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专题 2.1 认识实数
1. 理解无理数和实数的概念，明白实数是有理数和无理数的统称，能准确判断一个
数是有理数还是无理数。
2. 掌握实数的分类方法，可按定义（有理数、无理数）和性质（正实数、0、负实数
教学目标
）对实数进行分类，体会分类思想。
3. 了解实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上表示部分简单无理数，感受数形结
合思想。
1.重点
（1）无理数和实数概念的建立，通过丰富实例让学生理解无理数无限不循环的本质
特征。
教学重难点 （2）掌握实数的分类，包括按定义和性质分类 ，能清晰对给定实数进行归类。
2.难点
（1）深入理解无理数概念，无理数较为抽象，从其产生背景、与有理数区别等多方
面引导理解。（2）领会实数与数轴上点一一对应的关系 ，借助具体例子和图形，帮助学生体会这
种抽象对应。
知识点01 无理数
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根
号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
【即学即练】在实数 ， ， ， ， （两个 之间依次多一个 ）， ， 中，无
理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】无理数
【分析】此题考查无理数的定义，解题关键在于掌握无理数为开方开不尽的数，以及像
（两个 之间依次多一个 ），等有这样规律的数．
无理数：无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义依次判断即可；
【详解】解：上述数中，是无理数的有： （两个 之间依次多一个 ）， ， ，共 个；
故选：C．
知识点02 实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
实数 实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【即学即练】把下列各数的序号填在相应的横线上：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧0，⑨ （每两个1之间依次多一
个0）．
整数 _______________；
负分数 _____________；
无理数 _____________．
【答案】①④⑧；③⑥；②⑦⑨
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查实数的分类，根据实数的分类即可求得答案．
【详解】解：整数：①④⑧；
负分数：③⑥；
无理数：②⑦⑨；
故答案为：①④⑧；③⑥；②⑦⑨．
题型01 无理数的概念
【典例1】下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数定义：无限不循环小数或无法表示为分数的数，熟记无理数
定义是解决问题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为分数的数即
可得到答案．
【详解】解：A、 是分数，属于有理数，不符合题意；
B、 中， 是无理数，有理数 与无理数 相乘仍为无理数，符合题意；
C、 是无限循环小数，可化为分数 ，属于有理数，不符合题意；
D、 ，是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B．0.3 C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为
有理数或无理数．
【详解】A、 ，是整数，属于有理数，不符合题意；
B、 是有限小数，可表示为分数 ，属于有理数，不符合题意；
C、 是分数，属于有理数，不符合题意；
D、 是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
故选：D．
【变式2】在实数： ， ，3， ， ， （相邻每个1之间依次多一个0）， 中，
无理数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义．
根据无理数的定义（无限不循环小数）逐一判断各数是否为无理数．
【详解】解： （即 ）：有限小数，属于有理数；
：整数，属于有理数；
3：整数，属于有理数；
：化简为 ， 是无理数，故 为无理数；
： 是无理数，减去有理数2仍为无理数；
（无限不循环）：符合无理数定义；
：有限小数，可化为分数 ，属于有理数；
综上，无理数共3个，
故选：A．
题型02 无理数的大小估算
【典例2】下列各数，比 大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算 和 的大小，再比较即可求解，掌握实数的大小比较方
法是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，∴比 大的是 ，
故选： ．
【变式1】估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过估算 的值，再减去
2，确定结果所在区间．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的值应在2和3之间；
故选B．
【变式2】如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．
设点 表示的数为 ，根据点 在数轴上的位置，判断出 的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即
可．
【详解】解：设点 表示的数为 ，由图可知： ，
，即： ，故选项A符合题意；
∵ ，即： ，故选项B不符合题意；
∵ ，即： ，故选项C不符合题意；
∵ ，即： ，故选项D不符合题意；
∵故选：A．
题型03 实数概念理解
【典例3】已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数 ；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】实数与数轴、实数概念理解
【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的
概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．
【详解】解：数轴上除了 还能表示有理数与其它无理数，故①错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；
实数与数轴上的点一一对应，故③正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，
∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误．
∴正确的是②③共2个．
故选：B．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、 和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【知识点】实数的分类、实数概念理解
【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可．
【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意；
B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意；
C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意；
D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意；
故选：D．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
【答案】C
【知识点】实数概念理解、实数与数轴
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数 和 ，它
们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．
题型04 实数的分类
【典例4】把下列各数分别填在相应的括号内：（相邻两个3之间1的个数依次增加1）， ．
整数：{ …}；
有理数：{ …}；
无理数：{ …}．
【答案】 …； …； （相邻两个3之间1的个
数依次增加1），…．
【分析】本题考查了实数的分类.
