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专题15 点坐标规律探究
1．如图，每个小方格边长为 1，已知点 ， ， ， ， ，
， ， ，
（1）将图中的平面直角坐标系补画完整；
（2）按此规律，请直接写出点的坐标： ， ；
（3）按此规律，则点 的坐标为 ．
2．小明设计了如下一个小程序，用户运行此程序时，先在第一象限内任取一个点 ，程序就会在
该点的右上方按逆时针方向画一个长方形 （包含可能出现正方形的情况），且水平边
的长等于这一点的横坐标，竖直边 的长等于这一点的纵坐标，称此长方形为“程序长方形”．
（1）图1所示的五个长方形，记为图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，其中程序长方形是 ，程序长
方形最初所取点 的坐标为 ．
（2）如图2，小明在第一象限画了10个整点（即横、纵坐标都为整数的点） ， ， ， ，
，程序相应地可画出10个长方形．
实验探究：
①在射线 上任取一点（不同于点 ，则该点所对应的程序长方形的水平边与竖直边的长度之
比等于 ．
②在直线 位于第一象限的部分上任意取几个点，写出这些点所对应的程序长方形的一条共同特征；
③记点Ⅰ所对应的程序长方形的面积为 ．若要画一个整点 ，使它对应的程序长方形的面积小
于 且周长尽可能大，直接写出点 的坐标．
3．在平面直角坐标系中，点 从原点 出发，沿 轴正方向按折线不断向前运动，其移动路线如
图所示．这时点 ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， 按照这
个规律解决下列问题：
（1）写出点 ， ， ， 的坐标；
（2）点 和点 的位置分别在 ， ．（填 轴上方、 轴下方或 轴上）
4．综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点 ， ， ， ，连接 ，， ， ， ，并依次取 ， ， ， ， 的中点 ， ， ， ， ，分
别写出 ， ， ， 的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：
若线段 两端点坐标分别为 ， 、 ， ，线段 的中点是 ， ，请用等式表
示你所观察的规律 ，并用 ， 的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标为 ；
②已知点 是线段 的中点，且点 ， ，求点 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 、点 的坐标为 、点 的坐标为 、
，过点 、 、 、 别作 轴垂线，交直线 于点 、 、 、 ，△ 覆盖的整
点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为 ，面积的值记为 ；△ 覆盖的整点的个数记
为 ，面积的值记为 ；△ 覆盖的整点的个数记为 ，面积的值记为 ；（1）由题意可知： 、 ； 、 ； 、 ；则 、 ；
（2） ；
（3） 的值是否会等于2022？若能，请求出 的值，若不能，请说明理由．
【注：连续 个正整数和的计算公式： 】
6．在平面直角坐标系中， 蚂蚁从原点 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，
每次移动1个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标： ， ， ， ；
（2）写出点 的坐标 是正整数） ， ；
（3）求出 的坐标．
7．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 轴或 轴平行，从内到外，它们的边长依
次为2、4、6、8、 ，顶点依次用 、 、 、 、 表示．
（1）请直接写出 、 、 、 的坐标；
（2）根据规律，求出 的坐标．8．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移
动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标： ， ， ．
（2）写出点 的坐标 为正整数） ．
（3）蚂蚁从点 到点 的移动方向是 ．（填“向上”、“向右”或“向下”
9．已知整点（横纵坐标都是整数） 在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字
型跳跃）．例如在图1中，从点 做一次“跳马运动”，可以到点 ，也可以到达点 ．设 做
一次跳马运动到点 ，做第二次跳马运动到点 ，做第三次跳马运动到点 ， ，如此依次进行．（1）若 ，则 可能是下列的点 ．
； ； ．
（2）已知点 ， ，则点 的所有可能坐标为 ；
（3）若 ，则 、 可能与 重合的是 ．
（4）如图2，点 沿 轴正方向向右上方做跳马运动，若 跳到 位置，称为做一次“正横
跳马”；若 跳到 位置，称为做一次“正竖跳马”．当点 连续做了 次“正横跳马”和 次
