专题04有理数及其运算重难点题型-2022-2023学年七年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）（解析版）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题04 有理数及其运算 重难点题型 重难点题型 题型1 正负数意义及应用 【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解. 1.（2022•诸暨市期中）下列各对量中，不具有相反意义的是（ ） A．胜3局与负3局 B．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 C．收入3000元与增加3000元 D．气温升高4℃与气温降低10℃ 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：A、胜3局与负3局，具有相反意义，故本选项不合题意； B、转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈，具有相反意义，故本选项不合题意； C、收入3000元与增加3000元，不具有相反意义，故本选项符合题意； D、气温升高4℃与气温降低10℃，具有相反意义，故本选项不合题意；故选：C． 【点评】本题考查正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2.（2022•滦州市期末）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（ ） A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可． 【解答】解：由题意可知，﹣100表示的意思是发出100元红包．故选：A． 【点评】考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提． 3．（2022·浙江杭州市·七年级期中）下列选项中，具有相反意义的量是（ ） A．胜2局与负3局 B．前进与后退 C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米 【答案】A 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．【详解】解：A、胜2局与负3局具有相反意义的量，符合题意； B、前进与后退具有相反意义，但没有量，故不符合题意； C、盈利与支出不具有相反意义，故不符合题意； D、东和北不具有相反意义，故不符合题意；故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量． 4.（2022•綦江区期末）綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg， （10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（ ） A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg 【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可． 【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有（10±0.3）kg的； 其质量最多相差（10+0.3）﹣（10﹣0.3）＝0.6（kg）．故选：D． 【点评】利用正负数的意义，判别（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的意义是关键． 5.（2022•渝中区校级月考）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数 表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（ ） A．9月11日5时 B．9月11日19时 C．9月12日19时 D．9月12日21时 【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时． 【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是理解纽约与北京的时差为﹣13小时，即纽约比北京时 间要晚13个小时． 6.（2022·福建三明市·七年级期末）小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5次1分钟跳绳的数量 记录如下（超过165个的部分记为“＋”，少于165个的部分记为“－”）： －11，－6，－2，＋4，＋10 （1）小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？ （2）小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？ （3）小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【答案】（1）175个；（2）21个；（3）820个． 【分析】（1）用165加上超过的最大的数字+10，即可解题； （2）用超过的最大数字+10，减去少于165最多的数字-11即可； （3）先用 ，再将超过和不足165的所有数字相加计算即可．【详解】解：（1） （个） 答：1分钟最多跳175个． （2）10－（－11）＝21（个） 答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多21个． （3） （个） 答：累计跳绳820个． 【点睛】本题考查正、负数的实际应用，涉及有理数的加减法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关 知识是解题关键． 题型2 有理数的相关概念 【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、 0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开 原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝 对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 1．（2022射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）下列说法正确的是（ ） A．正数和负数统称为有理数 B．正整数包括自然数和零 C．零是最小的整数 D．非负数包括零和正数 【答案】D 【分析】按照有理数的分类进行选择． 【详解】解：A、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误； 2.（2022•日照期中）下列说法正确的是（ ） 任何一个有理数的平方都是正数 任何一个有理数的绝对值都是非负数 ①如果一个有理数的倒数等于它本身，那么②这个数是1 ③如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0． ④A． B． C． D． 【分①析④】根据有理数的定义和②特③点，绝对值、相反数③的④定义及性质，对选项②进④行一一分析，排除错误答案． 【答案】解： 任何一个有理数的平方都不是负数，错误； 任何一个有①理数的绝对值都是非负数，正确； ②如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误 ③如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；故选：D． ④【点睛】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负有理数、非负 数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 3.（2022·成都市初一期中）下列说法中，正确的 A.正有理数和负有理数统称为有理数 B．正整数和负整数统称为整数 C．整数和分数统称为有理数 D．非正数就是指0、负整数和所有分数 【答案】B 【解析】A错误，有理数还包含0； B正确，有理数包含正数和分数；C错误，漏掉了0；D错误，非正 数指0和负数。 【点睛】本题考查了有理数的分类．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 4.（2022·广东省初一月考）下列结论错误的是： A.负分数都是负有理数 B.分数中除了正分数就是负分数 C.有理数中除了分数就是小数 D.有限小数是分数，也是有理数 【答案】C 【解析】有限小数和无限循环小数为分数，无限不循环小数不是有理数,故答案选C。 5.（2022•东至县期末）下列说法中： ①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； π 23 ④非负数就是正数；⑤− 不仅是有理数，而且是分数；⑥ 是无限不循环小数，所以不是有理数； 2 7 ⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 其中错误的说法的个数为（ ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 { {正整数 整数 0 【分析】有理数的分类：有理数 负整数，依此即可作出判断． {正分数 分数 负分数 【解答】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误； ③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误；④非负数就是正数和0，故错误； π 23 ⑤− 是无理数，故错误；⑥ 是无限循环小数，所以是有理数，故错误； 2 7 ⑦无限小数不都是有理数是正确的；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的． 故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的 定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 6. （2021·广东·七年级期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0既不是正数也不是负数 B．整数包括正整数和负整数 C．非负数包括正数和0 D．整数和分数统称为有理数 【答案】B 【分析】根据有理数、整数的含义和分类，逐项判断即可． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，说法正确； B、整数包括正整数、0和负整数，原来的说法不正确； C、非负数包括正数和0，说法正确； D、整数和分数统称为有理数，说法正确．故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数和整数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键. 题型3 数集问题 性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复 解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚 至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。 1．（2021·福州华南实验中学七年级月考）下列各数： 中是正数有（ ） 个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正数的定义分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解： 中，正数有＋5，2.3， ，共有3个．