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专题09 含乘方的有理数运算综合探究
1．阅读计算过程：
解：原式= ①
②
③
回答下列问题：
（1）步骤①错在 ；
（2）步骤①到步骤②错在 ；
（3）步骤②到步骤③错在 ；
（4）请写出此题的正确结果 ．
【答案】（1）去括号错误；（2）乘方计算错误；（3）运算顺序错误；（4） ．
【解析】
【分析】
根据去括号法则、有理数的乘方法则和有理数的运算顺序进行解题．
【详解】
（1）原式= ，
∴去括号错误；
（2）∵原式= ①
②
∴乘方计算错误；（3）∵ ②
③
∴运算顺序错误；
（4）原式=
．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握去括号法则，养成良好的书写规范习惯．
2．以下是一位同学所做的有理数运算解题过程的一部分：
（1）请你在上面的解题过程中仿照给出的方式，圈画出他的错误之处，并将正确结果写在相应的
圈内；
（2）请就此题反映出的该同学有理数运算掌握的情况进行具体评价，并对相应的有效避错方法给
出你的建议．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）出错地方有3处，分别是乘方运算错误，绝对值求错，乘除运算顺序错误，改正即可；
（2）根据有理数的乘方运算法则和有理数混合运算顺序及绝对值性质求解写出建议即可．
【详解】
解：（1）如图所示：（2）评价：该同学做乘方运算时，应分清底数再进行计算，注意加括号和不加括号的区别；绝对
值具有非负性，负数的绝对值应该取它的相反数；除法没有结合律，同级运算应该按照从左到右
的顺序依次计算．
建议：做有理数的混合运算时，应注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，
应按从左到右的顺序依次进行计算．
【点睛】
本题主要考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
3．下面是小明同学做过的两道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题．
（1）计算：（1） ；
解：原式＝ 第①步
＝12 第②步
问题：上述解法中，第几步有错？___ ___（填序号即可）．
本题的正确解法是：_
（2） ．
解：原式= 第①步
= 第②步
第③步第④步
问题：上述解法中，第几步有错？___ ___（填序号即可）．
本题的正确解法是：
【答案】（1）①；（2）①，③；
【解析】
【详解】
试题分析：（1）①乘方运算错误②主要是运算顺序错误, ③除以一个数等于乘上这个数的倒数,
（2）①没有见括号，符号错误，②去括号错误，③正确．
试题解析：（1）①；
正解：原式= ；
（2）①，③；
正解：原式= =
考点：有理数的混合运算
4．（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
【答案】（1）1；（2）1；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据同分母的分数相加，分母不变分子相加得出结论；
（2）利用（1）中规律相加即可；
（3）根据（1）规律加 ，再减 ，然后作和即可．【详解】
解：（1）
；
（2）
……
；
（3）
……．
【点睛】
本题考查数字变化类，关键是找到式子中的规律进行求和．
5．已知： ,求
的值.
【答案】
【解析】
【分析】
绝对值和偶次幂都是非负数，几个非负数的和为0，则为几个0相加，据此求解．
【详解】
解：∵|x-1|+（x-2）2+|x-3|3+（x-4）4+…+|x -2007|2007+（x -2008）2008=0，
1 2 3 4 2007 2008
∴x-1=0，x-2=0，x-3=0，x-4=0，x -2007=0，x -2008=0，
1 2 3 4 2007 2008
∴x=1，x=2，x=3，x=4，x =2007，x =2008，
1 2 3 4 2007 2008
∴原式=
=1-
= ．
【点睛】
此题主要考查非负数的性质，解答过程还要注意分析题干特点，总结规律解答．
6．（1）计算：①2-1＝ ；②22-2-1＝ ；③23-22-2-1＝ ；④24-23-22-2-1＝
；⑤25-24-23-22-2-1＝ ；⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝
（2）根据上面的计算结果猜想：2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1的值为多少？
（3）根据上面猜想的结论求212-211-210-29-28-27-26的值．
【答案】（1）1；1；1；1；1；1；（2）1；（3）64
【解析】
【分析】（1）①②③④⑤直接计算即可，⑥类比计算即可；
（2）由2n=2×2n-1，可得结果；
（3）根据2n=2×2n-1，将212-211-210-29-28-27-26递推化简即可．
【详解】
解：（1）①2-1＝1，
②22-2-1＝1，
③23-22-2-1＝1，
④24-23-22-2-1＝1，
⑤25-24-23-22-2-1＝1，
⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝1，
故答案为：1；1；1；1；1；1；
（2）2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1
=2n-1-2n-2-…-22-2-1
=2n-2-…-22-2-1
=22-2-1
=1；
（3）212-211-210-29-28-27-26
=211-210-29-28-27-26
