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专题09 含乘方的有理数运算综合探究
1．阅读计算过程：
解：原式= ①
②
③
回答下列问题：
（1）步骤①错在 ；
（2）步骤①到步骤②错在 ；
（3）步骤②到步骤③错在 ；
（4）请写出此题的正确结果 ．
2．以下是一位同学所做的有理数运算解题过程的一部分：
（1）请你在上面的解题过程中仿照给出的方式，圈画出他的错误之处，并将正确结果写在相应的
圈内；
（2）请就此题反映出的该同学有理数运算掌握的情况进行具体评价，并对相应的有效避错方法给
出你的建议．
3．下面是小明同学做过的两道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题．
（1）计算：（1） ；解：原式＝ 第①步
＝12 第②步
问题：上述解法中，第几步有错？___ ___（填序号即可）．
本题的正确解法是：_
（2） ．
解：原式= 第①步
= 第②步
第③步
第④步
问题：上述解法中，第几步有错？___ ___（填序号即可）．
本题的正确解法是：
4．（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
5．已知： ,求
的值.
6．（1）计算：①2-1＝ ；②22-2-1＝ ；③23-22-2-1＝ ；④24-23-22-2-1＝
；⑤25-24-23-22-2-1＝ ；⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝
（2）根据上面的计算结果猜想：2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1的值为多少？（3）根据上面猜想的结论求212-211-210-29-28-27-26的值．
7．若 ．求在
中最小的一项是哪一项，最小值是多少？
8．观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
9．观察并验证下列等式：
13+23＝（1+2）2＝9，
13+23+33＝（1+2+3）2＝36，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，
（1）续写等式：13+23+33+43+53＝_____；（写出最后结果）
（2）我们已经知道1+2+3+…+n＝ n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：
13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝_____；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
13+33+53+…+（2n﹣1）3
10．下面是按规律排列的一列式子：
第1个式子： ；
第2个式子： ；
第3个式子： ；
……
（1）分别计算出这三个式子的结果；（2）请按规律写出第2019个式子的形式（中间部分用省略号，两端部分必须写详细）；
（3）计算第2019个式子的结果．
11．读一读：
式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和．
由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
，这里“ ”是求和符号．例如：“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内连续奇数
的和）可表示为 ；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示为 ． 同学们，
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）“2+4+6+8+10+…+100”（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为
．
（2）计算: 的值
12．探究规律，完成相关题目．
定义“ ”运算：
；
；
；
；
；
．
（1）归纳 运算的法则：
两数进行 运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地， 和任何数进行 运算，或任何数和 进行 运算， .
（2）计算：
（3）是否存在有理数 使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．
13．概念学习
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 ，
等，类比有理数的乘方，我们把 写作 ，读作“2的圈3次方”，
写作 ，读作“ 的圈4次方”，一般地，把
写作 ，读作“ 的圈 次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果： ________， ________；
（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈 次方等于它本身的数是1或
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）归纳：请把有理数 的圈 次方写成幂的形式为： ________；
（4）比较： ________ ；填“>”“<”或“=”）
（5）计算： ．
14．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数
学思想研究下列问题．
【规律探索】
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S ＝1－ ＝
阴影1
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S ＝1－ －( )2 ＝____；
阴影2
同种操作，如图3，S ＝1－ －( )2－( )3 ＝__________；
阴影3
如图4，S ＝1－ －( )2－( )3－( )4 ＝___________；
阴影4
……若同种地操作n次，则S ＝1－ －( )2－( )3－…－( )n ＝_________．
阴影n
于是归纳得到： +( )2+( )3+…+( )n =_________．
【理论推导】
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①
将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②
由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．
即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1
根据上述材料，试求出 +( )2+( )3+…+( )n 的表达式，写出推导过程．
【规律应用】
（3）比较 ＋ ＋ ＋…… __________1（填“ ”、“ ”或“=”）
