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2022-2023 学年北师大版数学七年级上册压轴题专题精选
汇编
专题 04 整式的加减
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022七上·泾阳期末）已知小明的年龄是m岁，爸爸的年龄比小明年龄的3
倍少5岁，妈妈的年龄比小明年龄的2倍多8岁，则小明爸爸和妈妈的年龄和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由题意可得：小明爸爸和妈妈的年龄和是：（3m-5）+（2m+8）
=3m-5+2m+8
=5m+3（岁）.
故答案为：A.
【思路引导】由题意可得小明爸爸的年龄为3m-5，小明妈妈的年龄为2m+8，然后求和即
可.
2．（2分）（2022七上·汇川期末）某商店在甲批发市场以每包a元的价格进了50包茶叶，
又在乙批发市场以每包b元（a＞b）的价格进了同样的70包茶叶，如果以每包 元
价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ）
A．盈利了 B．亏损了
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【答案】A
【完整解答】解：∵a＞b，
∴（50+70）× -（50a+70b）
=60a+60b-50a-70b
=10a-10b
=10（a-b）＞0，
∴这家商店盈利了，
故答案为：A.
【思路引导】根据题意计算出售价与成本的差值，然后由a＞b，即可得解.
3．（2分）（2022七上·毕节期末）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和【答案】B
【完整解答】解：A：-（+1）=-1和+（-1）=-1，不互为相反数，故不符合题意；
B：-（-1）=1和+（-1）=-1，互为相反数，故符合题意；
C： -（+1）=-1和-1不互为相反数，故不符合题意；
D：+（-1）=-1和-1不互为相反数，故不符合题意；
故答案为：B.
【思路引导】去括号可得-(+1)=-1，+(-1)=-1，-(-1)=1，+(-1)=-1，然后结合相反数的概念进
行判断.
4．（2分）（2021七上·洪山期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋
b| － |a － b| ＋ |a ＋ c|的结果为（ ）
A．－a－c B．－a－b－c C．－a－2b－c D．a－2b
＋c
【答案】C
【完整解答】解：通过数轴得到a＜0，c＞0，b＞0，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，a－b＜0，a＋c＜0
∴|a＋b| － |a－b| ＋ |a＋c|＝-a-b＋a－b﹣a-c＝－a－2b－c.
故答案为：C.
【思路引导】根据数轴可得：a<0<b<c且|a|＞|c|＞|b|，然后判断出a+b、a-b、a+c的正负，
接下来根据绝对值的性质以及合并同类项法则进行化简.
5．（2分）（2021七上·普宁期末）下列整式运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A、 ，A不符合题意；
B、 ，B符合题意；
C、 ，C不符合题意；
D、 ，D不符合题意；
故答案为：B
【思路引导】按照合并同类项法则合并同类项。
6．（2分）（2021七上·巢湖期末）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图
3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长20cm，若记图2中阴影部分的周长为C ，图3中阴影部分的周长为C ，那么C -C =（ ）
1 2 1 2
A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm
【答案】D
【完整解答】解：设图2与图3中的大长方形的宽为acm，则长为 cm，
图1中的长方形长为xcm，宽为ycm，
由图2可知： ；
由图3可知： ，
，
，
，
，
则 （cm），
故答案为：D．
【思路引导】根据题意和图形，设图2与图3中的大长方形的宽为acm，则长为
cm，图1中的长方形长为xcm，宽为ycm，再表示出阴影部分的周长
；图3可知： ，
，再作差即可。
7．（2分）（2021七上·龙泉期末）把五张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重
叠地放在一个大长方形(长为m，宽为n内(如图②)，大长方形未被卡片覆盖的部分用阴影
表示.当m不变，n变长时，阴影部分的面积差总保持不变，则a，b应满足的关系为（
)A．a=5b B．a=3b C．a=2b D．
【答案】B
【完整解答】解：如图右上角阴影的长为3b，宽为n-a，左下角的阴影的长为a，宽设为
n-2b，
∴两阴影面积之差S=3b·（n-a）-a·（n-2b）=3bn-3ab-an+2ab=（3b-a）·n-ab，
∵当m不变，n变长时，阴影部分的面积差总保持不变，
∴3b-a=0，即a=3b，
故答案为：B.
