专题15整体思想求代数式的值（解析版）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_06专项讲练

专题15 整体思想求代数式的值 1．阅读材料；我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，则 ．“整体思想”是中学教学解题中的一种重 要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用整体思想解决下列问题： （1）把 看成一个整体，合并 ． （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ， ， ，求 的值． 【解答】解：（1） ； （2） ， 原式 ； （3） ， ， ， 原式 ． 2．阅读理解： 如果式子 ，求式子 的值．小花同学提出了一种解法如下：原式， 把式子 整体代入，得到原式 ． 仿照小花同学的解题方法，完成下面的填空： （1）如果 ，则 1 ； （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ， ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为：1； （2） ， ， 原式 ； （3） ， ， 原式 ． 3．阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广 泛，如我们把 看成一个整体，则 ． （1）尝试应用： 把 看成一个整体，合并 的结果是 ； （2）拓广探索： 已知 ，求 的值． 【解答】解：（1）原式 ， 故答案为： ； （2）原式 ， 当 时， 原式 ， 即原式的值为2022． 4．【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 比 如 ， ， 类 似 地 ， 我 们 把 看 成 一 个 整 体 ， 则 ． 【尝试应用】（1）化简 的结果是 ． （2）化简求值， ，其中 ． 【拓展探索】（3）若 ，请直接写出 的值． 【解答】解：（1）原式， 故答案为： ； （2）原式 ， 当 时， 原式 ； （3）原式 ， 当 时， 原式 ． 5．数学中，运用整体思想方法在求整式的值时非常重要． 例如：已知 ，则 ． 请你根据上面材料解答以下问题： （1）若 ，求 的值； （2）当 时， ，当 时，求 的值； （3）当 时， ，当 时，直接写出 的值（用 含 的式子表示）． 【解答】解：（1） ，； （2） 当 时， ， ． ． 当 时， ； （3） 当 时， ， ． ． 当 时， ． 6．“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例如把 看成一个整体： ，请应用整体思想解答下 列问题： （1）化简： ；（2）已知 ， ， ，求 的值． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 当 ， ， 时， 原式 ． 7．阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已 知 ，求代数式 的值？ 小颖同学提出了一种解法如下： 原式 ，把式子 两边同时乘以2，得 ． 仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题： （1）如果 ，则 3 ； （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ， ，求 的值． 【解答】解：（1） ， 当 时， 原式 ， 故答案为：3； （2） ， 当 时，原式 ； （3） ， 当 ， 时， 原式 ． 8．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要． 例如：已知 ，则代数式 ． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若 ，求 的值． （2）当 时，代数式 的值是5，求当 时，代数式 的值． （3）当 时，代数式 的值为 ，直接写出当 时，代数式 的值．（用含 的代数式表示） 【解答】解：（1） ， ．（2）当 时，代数式 的值是5，即 ， ． 当 时， ． （ 3 ） 当 时 ， 代 数 式 的 值 为 ， 即 ， ， 时， ． 9．阅读材料：“如果代数式 的值为 ，那么代数式 的值是多少？”我 们可以这样来解： 原式 ．把式子 两边同乘以2，得 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知 ，求 的值； （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ， ，求 的值．【解答】解：（1） ， ． （2） ， ． （3） ， ， ． 10．提示“用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数（整体）．” 试按提示解答下面问题． （1）若代数式 的值为 ，求代数式 的值． （2）已知 ， ，求当 时 的值． 【解答】解：（1），设 即所求式为： ． （2）， （2） 时， ．11．阅读材料：我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体， 则 ．“整体思想”是中学教学解题中的一种 重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： （1）把 看成一个整体，求出 的结果． （2）已知 ，求 的值． 【解答】解：（1） ； （2） ， 原式 ． 12．阅读材料： 我 们 知 道 ， ， 类 似 地 ， 我 们 把 看 成 一 个 整 体 ， 则 ．“整体思想”是中学数学解题中的一种重 要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把 看成一个整体，求将 合并的结果； （2）已知 ，求代数式 的值； 拓广探索： （3）已知 ， ， ，求 的值． 【解答】解：（1） ；（2） ； （3） ， ， ， ， 原式 ． 13．阅读材料：我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体， 则 ，“整体思想”是中学教学课题中的一种 重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）尝试应用：把 看成个整体，合并 的结果是 ； （2）已知 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为： ； （2） ． 14．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下 面问题 （ 1 ） 已 知 ， ， 求 当 时 的 值 ； 提 示 ： （2）若代数式 的值为8，求代数式 的值 （3）已知 ，求代数式 的值．【解答】解：（1） ， ， ， 即 ， 当 时， ； （2） 代数式 的值为8， ， ， ； （3） ， ． 15．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下 面问题． （1）已知 ， ，求当 时 的值． 提示： （2）若代数式 的值为8，求代数式 的值．提示：把 变形为含有 的形式． （3）已知 ，求代数式 的值． 提示：把 和 当做一个整体． 【解答】解：（1） ， ， ， 当 时，原式 ； （2）根据题意得： ，即 ， 则原式 ； （3）根据题意得： ， 则原式 ． 16．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下 面问题． （1）已知 ， ，求当 时 的值． 提示： ． （2）若代数式 的值为8，求代数式 的值． 提示：把 变形为含有 的形式． （3）已知 ，求代数式 的值． 提示：把 和 当做一个整体；由已知得 ，代入 ． 【解答】解：（1） ，； 当 时，上式 ； （2） ， 已知 ，得 上式 ； （3）原代数式 ，由已知得 ， 所以原式 ． 17．用整体思想解题： （1）已知 ， ，求当 时 的值． （2）若代数式 的值为8，求代数式 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 当 时， ； （2） 代数式 的值为8， ， ． 18．阅读材料：我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体， 则 ．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把 看成一个整体，合并 的结果是 ； （2）已知 ，则 ； （3）（A）当 时，代数式 的值是7，则当 时，这个代数式的值 ． （B）已知 ， ， ，求 ． 【解答】解：（1）原式 ， 故答案为： ； （2） ， 原式 ， 故答案为： ； （3）（A）当 时， ， ， 当 时，原式 ， 故答案为：1； （B） ， ， ， 原式 ， 即 的值为8．