案】B
【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，
即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方
程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的
面积即可得出答案．
【解析】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得： ，
（②-①）÷3，得：y-x+1=0，
∴x=y+1③．
将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，
整理，得：y2-2y-15=0，
解得：y =5，y =-3（舍去），
1 2
∴x=6．
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+
（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
10．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
5由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2-4a≥0，故①正确；
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0，
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4a＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0，
∴c（ac+b+1）=0，
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，
故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
则由求根公式可得：x= ，
0
∴2ax+b=± ，
0
∴b2-4ac=（2ax+b）2，
0
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
二、填空题
11．方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】将方程变形后，直接开平方求解即可．
【解析】解：
6∴
解得： ， ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．若关于x的一元二次方程 的二次项系数是 ，则a的值为 ．
【答案】-2
【分析】将方程化为一般形式，即可求解．
【解析】解：将 化为一般形式得 ，
∴该一元二次方程的二次项系数为 ．
由题意得 ，解得 ．
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程的相关定义．将方程化为一般形式是解题关键．
13．关于 的一元二次方程 的一个根为零，则 ．
【答案】
【分析】先把 代入方程 得 ，然后解关于 的一元二次方程，
再根据一元二次方程的定义取舍即可．
【解析】解：把 代入方程 得 ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
也考查了一元二次方程的定义．
714．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的最大整数值为 ．
【答案】0
【分析】根据方程 有两个不相等的实数根得到 且 ，即
且 ，求出 的取值范围即可求出 的最大整数值．
【解析】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
且 ，即 且 ，
且 ，
的最大整数值为0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟记一元二次方程有两个不相等的实数根，
是解决问题的关键．
15．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，
解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．
【答案】﹣2
【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．
【解析】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；
可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，
小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，
解得p＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣ ，两根之积等于
．”是解题的关键．
16．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，
第一轮传染后患流感的人数共有 人．
【答案】22
【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x
8（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可.
【解析】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x
（x+1）]人患流感，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，
解得：x＝10，x＝﹣12（舍去），
1 2
∴2（1+x）＝22．
故答案为22．
【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
17．如图是一张菱形纸片， ， ，点 在边 上，且 ，点 在 边上，把
沿直线 对折，点 的对应点为点 ，当点 落在菱形对角线上时，则 ．
【答案】 或 ．
【分析】分情况讨论∶①当点 落在菱形对角线 上时，根据菱形的性质和折叠的性质先证明
，根据折叠的性质可得 ，进一步求解即可；②当点 落在菱
形对角线 上时，根据菱形的性质和折叠的性质可知 是等边三角形，可得 ．
【解析】解∶分情况讨论∶①当点 '落在菱形对角线 上时，如图所示∶
在菱形 中， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
根据折叠，可知 ， ，
∴ ，
9∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ．
②当点 '落在菱形对角线 上时，如图所示∶ ．
在菱形 中， ，
∴ ，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为∶ 或 ．
10【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质， 等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质
是解题的关键，注意分情况讨论．
18．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这
样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
【答案】②③④
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当 满足 时，有 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根
之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当 或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解析】①解方程 ，得 ，
，
方程 不是“倍根方程”．故①不正确；
② 是“倍根方程”，且 ，
因此 或 ．
当 时， ，
当 时， ，
，故②正确；
③ ，
11，
，
，
因此 是“倍根方程”，故③正确；
④方程 的根为 ，
若 ，则 ，
即 ，
，
，
，
，
，
若 ，则 ，
，
，
，
12，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根
方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三、解答题
19．用适当方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
(5)
(6) ，
【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．
13【解析】（1）解：
直接开平方可得： ，
或
∴原方程的解为： ， ；
（2）解：
因式分解得： ，
∴原方程的解为： ， ；
（3）解： ，
平方差因式分解得： ，
整理得： ，
∴原方程的解为： ， ；
（4） ，
提取公因式可得： ，
整理得： ，
∴原方程的解为： ， ；
（5）解：∵方程 ，
，
∴原方程的解为： ；
（6） ，
，
14因式分解得： ，
∴原方程的解为： ，
【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．
20．阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下：
解： ．
①
②
③
④
⑤
⑥
问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：_____________；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【答案】（1）⑤；（2）开方有两个答案而只写了一个；（3）正确解答过程见解析．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可；
（2）根据一元二次方程的解法分析错误原因即可；
（3）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可．
【解析】解：（1）根据一元二次方程的解法可以判断出第⑤步开始出现了错误．
故答案为：⑤．
（2）根据一元二次方程的解法分析⑤的错误原因是：开方有两个答案而只写了一个．
故答案为：开方有两个答案而只写了一个．
（3）正确解答过程如下： ．
15【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
21．已知关于 的方程 .
（1）当 为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当 为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
【答案】(1)m=3;(2) ;(3) 且
【分析】（1）令二次项为0，即 时求解即可；
（2）根据根的判别式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；
（3）根据△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，然后求解即可.
【解析】（1）∵方程 只有一个实数根， ，解得
（2）∵方程 有两个相等的实数根， ，
，解得
（3）∵方程 有两个不相等的实数根，
且 ， 且 ，解得 且 .