故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，掌握正数的定义是解答此题的关键． 2．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）将下列各数填入适当的括号内： ， ， ，2020，0， ， ，66． （1）整数集合{______…}；（2）负分数集合{______…}；（3）非负整数集合{______…}．【答案】（1） ，2020，0，66；（2） ；（3）2020，0，66． 【分析】根据整数、负分数、非负整数的意义，逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）整数有： ，2020，0，66，故答案为： ，2020，0，66； （2）负分数有： ，故答案为： ； （3）非负整数有：2020，0，66，故答案为：2020，0，66． 【点睛】本题考查整数集合，负分数集合，非负整数集合，掌握有理数的分类是解题关键． 3.（2021•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中： 2 21 ⋅ ①﹣0.3 ；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤− ；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨ ． 7 3 （1）整数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}；（4）分数集合：{ …}； （5）非负整数集合：{ …}． 【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可． 21 【解答】解：（1）整数集合：{﹣10；18；0， ⋯}； 3 2 ⋅ （2）负数集合：{﹣0.3 ；﹣10；− ；﹣2.3…}； 7 2 ⋅ （3）非正数集合：{﹣0.3 ；﹣10；− ；0；﹣2.3…}； 7 2 ⋅ （4）分数集合：{﹣0.3 ；3.1415；0.28；− ；﹣2.3…}； 7 21 （5）非负整数集合：{18；0， ⋯}． 3 故答案为：（1）③⑥⑦⑨；（2）①③⑤⑧；（3）①③⑤⑦⑧；（4）①②④⑤⑧；（5）⑥⑦⑨． 【点评】本题考查了有理数的知识，关键是掌握正数、负数、整数及分数的定义，属于基础题，比较简单． 4. （2021·绵阳市七年级期中）把下列各数填在相应的集合内： 100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2， ，6， ，﹣0.3，1.020020002…【答案】见解析． 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【详解】如图 ． 【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键． 5．（2021·江苏七年级月考）如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在 重叠部分， 【答案】见解析 【分析】根据负数与整数集合重叠部分为负整数，列举出几个即可；根据正数与分数集合重叠部分为正分 数，列举出几个即可． 【详解】解：如图所示： 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握整数，分数与正、负数的定义是解本题的关键． 6.（2021•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合， 其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个 集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可． （2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合． ∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合． （2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝ 4+6， ∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合． （3）∵5+5＝10， ∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件． 【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可． 题型4 利用数轴求两点间距离 注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个 解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左 边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后 根据画出的数轴，读出两点之间的距离。 1．（2021·四川广元市·九年级一模）在数轴上，点 ， 在原点 的两侧，分别表示数 ，2，将点 向 右平移3个单位长度得到点 ．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为±2，据此可得求得a的数值． 【详解】解：∵CO=BO，B点表示2，∴点C表示的数为±2， ∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，故选：C． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．2．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，如果数轴上 ， 两点之间的距离是 ，且点 在原点左侧， 那么点 表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可读出A为2，A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，则2﹣3即可求出． 【详解】解：由图可知A为2，∵A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧， ∴2﹣3＝﹣1，即B为﹣2．故选D． 【点睛】本题考查数轴的认识及有理数的减法，会根据数轴读出数字，并掌握有理数的减法是关键． 3．（2020·浙江台州市·七年级期中）已知，点A，B，C三点都在数轴上，点A在数轴上对应的数为2，且 ，点C在点B的左侧，则点C在数轴对应的数为_______． 【答案】4或-6 【分析】分点B在A点左侧和右侧即可求得B点表示的数，再根据点C在B的左侧和BC之间的距离即可 求得C点表示的数． 【详解】解：∵A在数轴上对应的数为2， ∴B点表示的数为7或-3， 又∵ ，点C在点B的左侧，∴C点表示的数为4或-6．故答案为：4或-6． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离．注意在数轴上到一个定点的距离是一个常数的点有两个，这两 个点关于这个定点对称． 4.（2021.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点， ， ，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ） A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为 C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为【答案】D 【分析】根据 ，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的 数，进而即可判断． 【详解】∵ ，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为 ， ∵ ，∴点C所对应的数为 ， ∴点D所对应的数为 ，点A与点D间的距离为 ，∴D选项错误，故选D． 【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的 关键． 5. （2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示 “0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____． 【答案】6 【分析】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得． 【详解】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，故答案为6． 【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离． 6.（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点． 请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4． 【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差； （2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案． 【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8； （2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点， 所以MA＝MP＝ PA，NP＝NB＝ PB， 所以MN＝NP﹣MP＝ PB﹣ PA＝ （PB﹣PA）＝ AB＝ ×8＝4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵 活运用中点的意义是解题的关键． 题型5 有理数的大小比较 解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数 比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上， 从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。 1．（2021·湖南怀化市·七年级期末）如图，a与b的大小关系是（ ） A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a＝2b 【答案】B 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比 较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：由数轴可知，b＜0＜a，即a＞b，故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于 0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 2．（2021·陕西西安市·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a， 则b的值可以是___（任填一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可． 【详解】解：由数轴可知，1＜a＜2，﹣2＜﹣a＜﹣1， ∵﹣a＜b＜a，∴b可以在﹣1和1之间任意取值，如﹣1，0，1等，故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知有理数的大小关系． 3．（2021·广西贺州市·七年级期末）将下列各数在数轴上表示出来，并用“ ”连接起来．