=210-29-28-27-26
=29-28-27-26
=28-27-26
=27-26
=26
=64．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，由简单到复杂，逐步递推，是解题的关键．本题只要把数字的变化
规律看清，难度不大．
7．若 ．求在
中最小的一项是哪一项，最小值是多少？
【答案】 ，最小值是0【解析】
【分析】
观察出 从大到小变化， 从小到大变化，分别表示出 ，继而得到 ，
然后进行分析求解即可．
【详解】
由 前三项得出其关于n的表达式：
∴ ；
由 前三项得出其关于n的表达式：
∴
……
，
要想 的值最小，只需要（n+4）2=100，
∵n为正整数，
∴n+4为正数，
∵102=100，
∴ n+4=10
解得n=6
故第6项时两者的差最小，且为0
【点睛】
本题考查了乘方的运算，求绝对值表示的式子的最小值，分析出 的变化规律是本题解题的
关键8．观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【解析】
【分析】
利用所给的解答方式进行求解即可．
【详解】
解：设 ①，
则 ②，
由② ①，得 ．
∴ ，
即原式 ．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵
活运用．
9．观察并验证下列等式：
13+23＝（1+2）2＝9，
13+23+33＝（1+2+3）2＝36，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，
（1）续写等式：13+23+33+43+53＝_____；（写出最后结果）
（2）我们已经知道1+2+3+…+n＝ n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：
13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝_____；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
13+33+53+…+（2n﹣1）3【答案】（1）225；（2） n2（n+1）2；（3）2n4-n2
【解析】
【分析】
（1）观察所给的各式即可得到答案；
（2）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可
得；
（3）将原式变形为[13+23+33+…+（2n）3]-[23+43+63+…+（2n）3]，再利用题中规律计算．
【详解】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225；
（2）由题意可得：
原式=[ n（n+1）]2= n2（n+1）2；
（3）原式=[13+23+33+…+（2n）3]-[23+43+63+…+（2n）3]
= （2n）2（2n+1）2-8（13+23+33…+n3）
= ×4n2（2n+1）2-8× ×n2×（n+1）2
=n2（2n+1）2-2n2（n+1）2
=n2（2n2-1）
=2n4-n2．
【点睛】
本题考查因式分解以及数字规律，涉及整式混合运算，有理数运算等知识，综合程度较高．
10．下面是按规律排列的一列式子：
第1个式子： ；
第2个式子： ；
第3个式子： ；
……（1）分别计算出这三个式子的结果；
（2）请按规律写出第2019个式子的形式（中间部分用省略号，两端部分必须写详细）；
（3）计算第2019个式子的结果．
【答案】（1） ， ， ；（2）见解析，
；（3）
【解析】
【分析】
（1）按照有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）第 个式子为： ，再将 代入即可；
（3）由前三个式子可得出第 个式子结果为： ，再将 代入即可．
【详解】
解：（1）第1个式子：
第2个式子：
第3个式子：
（2）∵由题意可得：第 个式子为：
∴当 时，第2019个式子为：（3）∵第1个式子的结果： ；第2个式子的结果： ；第3个式子的结果：
∴第 个式子结果为：
∴当 时第2019个式子的结果为：
【点睛】
本题考查数字的变化规律，解题关键是根据特殊情况找出数据间的一般运算规律．
11．读一读：
式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和．
由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
，这里“ ”是求和符号．例如：“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内连续奇数
的和）可表示为 ；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示为 ． 同学们，
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）“2+4+6+8+10+…+100”（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为
．
（2）计算: 的值
【答案】 ；50．
【解析】
【详解】
试题分析：首先根据题意得出新定义的含义，然后根据含义得出一般性的规律，最后根据规律进
行计算．试题解析：（1）
（2） = =0+3+8+15+24=50
考点：新定义型
12．探究规律，完成相关题目．
定义“ ”运算：
；
；
；
；
；
．
（1）归纳 运算的法则：
两数进行 运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地， 和任何数进行 运算，或任
何数和 进行 运算， .