【思路引导】利用图②小长方形、阴影和大长方形包含关系可得，右上角阴影的长为3b，
宽为n-a，左下角的阴影的长为a，宽设为n-2b，通过作差表示出两阴影面积之差S，再根
据整式混合运算的法则进行化简并利用 m不变，n变长时，阴影部分的面积差总保持不变
判断出3b-a=0，即可求出3b=a.
8．（2分）（2021七上·瑞安期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、
4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖
的阴影部分的周长为（ ）
A．16 B．24 C．30 D．40
【答案】D
【完整解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长
为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，
如图，
.
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2（24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x）=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故答案为：D.
【思路引导】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y,利用长方形的周长为32，化
简得x+y=4，再利用长方形的周长为48，得AB=24-3x-4y，利用平移知没有覆盖的阴影部
分的周长为四边形ABCD的周长，求得周长为40.
9．（2分）（2020七上·正定期中）为求1+2+22+23+…+22015的值，可令S=1+2+22+23+…
+22015，则2S=2+22+23+…+22016，因此2S﹣S=22016﹣1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…
+52015的值为（ ）
A．52015﹣1 B．52016﹣1 C． D．
【答案】D
【完整解答】设a =1+5+52+53+…+52015，则5a=5（1+5+52+53+…+52015）=5+52+53+…
+52015+52016，
∴5a-a=（5+52+53+…+52015+52016）-（1+5+52+53+…+52015）=52016-1，
即a= .
故答案为：D.
【思路引导】设a =1+5+52+53+…+52015①，可得5a=5（1+5+52+53+…+52015）=5+52+53+…
+52015+52016②，利用②-①即可求出结论.
10．（2分）（2020七上·镇海期末）如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正
方形的边长分别为 、 、 ，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为（ ）
A．a+b B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：设重叠部分的小长方形的长与宽分别为 ，
如图，在图上依次表示阴影部分的各边的长，
所以右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为：
.
故答案为：D.
【思路引导】设重叠部分的小长方形的长与宽分别为 ，如图，在图上依次表示阴影
部分的各边的长，从而利用周长公式可得答案.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022七上·石阡期末）若两个单项式 与 的和为0，则
的值是 .
【答案】0
【完整解答】解：∵两个单项式 与 的和为0，
∴两个单项式是同类项，且2+n=0，
即m=2，n=-2，
∴m+n=0.故答案为：0.
【思路引导】根据题意可得2a2bm-1与na2b为同类项且和为0，则m-1=1，n=-2，求出m的
值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
12．（2分）（2021七上·斗门期末）若﹣2x2yb与 xay3是同类项，则a﹣b＝ ．
【答案】-1
【完整解答】解：∵﹣2x2yb与 xay3是同类项，
∴a=2，b=3，
∴a﹣b＝2-3=-1，
故答案为：-1．
【思路引导】根据同类项的定义可得a=2，b=3，再将a、b的值代入计算即可。
13．（2分）（2021七上·海珠期末）某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为
（a+2b）米，宽比长短b米，则花圃的周长为 米（请用含a、b的代数式
表示）．
【答案】（4a+6b）
【完整解答】解：已知花圃的长为 米，宽比长短b米，则花圃的宽为 米，
∴花圃周长为： 米，
故答案为： ．
【思路引导】长方形的周长=（长+宽）×2，据此计算即可.
14．（2分）（2021七上·澄海期末）如图，将边长为m的正方形纸片沿虚线剪成两块正方
形和两块长方形，若拿掉边长为n的小正方形后，再把剩下的三块图形拼成一块长方形，
则这块长方形周长为 ．
【答案】4m
【完整解答】解：新长方形的周长＝2[（m+n）+（m﹣n）]＝4m．
【思路引导】根据题意列出算式2[（m+n）+（m﹣n）]，再计算即可。
15．（2分）（2021七上·烈山期末）多项式 与 相加后，不含二次项，则常数 的值是 ．
【答案】
【完整解答】解： +
=
∵不含二次项，
∴12m+36=0，
∴m=-3，
故答案为：-3．
【思路引导】先利用合并同类项求出 + =
，再利用“不含二次项”可得12m+36=0，再求出m的值即
可。
16．（2分）（2021七上·南宁期末）如图，两个多边形的面积分别为13和22，两个阴影
部分的面积分别为a， ，则 的值为 .