2，－1.5，－2，3，0，4.5 【答案】数轴见解析， 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右 边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”连接起来即可； 【详解】解：如图所示： －2＜－1.5＜0＜2＜3＜4.5 ． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较，还考查了在数轴上表示数的方法，要熟练掌握； 4.（2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣2 ，﹣4 表示在数轴上，并用“＜”连接各 数． 【答案】见解析， 【分析】先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“＜”连接起来即可． 【详解】解：如图所示： 故 ． 【点睛】本题主要考查数轴及有理数的大小比较，熟练掌握数轴及有理数的大小比较是解题的关键． 5．（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来： ， ，3， ， ，0． 【答案】 【分析】先把每个数进行化简，再根据有理数的大小排列起来即可． 【详解】解： ， ，∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查比较数的大小，准确的把每个数进行化简是解题的关键． 6．（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答 (1)把下列各数填在相应的括号内： ， ， ， （每两个1之间逐次增加1个0）， ， ， ， ， 正有理数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝； 整数集合：｛ …｝． (2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接． ， ， ， ， 【答案】(1) ， ， ； ， ， ， ； ， ， … (2) 【分析】（1）根据正有理数，负数，整数的定义即可判断； （2）先准确画出数轴，然后在数轴上找到各数对应的点即可． (1)正有理数集合：{ ， ， } 负数集合：{ ， ， ， } 整数集合：{ ， ， … } (2)在数轴上表示如图所示：【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值，数轴，准确地在数轴上找到各数对应的点是解 题的关键． 题型6 相反数的性质与求法 性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。 b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。 c.一组相反数的和为0。 解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面 添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质 c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。 1.（2021•合江县月考）﹣m的相反数是 ，﹣m+1的相反数是 ，a-b+c的相反数是 ． 【分析】根据相反数的定义，即可解答． 【解答】解：﹣m的相反数是m，﹣m+1的相反数是m﹣1，a-b+c的相反数是-a+b-c， 故答案为：m，m﹣1，-a+b-c． 【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 2．（2022·江苏盐城·七年级期末）2022的相反数是（ ） A． B． C．−2022 D．2022 【答案】C 【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：2022的相反数是−2022．故选：C． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 3．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和4 【答案】C 【分析】根据相反数（只有符号不同的两个数互为相反数）的定义求解即可． 【详解】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得： 只有选项C的两个数符合题意，故选：C． 【点睛】题目主要考查相反数的定义，深刻理解相反数的定义是解题关键．4.（2021·浙江七年级课时练习）若a与b互为相反数且a≠b，则 ＝（ ） A．0 B．1 C．－1 D．0，±1 【答案】C 【分析】根据相反数的性质即可求解． 【详解】若a与b互为相反数且a≠b，则a≠b≠0∴ 故选C． 【点睛】此题主要考查相反数的性质，解题的关键是熟知相反数的特点． 5．（2022·广东惠州市·七年级月考）若 与 互为相反数，则 __________． 【答案】2019 【分析】 与 互为相反数，则相加为0，代入代数式计算. 【详解】∵ 与 互为相反数，∴ ，∴ . 【点睛】相反数的性质是本题的突破口，牢记互为相反数和为0. 【点睛】本题主要考查了多重负号的化简，灵活运用相反数的定义成为解答本题的关键． 6．（2020·辽宁皇姑初三二模）如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是( ) A．+a和一(-a)互为相反数 B．+a和-a一定不相等 C．-a一定是负数 D．-(+a)和+(-a)一定相等 【答案】D 【解析】A. ，两个数相等，故错误. B.当 时， 与 相等，故错误. C. 可以是正数，也可以是负数，还可以是 故错误. D．正确. 故选D. 【考点】本题主要考查的是相反数的定义和性质． 题型7 由数求绝对值与由绝对值求数 |a| 1)由数求绝对值： 一定为非负数，即 2)由绝对值求数a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。 b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解） 1．（2022·辽宁朝阳·七年级期末）如果 ，那么 的值是__． 【答案】3或 ##-1或3 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解： ， ， 或 ．故答案为：3或 ． 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握该知识点是解题关键． 2．（2021·河北九年级二模）若 ，则 的值可以是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】逐项代入分析即可． 【详解】解：A.-(-4)=4>|-3|=3，故符合题意；B.-(-2)=2<|-3|=3，故不符合题意； C.- 2<|-3|=3，故不符合题意；D.-4 <|-3|=3，故不符合题意；故选A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的化简，以及多重符号的化简，正数大于0，负数小于0， 正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 3．（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期中）若｜x-2｜2x-6，则x=____； 【答案】4 【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可． 【详解】解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x2｜2x6变形为：-(x-2)=2x-6 去括号整理得，-3x=-8 解得， （不符合题意，舍去） 当x>2，即x-2>0时，方程｜x2｜2x6变形为：x-2=2x-6 移项合并得，x=4．故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键． 4．（2021·内蒙古自治区初一期末）已知 ，则 的值为( ) A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或4 【答案】C【分析】本题根据绝对值的定义,由已知 ,可得a-1= ±5,解这个关于a的方程即可求得a的值. 【解析】因为 ， 当a-1大于0时，则a-1=5，则a=6， 当a-1小于0时，则a-1= -5，则a= -4, 故选C. 【点睛】此题考查了绝对值的性质，特别注意：互为相反数的两个数的绝对值相等． 5．（2022·广东潮州·七年级期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝_________ 【答案】1或3##3或1 【分析】根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵｜x－2｜＝1，∴x－2=±1，∴x＝1或3，故答案是：1或3． 【点睛】本题主要考查绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 6.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程： ． 解：当 时，原方程可化为 ，解得 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ． 所以原方程的解是 或 ． (1)利用上述方法解方程： ． (2)当 满足什么条件时，关于 的方程 ，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1) 或 (2)①当 无解时， ；②当 只有一个解时， ；当 有两个解时， 【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答． (1)当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，解得x=2； 当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，解得 ． 所以原方程的解是x=2或 ； (2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解； ③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解． 【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的 本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 题型8 绝对值非负性的应用 性质： ，即非负性，注：a为任意实数 解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若|a|+|b|=0，则|a|=0且|b|=0． 1．（2021·黑龙江大庆市·九年级一模）若 与 互为相反数，则 的值为（ ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可的 解． 【详解】解：∵ 与 互为相反数，∴ + ＝0， ∴ ， ，解得： ， ，∴ 故选：B 【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2．（2021·河北保定市·七年级期末）如果 和 互为相反数，那么 的值是（ ） A． B．2019 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据 和 互为相反数，构造等式 + =0，利用实数的非负性确定a，b的 值，代入计算即可． 【详解】∵ 和 互为相反数，∴ + =0， ∴a+2=0，b-1=0，∴a+b+1=0，∴a+b= -1， ∴ = = -1，故选D．【点睛】本题考查了相反数的性质，实数的非负性，实数的幂的计算，熟练运用相反数的性质构造等式， 灵活运用实数的非负性求解是解题的关键． 