【点睛】本题考查了根的判别式．解题的关键是根据根的判别式计算的结果能分3种情况讨论．
22．已知关于x的一元二次方程 ．
16(1)试说明：对于任意实数 ，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于 ，另一根小于 ，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据一元二次方程判别式为 即可解答；
（2）解方程，求得 ， ，根据题意得到 ，解不等式即可．
【解析】（1）证明：∵关于x的一元二次方程 ，
∴ ，
∴对于任意实数 ，该方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的取值范围 ．
【点睛】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．
23．已知 ， 是方程 的两根，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
17(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意可得： ， ，然后将原式化为 ，再整体代入计算即可；
（2）根据 ，整体代入计算后开平方根
求得 的值，将原式化为 ，再整体代入计算即可；
（3）将原式化为 ，再整体代入计算即可；
（4）由（2）知 的值，再开算术平方根即可．
【解析】（1）解：∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（2）∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
18∴ 的值为 ；
（3）∵
，
∴ 的值为 ；
（4）由（2）知：
，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，
则 ， ．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
24．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
【答案】这个两位数为36或63.
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．
【解析】设个位数字为 ，则十位数字为 .
得 ，
∴这个两位数为36或63.
【点睛】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数=10×十位数字+个位数字，解题的关键是能
够表示这个两位数．
25．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若
圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
19【答案】5
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为 ，则最大数
为 ，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．
【解析】解：设这个最小数为 ．
根据题意，得 ．
解得 ， （不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最
小数的差值是解题的关键．
26．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售 品牌头盔，
此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上
涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该
品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】50元
【分析】设该品牌头盔的实际售价为 元，则此时销量为 个，根据利润 单个利润 数
量列出方程求解即可．
【解析】解：设该品牌头盔的实际售价为 元，
依题意，得： ，
∴ ，
20解得： ， ，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键．
27．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
① ，
∵ ，
∴ ．
因此，代数式 有最小值﹣2；
② ，
∵ ，
∴ ．
因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最小值为______；
(2)求代数式 的最大值．
【答案】(1)﹣3
(2)当a＝﹣3，b＝2时，代数式 的最大值是3
【分析】（1）通过配方可求出完全平方形式，根据平方式的非负性可得结果；
（2）把 配方成完全平方的形式可得结果．
21【解析】（1）解： ﹣4x+1＝ ＝ ，
∵ ，
∴ ，
∴当x＝2时，这个代数式 ﹣4x+1的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）
＝﹣ ﹣6a﹣9﹣ +4b﹣4+3
＝﹣ ﹣ +3，
∵ ≥0， ≥0，
∴﹣ ，﹣ ，
∴ ＝﹣ ﹣ +3 ，
∴当a＝﹣3，b＝2时，代数式 的最大值是3．
【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出
的式子化成完全平方的形式进行解答．
28．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形 空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修
两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地
方种植花草．
22(1)如图1，要使种植花草的面积为 ，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示， 均为全等的直角三角
形，其中 ，设 米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都
为2m，且竖向道路出口位于 和 之间，横向弯折道路出口位于 和 之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】(1)1米；
(2)① ；② ．
【分析】（1）设小道进出口的宽度为 米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方
程求解即可．
【解析】（1）解：设小道进出口的宽度为 米，
依题意得 ．
整理，得 ．
解得， ， ．
（不合题意，舍去），
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
（2）解：①剩余的种植花草区域的面积为：
②由 ，得：
，
解得： （舍去）．
23故 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，
注意根据实际意义舍根．
29．（1）如图1，四边形ABCD是矩形，以对角线AC为直角边作等腰直角三角形EAC，且 ．
请证明： ；
（2）图2，在矩形ABCD中， ， ，点P是AD上一点，且 ，连接PC，以PC为直
角边作等腰直角三角形EPC， ，设 ， ，请求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若点P在线段AD上运动，在点P的运动过程中，当 是等腰三角
形时，求AP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，得 ；再根据直角等腰三角形的性质计算，即
可完成证明；
（2）根据矩形和勾股定理的性质，得 ,再根据勾股定理、直角等腰三角形的性质计算，
即可得到答案；
（3）过点E作 于点F，交AD于点Q，通过证明四边形 和四边形 是矩形，得
，根据等腰直角三角形性质，推导得 ，通过证明 ，得
，根据题意，等腰三角形分三种情况分析，当 时，根据（2）的结论，得：
，通过求解一元二次方程，得 ；当 时，根据勾股定理列一元二次
方程并求解，推导得 不成立，当 时，结合矩形的性质，计算得 ，从而完成求解．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，AC是对角线
24∴ ，
∴
∵以AC为直角边作等腰直角三角形EAC，且
∴ ；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∵以PC为直角边作等腰直角三角形EPC，
∴
∴ ；
（3）过点E作 于点F，交AD于点Q，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形
∴ ， ，
∴四边形 和四边形 是矩形
∴
∵等腰直角三角形EPC，
∴ ，
∴
∴
在 和 中
25∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
①当 时，得： ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，故舍去；
②当 时，得：
，
∴
∵
∴ 无实数解；
③当 时
∵
∴
∵ ， ，
∴四边形 为矩形
∴
∵ ，
∴
∴
∴综上所述， 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形、勾股定理、矩形、一元二次方程、全等三角形的知识；解
题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元二次方程的性质，从而完成求解．
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