【答案】9
【完整解答】解：设重叠部分面积为c， b-a=（b+c）-（a+c）=22-13=9.
故答案为：9.
【思路引导】设重叠部分面积为c，把b-a化成（b+c）-（a+c），再代值计算即可.
17．（2分）（2020七上·济南期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所
求的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面
积分别为 ，已知小长方形纸片的长为 ，宽为 ，且 ．若 长度
不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，
而 的值总保持不变，则 满足的关系是 ．【答案】a=4b
【完整解答】解：设S 的长为x，则宽为4b，S 的长为y，则宽为a，
1 2
则AB=4b+a，AD=y+3b，
∵x+a=y+3b，
∴y-x=a-3b，
S 与S 的差=ay-4bx=ay-4b（y-a+3b）=（a-4b）y+4ab-12b2，
1 2
∴a-4b=0，
即a=4b．
故答案为：a=4b．
【思路引导】表示出左上角与右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与AD无
关即可求出a与b的关系式．
18．（2分）（2018七上·鄞州期中）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入四
个如图③的小长方形后分别得到如图①、图②、已知大长方形的长为a，则图②阴影部分
周长与图①阴影部分周长的差是 ．
【答案】
【完整解答】设小长方形的长为x，宽为y，
根据图①得：
解得：
图①阴影部分周长
图②阴影部分周长
∵
∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是
故答案为：【思路引导】设小长方形的长为x，宽为y，根据图①即可得出大小长方形的长与宽的关系，
从而列出方程组，求解即可用含a的式子表示出x，y，结合两个图形可知：图①阴影部分
的宽就是小长方形的宽，从而根据长方形周长的解散方法算出图①阴影部分周长；通过平
移可知：图②阴影部分的宽就是大长方形的长-小长方形的长，长就是小长方形宽的三倍，
从而根据长方形周长的解散方法算出图②阴影部分周长；从而利用整式的减法法则即可算
出图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差。
19．（2分）（2018七上·海曙期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），
卡片长为x，宽为y，不重叠地放在一个底面为长方形（宽为a）的盒子底部（如图②），
盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是 （用只
含b的代数式表示）．
【答案】4b
【完整解答】根据题意得：x+2y=a，
则图②中两块阴影部分周长和是2a+2（b-2y）+2（b-x）=2a+4b-4y-2x=2a+4b-2（x+2y）
=2a+4b-2a=4b．
故答案为：4b．
【思路引导】根据题意，x+2y=a，然后根据矩形周长的计算方法得出图②中两块阴影部分
周长和是2a+2（b-2y）+2（b-x），然后再去括号合并同类项并整体代入即可算出答案。
20．（2分）（2017七上·南京期末）如图，已知数轴上点A、B、C所表示的数分别为a、
b、c，点C是线段AB的中点，且AB=2，如果原点O的位置在线段AC上，那么
.
【答案】0
【完整解答】由题意及数轴上点的位置得：（a+b）÷2=c，即a+b=2c，则
=0．
故答案为：0
【思路引导】中点坐标等于两端点坐标和的一半，与原点位置无关.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（5分）（2021七上·遂宁期末）已知：关于x、 的多项式 与多
项式 的差的值与字母x的取值无关，求代数式的值.
【答案】解： - =（1-b）x2+（a+3）x-7y+3+b
由于与字母x的取值无关所以1-b=0 ，a+3=0得b=1，a=-3
原式=-a2-7ab-4b2
当b=1，a=-3时
原式=-9+21-4=8
【思路引导】根据整式的加减法法则可得(x2+ax-y+b)-(bx2-3x+6y-3)=(1-b)x2+
(a+3)x-7y+3+b，根据题意可得1-b=0，a+3=0，求出a、b的值，利用去括号法则以及合并
同类项法则对待求式进行化简，然后将a、b的值代入计算即可.
22．（5分）（2022七上·黔西南期末）先化简，再求值：
，其中a，b满足 和
是同类项.
【答案】解：原式
.