3．（2021·东莞外国语学校九年级一模）若 ，则 _________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列式求出 、 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ， 且相加得零，∴ ， ， 解得 ， ，所以， ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为 时，这几个非 负数都为 ． 4．（2021·四川成都市·九年级二模）已知有理数 、 满足 ，则 ________． 【答案】2 【分析】由绝对值与平方的非负性解题． 【详解】解： 故答案为：2． 【点睛】本题考查绝对值与平方的非负性，涉及有理数的加法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关 知识是解题关键． 5．（2020·浙江初一课时练习）若|x＋1|＋|y－2|＝0，则x－y＝________． 【答案】－3 【解析】由|x+1|+|y﹣2|=0，得 x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2． x﹣y=﹣1﹣2=﹣1+（﹣2）=﹣3，故答案为﹣3． 点睛：本题利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键． 6．（2021·山东初一月考试）若 ，则 的值是 A． B．48 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质以及非负数性质可得a+1=0、b-2=0、c+3=0，求得a、b、c的值后代入进行计 算即可得答案.【解析】∵|a+1|+|b-2|+|c+3|=0，且|a+1|≥0，|b-2|≥0，|c+3|≥0， ∴a+1=0、b-2=0、c+3=0，∴a=-1，b=2，c=-3， ∴(a+3)(b+2)(c+6)= (-1+3)×(2+2)×(-3+6)=48，故选B. 【点睛】本题考查了非负数的性质以及有理数的运算，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0 是解题的关键. 题型9 有理数加减法乘除再认识 解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算 规律逐一判别即可。 a、b 1．（2022·广东省初一月考）如果 是有理数，则下列各式子成立的是（ ） a0、b0 ab0 a0、b0 ab0 A．如果 ，那么 B．如果 ，那么 a  b a 0、b0 ab0 a0、b0 ab0 C．若 ，则 D．若 ，且 ，则 【答案】D 【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果． a0、b0, ab0 【解析】A、如果 那么 ，故A错误； a0,b0 ab B、如果 ，那么不能判断 的符号，故B错误； a 0、b0, ab C、若 不能判断 的符号，故C错误； D、若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a＋b＜0，正确；故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2023·全国初一课时练习）用“＞”或“＜”填空： （1）如果a＞0，b＞0，那么a+ b 0； （2）如果a＜0，b＜0，那么a+ b 0； （3）如果a＞0，b＜0，|a|＞| b |，那么a+ b 0； （4）如果a＞0，b＜0，|a|＜| b |，那么a+ b 0． 【答案】（1）＞，（2）＜，（3）＞，（4）＜． 【分析】这是一组根据有理数的加法法则判断“和”的符号的题，我们只要分别按照有理数加法中“同号 两数相加”和“异号两数相加”的法则去判断就可以了；【解析】（1）∵a＞0，b＞0，∴ a+b＞0，故答案为＞． （2）∵ a＜0，b＜0，∴a+b＜0，故答案为＜． （3）∵ a＞0，b＜0，|a|＞|b|，∴ a+b＞0，故答案为＞． （4）∵ a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴ a+b＜0，故答案为＜． 3．（2022·吉林省初一期末）已知 a 3 ， b 4 ，且ab，则 ab 的值为（ ） A．7 B．1 C．1或7 D．1或7 【答案】C 【分析】由绝对值的定义和有理数加法的符号法则确定a，b的值，然后代入求解即可． a 3，b 4 【解析】∵ ∴a=±3，b=±4 又∵ab，∴a=3，b=-4或a=-3，b=-4 ∴a+b=3+（-4）=-1或ab=-3+（-4）=-7，故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的加减运算，掌握概念和计算法则正确计算是解题关键，注意分 情况讨论，不要漏解． a,b 4．（2022·吉林白城市·七年级期末）已知数 在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ） ab0 ab0 b10 ab0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可． ab0 【详解】解：从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，A、 ，故此选项不符合； ab0 b1与0 B、 ，故此选项不符合；C、不能确定 的大小关系，故此选项不符合； ab0 D、 ，故此选项符合；故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对 法则的理解能力，难度不是很大． 5．（2021·广东汕头市·九年级一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（） A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a-b＞0 D．1﹣a＞1 【答案】D 【分析】根据数轴上a、b的位置，可得出a，b的符号，进而判断各选项得出答案． 【详解】由数轴上a与1的位置可知：|a|>1，故选项A错误，不符合题意； 因为a＜0，b＞0，所以ab<0，故选项B错误，不符合题意； 因为a＜0，b＞0，所以a-b<0，故选项C错误，不符合题意； 因为a＜0，所以1−a>1，故选项D正确，符合题意．故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，结合数轴上a、b的位置判断出a，b的符号是解题关键． 6．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在数轴上，四个不同的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d， 且abcd ，则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从选项数轴上找出a、b、c、d的关系，再根据a+b=c+d，逐项判断． 【详解】解：∵数轴上A、B、C、D四点所代表的数分别是a、b、c、d，且abcd ， A、a＜c＜d＜b，可以满足a+b=c+d，故不符合；B、c＜a＜b＜d，可以满足a+b=c+d，故不符合； C、b＜d＜a＜c，满足a+b＜c+d，故符合；D、d＜b＜a＜c，可以满足a+b=c+d，故不符合；故选C． 【点睛】本题主要考查数轴，有理数的加法运算，解题的关键是根据数轴上的位置得到a、b、c、d的关系． 题型10 有理数加、减法运算的实际应用 解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的 记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。 （4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出 结论。 1．（2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填ab 入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则 的值是____________． 【答案】7或-6 【分析】由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈的和为2，横、 竖的和也是2，从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d ∵-1+2-3+4-5+6-7+8=4且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等 ∴两个圈的和为2；横、竖的和也为2 ∴-7+4+b+6=2，2+4+c+b=2，a+c+2+d=2 ad 3 ∴b=-1，c=-3， ab817 当a=8时，d=-5，则 ab516 当a=-5时，d=8，则 故答案为：7或-6 【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4个 数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2 2．（2021·江苏南京市·中考真题）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫 斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一 个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00 【答案】C 【分析】根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即 可求解． 【详解】解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00， 所以A. 当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意； B. 当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意； C. 当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；D. 当北京时间是18：00时，不合题意．故选：C 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，根据北京时间推断出莫斯科时间是解题关键． 3．（2021·浙江金华市·九年级二模）如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温， 那么这一刻阳台的气温比室内气温低（ ） A．5℃ B．12℃ C．7℃ D．12℃ 【答案】B 【分析】根据温差=最高气温-最低气温计算即可. 【详解】∵最高气温是7℃，最低气温是-5℃，∴温差为：7-（-5）=12（℃），故选B． 【点睛】本题考查了有理数的减法，理解温差的定义，并准确列式是解题的关键． 4．（2021·云南昆明市·）小夏同学通过捡、卖废品，既保护了环境，又积攒了零花钱．下表是他某个月的 部分收支情况（单位：元）： 日期 收入（+）或支出（﹣） 结余 注释 2日 3.5 8.5 卖废品 3日 ﹣4.5 4.0 买圆珠笔、铅笔芯 4日 ■ ﹣1.2 买科普书，同学代付 但由保存不当，“4日”的收入或支出被墨水涂污了，请你算出“4日”的收入或支出以及“1日”的结余， 分别是（ ） A．5.2，5 B．﹣5.2，5 C．﹣5，﹣5 D．﹣5.2，﹣5 【答案】B 【分析】根据正数和负数的实际意义即可求解． 【详解】解：“4日”的支出为：-1.2-4.0=-5.2（元）；“1日”的结余为：8.5﹣3.5＝5（元）．故选：B．【点睛】本题考查了正负数在现实生活的应用，以及有理数的减法，熟练掌握正负数的意义是解答本题的 关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 5．