“正竖跳马”后，到达点 ，求 的值．
10．已知整点 在平面直角坐标系内做“跳马运动”（也就是中国象棋式“日字”型跳跃）．例
如，在下图中，从点 做一次“跳马运动”可以到点 ，但是到不了点 ．
设 做一次跳马运动到点 ，再做一次跳马运动到点 ，再做一次跳马运动到点 ， ，如此
继续下去
（1）若 ，则 可能是下列哪些点 ；
； ； ；
（2）已知点 ， ，则点 的坐标为 ；
（3） 为平面上一个定点，则点 、 可能与 重合的是 ；
（4） 为平面上一个定点，则线段 长的最小值是 ；
（5）现在 ，规定每一次只向 轴的正方向跳跃，若 ，则 ， ， ， 点的
纵坐标的最大值为 ．11．如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成△ ，第二次将△ 变换成△ ，
第三次将△ 变换成△ ，已知： 、 、 、 、 、
、 、 ．求：
（1） 、 点的坐标；
（2） 、 点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 ， 分别落
在点 ， 处，点 在 轴上，再将△ 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 在 轴
上，将△ 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 在 轴上，依次进行下去 若点
， ， ，则点 的坐标是什么？
13．一个质点在第一象限及 轴、 轴移动，在第一秒时，它从原点移动到 ，然后按着下列左图中箭头所示方向移动，即 ， ， ， ， ，且每秒移动1个单位．
（1）该质点移动到 的时间为 秒，移动到 的时间为 秒，移动到 的时间为
秒， ，移动到 的时间为 秒．
（2）该质点移动到 的时间为 秒．
14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，
依次得到点 ， ， ， ， ，
（1）填写下列各点的坐标： ， 、 ， 、
（2）写出点 的坐标 是正整数）；
（3）点 的坐标是 、 ；
（4）指出动点从点 到点 的移动方向．
15．每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中．
（1）写出图中从原点 出发，按箭头所指方向先后经过的 、 、 、 、 这几个点的坐标；
（2）按图中所示规律，找到下一个点 的位置并写出它的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成△ ，第二次将△ 变换成△
，第三次将 变换成△ ；已知变换过程中各点坐标分别为 ， ，
， ， ， ， ， ．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△ 变换成△ ，
则 的坐标为 ， 的坐标为 ．
（2）按以上规律将 进行 次变换得到△ ，则 的坐标为 ， 的坐标为 ；
（3）△ 的面积为 ．
17．已知：如图， ， ， ， ，
（1）继续填写： ， ， ， ， ，
（2）试写出点 ，18．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与 轴
正半轴的交点依次记作 ， ， ，图形与 轴正半轴的交点依次记作 ，
， ，图形与 轴负半轴的交点依次记作 ， ， ，图形与 轴
负半轴的交点依次记作 ， ， ，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标： ， ， ， ；
（2）请分别写出下列点的坐标： ， ， ， ；
（3）请求出四边形 的面积．
19．如图，在平面直角坐标系中，第一将 变成△ ，第二次将△ 变换成△ ，
第三次将△ 变换成△ 已知 ， ， ， ， ， ，， ．
（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△ 变换成△ ，则
的坐标是 ， 的坐标是 ；
（2）若按第（1）题找到的规律将 进行 次变换，得到△ ，比较每次变换中三角形顶
点坐标有何变化，找出规律，推测 的坐标是 ， 的坐标是 ．
（3）在前面一系列三角形变化中，你还发现了什么？
20．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形 变换成三角形 ，第二次将三角形
，变换成三角形 ，第三次将三角形 变换成三角形 ，已知 ，
， ， ； ， ， ， ．
（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形 变换成
，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（2）若按（1）题找到的规律，将三角形 进行 次变换，得到三角形 ，则点 的坐标
是 ， 的坐标是 ．21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如 ，
， ， ， ， ， 根据这个规律，第100个点的坐标为 ．