分别根据整数、有理数、无理数的定义作答即可.
【详解】解：
整数：{ …}；
有理数：{ …}；
无理数：{ （相邻两个3之间1的个数依次增加1），…}．
【变式1】把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
① ，② ，③ ，④ （相邻两个1之间依次增加一个1），⑤ ，⑥ ，
⑦ ，⑧ ．
整数：{ …}；
非负实数：{ …}；
无理数：{ …}．
【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤
【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理
数的概念．
根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可．
【详解】解：整数：{①，⑧…}；
非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}；
无理数：{②，④，⑤…}．
【变式2】把下列各数填入相应集合的括号内
， ， ，3.14， ， ， ， ，2.13133133313…（相邻两个1之间的3的个数逐次加
1）
正分数集合：{_________…}；
负有理数集合：{_________…}；无理数集合：{_________ …}
【答案】3.14， ； ， ， ； ， ，2.13133133313…
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有
理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分
为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此解答即可．
【详解】解： ，
正分数集合：{ 3.14， ，…}；
负有理数集合：{ ， ， ，…}；
无理数集合：{ ， ，2.13133133313…，…}．
题型05 实数的性质
【典例5】实数 的相反数为 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的相反数， 的相反数是 ，据此求解．
【详解】实数 的相反数为 ，
故答案为： ．
【变式1】实数 的绝对值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案．
【详解】解：实数 的绝对值为 ．
故答案为： ．
【变式2】 的相反数是 ，绝对值是 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根
据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值．
【详解】解： 的相反数是 ；
的绝对值是 ．
故答案为： ， ．
题型06 实数的数轴【典例6】如图，数轴上的点 表示的数为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出 的长，即可得到 的长，再根
据数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：如图，
，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】如图，在数轴上，点 表示的数为 ， 垂直数轴， ，连接 ，以点 为圆心，
长为半径作弧，交数轴的正半轴于点 ，则点 表示的实数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定 ， ，
再根据勾股定理求出 ，即可得答案．
【详解】解：由题意可知 ， ，
根据勾股定理，得 ，
点 在正半轴，且
点 对应的实数为 ，
故答案为： ．
【变式2】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是 的正方形网格上的格点，以点A为圆心，
长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴，直接利用勾股定理得出 的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：由图知， ，
∴ 是直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴N点所表示的数为： ．
故答案为： ．
题型07 实数的大小比较
【典例7】比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的大小比较．利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键．因为两
个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为： ．
【变式1】比较大小： ．(填“ ”“ ”或“ ”)
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】比较大小： （选填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】【分析】本题考查了实数的大小比较，正确估算出 的取值是解题关键．先判断出 ，即可判
断出 ，问题得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为：
一、单选题
1．在实数 ， ， ， 中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的方法．
比较四个实数的大小，先区分正负，再比较负数的大小．
【详解】解：根据正数大于0,0大于负数，两负数比较，绝对值大的反而小得，
，
所以，最小的是 ，
故选：D．
2．如图所示，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴的认识与无理数的估算，正确分析数轴的单位长度以及点A的位置是解决本题的
关键．
首先观察数轴可知数轴的单位长度为“1”，再根据点A的位置位于 与 之间的位置确定范围并比较无
理数的大小即可．
【详解】解：观察数轴可知，数轴的单位长度为“1”，
且点A的位置位于 与 之间，
因为 ，
所以可得 ，
再由不等式的变号规则可知， ，
所以数轴上点 表示的数可能是 ．故选：A ．
3．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即 （ 为“勾”， 为