（2021·浙江温州市·七年级期中）国内汽油价格每月会有两次调整，如果以今年6月底的油价为基准， 涨价记为正方向，7月至10月的油价调整情况记录如下（单位：元/吨）： 时间 7月上旬 7月下旬 8月上旬 8月下旬 9月上旬 9月下旬 10月上旬 10月下旬 油价调整 100 0 0 85 0 315 0 70 （1）7月至10月之间，今年_______（填时间）的调价令油价与基准价格相差最大． （2）到10月底，油价能否回到基准价格？请说明理由． 【答案】（1）8月下旬；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）计算出每个时间段与基准价格的差，即可得解； （2）将表格中的数据相加，根据结果判断即可． 【详解】解：（1）7月上旬与基准价格相差：+100， 7月下旬与基准价格相差：+100， 8月上旬与基准价格相差：+100， 8月下旬与基准价格相差：+100+85=185， 9月上旬与基准价格相差：185， 9月下旬与基准价格相差：185-315=-130， 10月上旬与基准价格相差：-130， 10月下旬与基准价格相差：-130+70=-60， ∴8月下旬的调价令油价与基准价格相差最大； （2）由题意可得：100+0+0+85+0-315+0+70=-60， ∴到10月底，油价不能回到基准价格． 【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，有理数的加法的实际应用，解答此题的关键是熟知用正负数表 示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义 相反，二是它们都是数量． 6．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一 共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？【答案】10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克． 【分析】先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解． 【详解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4（千克） 以90千克为标准，10袋小麦的记录如下： +1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1， （+1）+（+1）+（+1.5）+（-1）+（+1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（-1.2）+（+1.8）+（+1.1） =（+1）+（-1）+（+1.2）+（-1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（+1）+（+1.5）+（+1.8）+（+1.1） =5.4千克． 答：10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克． 【点睛】本题考查了正负数的意义，读懂题目信息，写出90千克的增减量是解题的关键． 题型11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用 解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较 结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数 的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋 值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。 1.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200 元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元， 其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和 384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元． 【答案】55.6或22##22或55.6 【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可． 【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为 192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款， 则标价为192÷0.8=240元； 由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过 元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元， 所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元）， 当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外， 超过500元部分给予七折优惠进行付款． 总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元）， 则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）； 总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元）， 则他可节约（192+384）-554=22（元）． 故答案为：55.6或22． 【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键． 2．（2022四川成都市·麓山师大一中七年级月考）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24 点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算 （每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24．其中红色扑克牌代表负数， 黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅 6(134)24 花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为 ，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃 5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式_______． 5515 24 551524 【答案】   或 任选一个 【分析】利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】根据题意，红桃5表示－5黑桃5表示5方块5表示－5，梅花1表示1， 5515 24 551524 则可列式为   ， ． 5515 24 551524 故答案为   或 任选一个 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键． 3．（2021·北京平谷区·九年级二模）母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母 亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表： 百合 薰衣草 玫瑰 蔷薇 向日葵 康乃馨 12元/支 2元/支 5元/支 4元/支 15元/支 3元/支 母亲节期间包装免费小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请 给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为_______． 【答案】1，4，6（答案不唯一） 【分析】根据题意，首先买最贵的花，数量由大到小，依此类推，凑成总钱数是50元，直到1枝为止，必 须买三种花配成花束，每种花至少买一支，计算出设计的方案买的花的总价刚好是50元即可． 【详解】∵12×1+5×4+3×6=50，∴可买百合1支、玫瑰4支、康乃馨6支， 故答案为：1，4，6．（本题答案不唯一，符合要求即可） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解决本题时要注意本题答案不唯一，符合要求即可． 4．（2021·湖南常德市·七年级期中）小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 1 2 3 4 5 输出 …   … 2 5 8 11 14 那么，当输入数据为8时，输出的数据为___________． 8  【答案】 23 【分析】根据表格观察，当输入的数据为奇数时，输出数据为正数，输入的数据为偶数是，输出数据为负 数，分子为输入数据，分母为输入数据的3倍减1，据此即可做出解答． 8 8 8  =  【详解】解：由题意得当输入数据为8时，输出的数据为 381 23．故答案为： 23 【点睛】本题考查了根据规律填写数据，能根据提供的表格发现规律是解题关键． 5．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫 升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20 分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解； （2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解． 【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的 关键． 6．（2022·四川·石室中学七年级期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立 方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气 量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8 倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 气表读数（立方 433 450 468 485 500 514 535 米） （1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米． （2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？ （3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加， 比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？ 