因为 和 是同类项，
所以 ，
解得 ，
所以原式
【思路引导】首先根据去括号法则以及合并同类项法则对原式进行化简，根据同类项的概
念可得3a=6，1=b+2，求出a、b的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
23．（5分）（2019七上·海曙期中）如图，它是由A、B、E、F四个正方形，C、D两个
长方形拼成的大长方形，已知正方形F的边长为6，求拼成的大长方形周长．
【答案】【解答】 解：设A正方形边长为a，E正方形边长为x ，则正方形F的边长为
a+x，正方形B的边长为a+x+a=2a+x, 于是大长方形的长为B、F的边长之和，为
2a+x+a+x=3a+2x；
大长方形的宽为E和F的正方形边长之和，为x+a+x=2x+a, 则大长方形周长为
2×(3a+2x+2x+a)=8x+8a；
∵a+x=6，所以8x+8a=8(a+x)=48.
【思路引导】设A正方形边长为a，E正方形边长为x ，先把正方形F的边长和正方形B
的边长用含a和x的代数式表示，于是大长方形的长和宽可用含a和x的代数式表示，则大
长方形的周长可以用代数式表示出来，结合正方形F的边长为6，于是可求大长方形的周
长.
24．（5分）（2017七上·北票期中）小亮在计算一个多项式与 的差时，因
误以为是加上 而得到答案 ，请求出这个问题的正确答案.
【答案】解：
【思路引导】根据题意，先列式，再利用去括号法则进行去括号，然后合并同类项，就可
求出这个多项式。
25．（10分）（2021七上·揭西期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数
式 的值与 的取值无关，求 的值”，通常的解题方法是：把x、y
看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含 项的系数为
0，
即原式＝ ，所以 ，则 ．
（1）（3分）若关于 的多项式 的值与 的取值无关，求 值；
（2）（3分）已知A ，B ；且3A＋6B的值与 无关，
求 的值；
（3）（4分）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长
方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，
左下角的面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求 与 的等量关系．
【答案】（1）解：
，
关于 的多项式 的值与 的取值无关，
，解得 ．
（2）解： ，
，
的值与 无关，
，
解得 ．
（3）解：设 ，
由图可知， ， ，
则
，
当 的长变化时， 的值始终保持不变，
的值与 的值无关，
，
．
【思路引导】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含 项的系数为0， 故将多
项式进行整理，令x的系数为0，即可求出m；
（2）根据整式混合运算法则化简3A+6B可得（15y-6)x-9， 根据其值与 无关 得出
15y-6=0，解之即可；
（3）设AB=x， 由图可知， ， ，
即可得S-S 的代数式，根据取值与x无关可得a-2b=0，即a=2b.
1 2
26．（9分）（2021七上·黄埔期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB
上的一点，已知AB=4，且OB=3OA．A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，
其对应的数为x．
（1）（1分）a= ，b= ，并在数轴上面标出A、B两点；（2）（3分）若PA=2PB，求x的值；
（3）（4分）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1
个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t
秒．请问在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由
若不变，请求其值．
【答案】（1）-1；3
（2）解：①当P点在A点左侧时，PA
②当P点位于A、B两点之间
解得
③当P点在B点右侧时
解得
故x的值为解得 或 ．
（3）解：t秒后，A点的值为 ，P点的值为2t，B点的值为
所以3PB-PA的值为定值，不随着时间t的变化而改变．
【完整解答】（1）解： AB=4，且OB=3OA，A、B对应的数分别是a、b，
故答案为：
【思路引导】（1）由AB=4且OB=3OA可得OA=1，OB=3，根据点A、B的位置及数轴
的特点可求出a、b；
（2）分三种情况： ①当P点在A点左侧时 ，不存在；②当P点位于A、B两点之间，
③当P点在B点右侧时，根据PA=2PB分别列出方程求出x值即可；（3） 求出t秒后，A点的值为 ，P点的值为2t，B点的值为 ，可得
PB=3+3t-2t，PA=2t-（-1-t），然后求出3PB-PA的值，从而判断即可.