（2）计算：
（3）是否存在有理数 使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；（2）17；（3）
存在，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*
（−5）＝（−5）2；（＋3）*0）＝（＋3）2，可得：0和任何数进行*
运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．（2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算法则，进行求值计算即可．
（3）根据总结的运算法则，进行分析计算即可．
【详解】
解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；特
别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方；
故填：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；
（2）（＋1）*[0*（−2）]
＝（＋1）*（−2）2
＝（＋1）*4
＝＋（12＋42）
＝1＋16
＝17；
（3）存在，理由如下：
∵（m−1）*（n＋2）＝0，
∴（m−1）2＋（n＋2）2＝0
∴m−1＝0，n＋2＝0，
解得：m＝1，n＝−2．
【点睛】
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺
序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，
要先做括号内的运算，注意加法运算律的应用．
13．概念学习
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 ，
等，类比有理数的乘方，我们把 写作 ，读作“2的圈3次方”，
写作 ，读作“ 的圈4次方”，一般地，把
写作 ，读作“ 的圈 次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果： ________， ________；
（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈 次方等于它本身的数是1或
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）归纳：请把有理数 的圈 次方写成幂的形式为： ________；
（4）比较： ________ ；填“>”“<”或“=”）
（5）计算： ．
【答案】（1） ， ；（2）D；（3） ；（4） ；（5）
【解析】
【分析】
（1）根据规定的运算，直接计算即可；
（2）根据圈 次方的意义，计算判断得出结论；
（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
（4）根据圈 次方的规定直接进行判断即可；
（5）先把圈 次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
【详解】
解：（1） ，
，
故答案为： ， ；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，结论正确，不符合题意；
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，结论正确，不符合题意；C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，结论正确，不符合题意；
D．圈 次方等于它本身的数是1，结论错误，符合题意；
故选：D；
（3） ，
故答案为： ；
（4）
＝
＝
＝ ，
＝
＝
＝ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（5）原式＝
＝
＝
＝ ．
【点睛】
本题考查了新定义运算，掌握圈 次方的意义是解本题的关键．
14．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉
一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
【规律探索】
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S ＝1－ ＝
阴影1
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S ＝1－ －( )2 ＝____；
阴影2
同种操作，如图3，S ＝1－ －( )2－( )3 ＝__________；
阴影3
如图4，S ＝1－ －( )2－( )3－( )4 ＝___________；
阴影4
……若同种地操作n次，则S ＝1－ －( )2－( )3－…－( )n ＝_________．
阴影n
于是归纳得到： +( )2+( )3+…+( )n =_________．
【理论推导】
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①
将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②
由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．
即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1
根据上述材料，试求出 +( )2+( )3+…+( )n 的表达式，写出推导过程．
【规律应用】
（3）比较 ＋ ＋ ＋…… __________1（填“ ”、“ ”或“=”）
【答案】（1） ； ； ；( )n；1 - ( )n ；（2） +( )2+( )3+…+( )n = 1-( )n，推导过程
见解析；（3）=
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解（2）根据材料中的计算求和的方法即可求解；
（3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小．
【详解】
解：（1）S ＝1－ －( )2=1- = = ，
阴影2
S ＝1－ －( )2－( )3=1- = = ，
阴影3
S ＝1－ －( )2－( )3－( )4= = ，
阴影4
⋯
S ＝1－ －( )2－( )3－…－( )n=( )n，
阴影n
于是归纳得到： +( )2+( )3+…+( )n =1 - ( )n
故答案为： ； ； ；( )n；1 - ( )n
（2）解：设S = +( )2+( )3+…+( )n， ①
将①× 得： S = ( )2+( )3 + )4 …+( )n + ( )n+1 ，②
①－②得： S = - ( )n+1 ，③
将③×2得：S = 1-( )n
即得 +( )2+( )3+…+( )n = 1-( )n
（3）=，理由如下：
∵ ＋ ＋ ＋……=1-( )n ，当n越来越大时，( )n越来越小，越来越接近零，由极限的思想
可知：当n趋于无穷时，( )n就等于0，故1-( )n就等于1，
故答案为：=
【点睛】
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．