【答案】（1） ； ；（2） 元；（3） 元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家 月份的用气量和 月份平均每月的用气量 （2）根据小明家 月份的气费为 元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家 月份的用气量超过 立方米且不超过 立方米，超过 立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算 （3）根据题意，可计算出小明家 月的用气量，再结合题意，即可计算 【详解】（1）由表格数据可得：小明家 月份的用气量为 立方米； 月份平均每月的用气量为： 立方米 故答案为： ；（2） 小明家 月份的气费为 元， 月份的气费量为： 一级用气价格为： （元/立方米） 月份的用气量为 立方米，气量超过 立方米且不超过 立方米的部分按第二级气量基数， 超出部分按一级用气价格的 倍收取 月份小明家需交气费为： 元 （3） 小明家 月份的用气量为： 立方米， 月份的用气量比 月份的多 立方米 月份的用气量为： 立方米 气量超过 立方米且不超过 立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的 倍收取， 用气量超过 立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的 倍收取费用 月份小明家需交气费为： 元 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准． 题型12 新定义运算 解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有 理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。 1 1 1．（2022·全国初一课时练习）定义新运算“⊕”：a⊕b=a +b（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3= 1 1 5 2 +3=6，那么3⊕（﹣4）的值是（ ） 7 1 1 7 A．﹣12 B．﹣12 C．12 D．12 【答案】C 1 1 1 1 1 +    【解析】3⊕（-4）=3 4 3 4 12 . 故选C． a2b 221 2．（2022·常州市第二十四中学初三月考）定义一种新的运算：a•b= a ，如2•1= 2 =2，则 （2•3）•1=（ ）5 3 9 19 A．2 B．2 C．4 D． 8 【答案】B a2b ab 【分析】根据 a ，可以求得所求式子的值，本题得以解决． a2b 223 421 3 ab    【解析】解：∵ a ，∴（2•3）•1 2 •1=4•1 4 2 ，故选B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 3．（2022·河南南阳市·七年级期中）幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上 的三个数之和相等的方法．幻方历史悠久，是中国传统游戏．如图是一个3×3的幻方的一部分，则a+b＝ _____． ﹣6 a ﹣8 ﹣5 b ﹣9 【答案】-3． 【分析】首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和＝2×中间格 的数，分别求出a、b的值各是多少，再把求出的a、b的值相加即可． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由a+（﹣9）＝﹣5×2，可得：a＝﹣1， 由b+（﹣8）＝﹣5×2，可得：b＝﹣2， ∴a+b＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．故答案为：﹣3． 【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 4．（2021·湖南永州市·七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1， 2021! 4！=4×3×2×1，…，则 的值等于（ ） 2020! A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！ 【答案】A 【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论． 【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，2021! 202120202019...1 = =2021故选A．  2020! 20202019...1 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． a b  ababa 5．（2021·吉林省初一月考）已知 、 为有理数，现规定一种新运算 ，满足 ．（1）  1 (14) 2   (2)4_________；（2）求  2的值．（3）新运算ababa是否满足加法交换 律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例． 1 10 【答案】（1）-6；（2） 2 ；（3）不满足，举例见解析 【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两步列式计算即可； （3）根据新运算可知运用交换律出的结果和原来的结果不同，所以不满足，举例说明即可． (2)4 【解析】（1） (-2)×4-(-2)=-8+2=-6  1 (14) 2   （2）  2  5  5  5 15 21 1 141  3  3  3 3 10        2  2  2 2 2 2 ababa ba bab （3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得： a3,b4 ababa 假设 ，则 =3×4-3=9 ba bab=4×3-4=8 ∴不能用交换律． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，解题关键是掌握新定义规定的运算法则、有理数乘方法则等知识． 6．（2021·湖南张家界市·七年级期末）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得(a－2)×2＋ b，即a※b＝(a－2)×2＋b，例如：3※5＝(3－2)×2＋5＝2＋5＝7． 根据上面规定解答下题：（1）求6※(－4)的值；（2）6※(－4)与(－4)※6的值相等吗？请说明理由． 【答案】（1）4；（2）不相等，理由见解析 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）分别求出各自的值，比较即可． 【详解】解：（1）6※(－4)＝(6－2)×2+(－4)＝8－4＝4．（2）不相等． 理由：∵6※(－4)＝4， (－4)※6＝(－4-2)×2+6＝－6， ∴6※(－4)与(－4)※6的值不相等． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义，注意运算顺序． 题型13 有理数的简算 解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运 算的目的。（2）利用乘方的运算性质 ，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑 整后部分的乘方运算。 1 1 1 1 1 1 1．（2021·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校七年级月考）计算：| 2 －1|＋|3－ 2 |＋|4 －3|＋…＋|99－ 1 1 1 98|＋|100－99|＝___________． 99 【答案】100 【分析】先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 99 1     ...    1 【详解】解：原式= 2 2 3 3 4 98 99 99 100 = 100 =100，故答案为：100． 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算． 5 2．（2021·大庆市第五十一中学初一开学考试）计算(3)2 017×0.62 017的结果是( ) 2 2 3 A．3 B．－3 C．1 D．－2 【答案】C5 5 3 5 3  【解析】(3)2 017×0.62 017=(3)2 017×(5)2 017=（3 5）2017=1.故选：C. 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，逆用积的乘方法则是解题的关键． 3．（2022·郑州市中原区第一中学七年级月考）阅读下面文字： 5 2 3 1 对于(﹣56)+(﹣93 )+174 +(﹣3 2 ) 可以如下计算： 5 2 3 1 原式＝[(﹣5)+(﹣6)]+[(﹣9)+(﹣3 )]+(17+4 )+[(﹣3)+(﹣ 2 )] 5 2 3 1 ＝[(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)]+[(﹣6)+(﹣3 )+4 +(﹣ 2 )] 1 ＝0+(﹣14 ) 1 ＝﹣14 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？  2 3  5 1 仿照上面的方法，计算：-2020 +2019 +-2018 +2017  3 4  6 2 1 【答案】-2 4 【分析】先仿照题目给出的方法把每一项拆成两项，再根据有理数的加法法则和加法运算律解答即可．  2 3  5 1 【详解】解：2020 +2019 +2018 +2017  3 4  6 2   2  3   5  1 2020   2019  2018   2017           =   3  4   6  2  2 3  5 1 2020201920182017             =  3 4  6 2 1 2    =  4 1 2 = 4 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法，正确理解题意、熟练掌握加法法则和加法运算律是解题的关键． 4．（2022·全国初一课时练习）阅读下列材料：计算 解法一：原式= ． 解法二：原式= ． 解法三：原式的倒数为 故原式=300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】一， ． 【分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的；利用乘法分配律求出原式倒 数的值，即可求出原式的值． 【解析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的； 原式的倒数= = ，则原式= ． 【点睛】本题考查有理数的除法；阅读型，正确理解题意是解题关键． 5．（2022·广东中山市·七年级期中）运用简便方法计算。 （1） （2） 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）先利用有理数加法的交换律与结合律，再利用有理数乘法的分配律，然后计算有理数的乘 法与减法即可得；（2）先利用有理数乘法法则去掉负号，再将 改写成 ，然后利用有理数乘 法的分配律进行计算即可得． 【详解】（1）原式 ， ， ， ， ； （2）原式 ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了有理数加法的交换律与结合律、有理数乘法的分配律等知识点，熟练掌握各运算法则 和运算律是解题关键． 6．（2022·全国初一课时练习）计算： ． 【答案】 【分析】先去括号写成乘法的形式，再约分计算即可. 【解析】 ． 【点睛】本题考查有历史的乘法，根据式子特点，去括号后约分是解题的关键. 题型14 乘方的应用 解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几 乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解 这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化 规律，分析出最终结果。 （2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分 析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 1．