27．（11分）（2021七上·诸暨期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数
学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧．
（1）（3分）若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值．
（2）（4分）请利用整体思想和方程思想进行解题．
①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程 x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的
一元一次方程 （y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝ ▲ ．
②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四
个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）
的值为多少？
（3）（4分）在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作
A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4
个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次
返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？
【答案】（1）解：∵x3=-8，
∴x=-2；
（2）解：①6；
②根据题意得：a=n+y，b=x+n，c=x+m，d=m+y，
∴（a-b）+（d-c）= n+y-x-n++y-x-m=2y-2x，
当x=-2，y=6时，原式=2×6-2×（-2）=16，
故答案为16；
（3）解：设运动时间为t秒，
当t＜2时，①点P，Q在点O的两侧时，OP=2-t，OQ=6-4t，
∴6-4t=2（2-t），
∴t=1，
②点P，Q在点O的左侧时，OP=2-t，OQ=4t-6，
∴4t-6=2（2-t），
∴t= ，
当2≤t≤4时，
③点P，Q在点O的两侧时，OP=t-2，OQ=2-4（t-2），
∴2-4（t-2）=2（t-2），
∴t= ，
④点P，Q在点O的右侧时，OP=t-2，OQ=4（t-2）-2，
∴4（t-2）-2=2（t-2），
∴t=3，
∴P点运动的时间为1秒或 秒或 秒或3秒.
【完整解答】解：（2）①把x=-2代入方程 x-3=5x-p，
得：-1-3=-10-p，
∴p=-6，
∴方程 （y﹣8）-3＝5（y﹣8）-p化为： （y﹣8）-3＝5（y﹣8）+6，
∴y=6，
故答案为：6；
【思路引导】（1）根据立方根的定义解答即可；
（2）①把x的值代入方程 x-3=5x-p，求出p的值，再解方程 （y-8）-3＝5（y-8）-p，
求出y的值即可；
②根据题意得出a=n+y，b=x+n，c=x+m，d=m+y，代入（a-b）+（d-c）进行化简，再把
x，y的值代入进行计算即可；
（3）设运动时间为t秒，分两种情况讨论：当t＜2时，①点P，Q在点O的两侧时，②点
P，Q在点O的左侧时，当2≤t≤4时，③点P，Q在点O的两侧时，④点P，Q在点O的右
侧时，根据两点间的距离公式得出OP，OQ的长，在列出方程，解方程求出t的值，即可
得出答案.
28．（10分）（2021七上·郴州期末）某超市在元旦期间对购物实行优惠，规定如下：一次性购物货款 优惠办法
不超过200元 不予优惠
超过200元但不超过500
九折优惠
元
其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折
超过500元
优惠
（1）（1分）若顾客一次性购物的货款为300元，他实际付款 元；
（2）（1分）若顾客一次性购物货款为 元，当 超过500元时，实际付款
元（用含 的代数式表示）；
（3）（4分）若顾客两次购物的货款合计840元，第一次购物的货款为 元
，则该顾客两次购物实际付款一共多少元？（用含 的代数式表示）
（4）（4分）小张两次购物，第一次购物的货款为 元 ，第二次
购物的货款为 元 .如果他把两次购买的商品合并为一次购买，可节
省26元，则他两次购物的货款一共是多少元？
【答案】（1）270
（2）
（3）解：根据题意可得：两次购物顾客实际共付款：
.
答：两次购物顾客实际付款一共 元.
（4）解：由题可知， ，
分两次购物，实际付款为 （元）.
两次合并一次购买，实际付款为： （元），
所以节省的费用
所以 （元），
所以他两次购物的货款一共是760元.
【完整解答】解：（1）∵300元超过200元但不超过500元，
∴实际付款为300×0.9=270（元）.
故答案为：270；（2）∵x超过500元，
∴实际付款为 （元）.
故答案为： ；
【思路引导】（1）由题意可得实际付款为300×0.9，计算即可；
（2）当x超过500元时，其中500元实际付款500×0.9元，超过500元的部分为(x-500)元，
实际付款0.8×(x-500)元，相加即可；
（3）根据题意可得：第一次实际付款0.9y元，第二次实际付款0.8×(840-y-500)+500×0.9
元，相加即可；
（4）由题可知a+b>500，分两次购物，实际付款为0.9(a+b) 元，两次合并一次购买，实际
付款为0.8(a+b-500)+500×0.9元，相减可得节省的费用，进而可得a+b的值.