（2022·贵州毕节）观察下列算式: 31 3 32 9 33 27 34 81 35 243 36 729 37 2187 32019  用你所发现规律写出 的末位数 字是( )A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】C 【分析】先由已知算式可发现，每四个式子为一个循环，再计算20194的余数即可得出答案． 【解析】由已知算式可知，每四个式子为一个循环，末位数字依次为3,9,7,1 20194504 3 32019  则 与每四个式子中的第三个式子的末位数字相同，即末位数字为7 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方的规律题，依据已知算式，正确发现规律是解题关键． 2．（2021·四川达州市·中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： 121102 212210101102 F ， ；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~ 来表 示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为2161143，10C 对应十进制的数为 1161601612268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ） A．28 B．62 C．238 D．334 【答案】D 【分析】在表格中找到字母E对应的十进制数，根据满十六进一计算可得． 【详解】由题意得，十六进制中14E对应十进制的数为：1×16×16+4×16+14=334，故选D． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握十进制与十六进制间的转换及有理数的混合 运算顺序和运算法则． 3．（2022·浙江杭州市·七年级期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码 (101) (1011) 0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将 2， 2换算成十进制数应为： (101) 122 021120 4015 2 ； (1011) 123022 121120 802111 2 ． (1001) 按此方式，将二进制 2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（ ） (1101) (1110) (1101) (1110) A．17， 2 B．9， 2 C．9， 2 D．17， 2【答案】C 【分析】首先理解十进制的含义，然后结合有理数运算法则计算出结果，然后根据题意把13化成按2的整 数次幂降幂排列，即可求得二进制数． 【详解】解：（1001）=1×23+0×22+0×21+1×20=9． 2 13=8+4+1=1×23+1×22+0×21+1×20=（1101） 故选：C． 2 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，理解十进制的含义，培养学生的理解能力． 4．（2021·浙江温州市·七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小， 则应输入x的值为_____． 【答案】-6 11 1 【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+6）2+12 ，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入 x的值． 11 1 【详解】解：3x2+x+1＝3（x+6）2+12 ，∵输入的x值为整数，要使输出结果最小， 11 1189 1 1 1 ∴3（x+6）2+12 ＞100，即（x+6）2＞ 36 ＝3336， ∴应输入x的值为﹣6．故答案为：﹣6． 【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的 到式子的最小值，进一步判断x的取值． 5．（2021·娄底市第二中学七年级期中）求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 52017 5 【答案】 4S=552 5352016 5S=52 5352017 【分析】仿照例题可令 ，从而得出 ，二者做差后即可得出 结论． S=552 5352016 5S=52 5352017 【详解】解：令 ，则 ， 52017 5 5SS 52 5352017   552 5352016 52017 5， S  ∴ ∴ 4 ． 4S=52017﹣5 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出 是解题的关键． 31 3 34 81 6．（2021·重庆市大坪中学校七年级月考）阅读材料，解决问题：由 ，32 9，33 27， ， 37 2187 38 6561 35 243，36 729， ， ，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、 3100 3425 3100 34 9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为 ，所以 个位数字与 的个位数字相同， 应为1；因为 32009 345021 ，所以32009 的个位数字与31 的个位数字相同，应为3． 799 899 （1）请你仿照材料，分析求出 的个位数字及 的个位数字； 22019 72019 82019 （2）请探索出 的个位数字； 82018 22018 32018 （3）请直接写出 的个位数字． 【答案】（1）2；（2）3；（3）1； 【分析】（1）仿照材料内容，得到规律，7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，8 的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出； （2）仿照材料内容，得到规律，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，即 可求得；（3）仿照材料内容，82018个位数字是4，22018的个位数字是4，32018的个位数字是9，即可求得； 【详解】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807… 发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出： ∵799＝74×24+3∴799的个位数字与73的个位数字相同，应为3 由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出： ∵899＝84×24+3∴899的个位数字与83的个位数字相同，应为2 （2）由于2¹=2，2²=4，2³=8，24=16，25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期 循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2³的个位数子相同，22019的个位数字是8 , 根据（1）可知72019的个位数 字是3, 82019的个位数字是2 ∴22019＋72019＋82019的个位数字是3； (3) 据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4； 22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4； 32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9； ∴ 82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1． 【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力． 题型15 新定义运算（乘方） 【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规 的有理数混合运算算式进行计算. 1．（2021·江苏省初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分 解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ） ①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9． ③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C mn mn mn1m1 【分析】根据所给的例子的分解方法中找出 分解的规律,其中最小的数是 ,从而可判断 出②④正确. 251 【解析】①在25的“分解”中最大的数是 +1=17，所以这个叙述正确；4314113 ②在43的“分解”中最小的数是 ；所以这个正确； ③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ； 3n1 ④若3n的“分解”中最小的数是 -2=79 ,解得n=5，故这个是正确的. 综上所述，共有两个正确的结论.故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键. a, b (a, b) ac b 2．（2022·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数 之间的一种运算，记作 ：如果 ， (a, b)c 23 8 (2，8)3 那么 ．例如：因为 ， 所以 ． (5,125) (2，4) (2，8) （1）根据上述规定，填空： __________， __________ ， =__________； (3n,4n)(3,4) （2）小明在研究这种运算时发现一个现象： ，小明给出了如下的证明： (3n,4n) x (3n)x 4n (3x)n 4n 3x 4 (3,4) x (3n,4n)(3,4) 设 ，则 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ， (3,4)(3,5)(3,20) 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式： 【答案】（1）3；2；3；（2）见解析 【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断； （2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2， （-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案为：3；2；3； （2）设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20， ∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 3．（2022·全国七年级）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作： logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log 4＝2； 2 ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log 16＝2. 4 （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式：①log 25＝2；②log 27＝3； 5 3 （3）计算：log 32 2 【答案】（1）①log 36＝2；②log 64＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5 6 4 【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；（2）根据题意可以把对数式写成指数式； （3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果． 【详解】解：（1）①62＝36；对数式记作：log 36＝2； 6 ②43＝64；对数式记作：log 64＝3； 4 （2）①log 25＝2；指数式为52＝25，②log 27＝3；指数式为33＝27； 5 3 （3）∵25＝32，log 32＝5. 2 【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对 数之间的关系与相互转化关系． log bma0 4．（2021·山东临沂市·九年级一模）定义运算：若 am b ，则 a ，例如 23 8 ，则 log 83 log 125log 81 2 ．运用以上定义，计算： 5 3 ______． 【答案】-1 【分析】根据题意可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得，log 125-log 81=3-4=-1，故答案为：-1． 5 3 【点睛】本题考查了新定义运算，解答本题的关键是明确新定义运算的计算方法． 5．（2022·银川市第三中学初一期中）阅读理解与计算：  a,b abb2 1 7442 117 （1）用“ ”定义新运算：对于任意有理数 ，都有 ．例如： ．则① 53 m mm2 m,n 填空： ； ②当 为有理数时，求 的值； （2）已知 互为相反 x,y a 1 a2 mn2012 xy2012 数， 互为倒数， ，试求 的值． 【答案】（1）①10；②26；（2）2 m  22 1  m552 1 【分析】（1）根据新定义运算法则可得：①5332+1；② ； （2）根据互为相反数和互为倒数的两个数的关系，和绝对值定义可得：m+n=0,xy=1,a2=1，代入式子可得． 【解析】解：（1）根据新定义运算法则可得：53 ① 32+1=10，故答案为：10 m  22 1  m552 126 ② m,n x,y a 1 （2）因为 互为相反数， 互为倒数， ， a2 mn2012 xy2012 所以m+n=0,xy=1,a2=1 所以 =1-0+1=2 【点睛】考核知识点：新定义运算，有理数运算．理解新定义运算法则，掌握有理数运算法则是关键． 6．（2021·浙江七年级期中）（概念学习） 222 (3)(3)(3)(3) 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 222 2③ (3)(3)(3)(3) 等．类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的圈3次方” 记作 aaaa(a 0) (3)④，读作“ 3 的圈4次方”．一般地，把 记作 3③ 4④读作“a的圈n次 n个 方” ④  1   （初步探究）（1）直接写出计算结果： ________，  ________． 2③   2 （2）关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数n，1 =1 3③ 4④ C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数 的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 ⑩ 1  (3)④  ________； 5⑥  _________； 2   _______ （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________④ ③ ④  1  1  1 122       34 （5）算一算：       ．  3  2  3 4 1 1 2 1 1 n2 289 【答案】（1） 2 ，4；（2）C；（3） 3   ； 5   ； 28 ；（4） a   ；（5） 9 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；（2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正 a n a (n2) 确的判断；（3）观察例题得到规律，一个非零有理数 的圈 次方等于 的倒数的 次方，按规律 a n a (n2) 得到结果；（4）把一个非零有理数 的圈 次方等于 的倒数的 次方，写成字母表述的形式； a （5）根据圈 的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 1 2③ 222 【详解】解：（1） 2 ， ( 1 )④    1    1    1    1   1 222 1 2  2  2  2  2 2 4．故答案为： 2 ，4． 1 1 （2） 3③ 333 ，4③ 4444 ， 3 16 1 1 由于  ， 所以选项 错误故选C． 3 16 3③ 4③ C  1  1  1  1 2 1 2 （3）(3)④ (3)(3)(3)(3) (3)   3      3      3      3    3   ； 1 1 1 1 1 1 4 5       5⑥ 555555 5 5 5 5 5 5 ； ⑩ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1              222222222 ； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 28 4 1 2 1 故答案为：  ；  ； ； 3 5 28 1 1 1 1 1  ( )n2 ( )n2 （4）a aaa a a a 故答案为： a ；1 1 1 （5）122 ( 3 )④( 2 )③ ( 3 )④ 34 144(3)2(2)(3)2 34 288 1 289    ． 1449232 34 9 9 9 【点睛】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运 算是解决本题的关键． 题型16 科学记数法与近似数 【解题技巧】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要 看 把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． （2）近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的 有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字 等说法． 1．（2021·江苏南京市·九年级二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器成功在火 星乌托邦平原南部预选着陆区着陆．为了探测数据安全有效传回地球，我国 4台测控站联网组阵，测控能 力更强，能够实现火星距地球最远 400 000 000公里时的测控通信．用科学记数法表示400 000 000是 _________． 4108 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变 成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数； 当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 400 000 000 400000000=4108 4108 【详解】解： 用科学记数法表示为 ．故答案为： ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为 整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2021·广东广州市·九年级二模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共 1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（ ）． 1.41010 1.4109 1.4108 1.4107 A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据“四舍五入”法和科学记数法的定义，即可得到答案． 1.4109 【详解】解：1411778724≈ ，故选B． 【点睛】本题主要考查近似数和科学记数法，掌握科学记数法的行形式：a×10n（1≤|a|＜10），是解题的关 键． 3．（2021·北京门头沟区·九年级二模）在学习强国平台中，5月16日发布的“第一观察——天问落火”栏 目的阅读量截止到5月17日中午，就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得（ ） A．1089 B．1090 C．1089万 D．1090万 【答案】D 【分析】把千位上的数四舍五入后加万即可解答． 【详解】10895538精确到万可得10895538=1090万，故选D． 【点睛】本题考查了近似数，熟练运用四舍五入法是解决问题的关键． 4．（2020·上海初一期末）位于浦东的“中国馆”总建筑面积约为1601000平方米，这个数字保留两个有效 数字可写为__________________平方米． 1.6106 【答案】 16010001.601106 1.6106 【分析】先根据科学记数得到 ,然后四舍五入、保留两个有效数字得到 ． 16010001.601106 1.6106 1.6106 【解析】解: ，故保留两个有效数字得到： ，故答案为： a10n 【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字:用 (1≤|a|＜10，n为整数)的形式表示一个数的方法叫作 科学记数法，从一个近似数的左边第一个不为零的数数起到这个数完，所有这些数字叫这个近似数的有效 数字． 5．（2020·湖南省初三模拟）据《人民日报》“9组数据看懂新中国成立70周年的沧桑巨变”一文报道， 我国国民生产总值从1952年679亿元到2018年900309亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记 数法表示数字900309（精确到万位）是（ ） A．9×105 B．9.0×105 C．9.00×105 D．9.003×104 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数 变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数； 当原数的绝对值＜1时，n是负数，最后根据题意精确到万位即可．【解析】900309＝9.00309×105≈9.0×105．故选：B． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜ 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．（2022·四川广安·二模）2022年北京冬奥会取得圆满成功，中国代表团以9金4银2铜的骄人成绩位居 世界第三！它不仅为各国体育健儿提供了展示自我的竞技场所，而且也为促进世界和平、增进相互了解、 实现文化交融、传递文明友谊搭建了最好的学习交流平台．它将“带动3亿人参与冰雪运动”成为北京冬 奥会最大遗产成果．数字3亿用科学记数法表示正确的是（ ） A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．30×107 【答案】C 【分析】用科学记数法表示一个数时，表示形式为 ，其中a的范围是 ，n是整数，根据概 念确定a，n的值即可． 【详解】 ，故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，其中a的范围是 ，n是整数，正确确定a，n的值是解 答本题的关键．