“股”， 为“弦”）若“勾”为 ，“股”为 ，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ）
A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，实数与数轴，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式
计算后估算其大小，然后确定其在数轴上的位置即可．
【详解】解：若“勾”为 ，“股”为 ，则 ，
，
，
则“弦”在如图所示数轴上可表示在 点，
故选：C．
4．下列各数中： （3和3之间的0的个数依次增加1个）， ，无理
数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解： ， ， ，
∴ 、 、 是整数， 是分数， 是小数，它们不是无理数；
， （3和3之间的0的个数依次增加1个）， 是无限不循环小数，它们是无理数，一共
3个；
故选：D．
5．下列判断正确的是（ ）
A． 是分数，是有理数 B． 是整数，是有理数
C． 是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数
【答案】B
【分析】本题考查有理数与无理数的定义．逐一分析各选项中的数是否属于所述类别，结合有理数与无理
数的定义判断正误．【详解】解：A． 是无理数，其除以2仍为无理数，故不是有理数，判断错误．
B． ，是整数且属于有理数，判断正确．
C． 是分数，属于有理数，判断错误．
D．3.1415926是有限小数，属于有理数，判断错误．
故选：B．
二、填空题
6．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】＞
【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、平方
法等．
首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【详解】解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：>．
7．小于 的所有正整数和是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握用逼近法估算无理数的大小是解题的关键．
由 ，可得出小于 的正整数有：1、2、3、4，将其相加即可得出结论．
【详解】解： ，
介于4和5之间，
小于 的正整数有：1、2、3、
故答案为：
8．如图，点 表示的实数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理求数轴上的点表示的数．由勾股定理求出 ，即可得到点 表示的实
数．
【详解】解：如图，可知 ，
∴ 表示的实数是 ，
故答案为： ．
9．在实数 ， ， ，0， ， ， ， ， 无理数有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了无理数的定义，求算术平方根．
根据无理数的定义作答即可．
【详解】解：在实数 ， ， ，0， ， ， ， ， 无理数有
， ， 共3个，
故答案为：3．
10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点 处，记 右侧最近的整数点为
．以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，记 右侧最近的整数点为 ；以点 为圆心，
为半径画半圆，交数轴于点 ，…，如此继续，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变
化规律是解题的关键．利用 表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算 、
、……，得出规律即可解决．
【详解】解：由题意得，点 表示的数为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 表示的数为2，
∴ ，
则 表示的数为 ，
∵ ，∴ ,
∴ ，
∴ 表示的数为3，
∴ ，
同理可得 ；
；
；
……，
以此类推可得，当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（1）比较 与 的大小；
（2）比较 与 的大小
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了实数的大小比较．
（1）先确定 的范围，再确定 的范围，即可比较；
（2）先确定 和 的范围，即可比较．
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为 ， ，所以 ．
12．如图，数轴上表示 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C
所表示的数为x．
(1)写出实数x的值．
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了实数与数轴．
（1）先求出 ，再根据点B到点A的距离与点C到点O的距离相等作答即可；
（2）将 代入 计算即可．
【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1，
，
∵点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，
；
（2）解：
13．把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；② ；③0；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
；⑧ ；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
(1)正无理数集合：{____________…}；
(2)负无理数集合：{____________…}；
(3)整数集合：{____________…}；
(4)正实数集合：{____________…}；
(5)负实数集合：{____________…}．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数统称为实数，是解题的关键：
（1）根据正无理数是大于0的无限不循环小数，作答即可；
（2）根据负无理数是小于0的无限不循环小数，作答即可；
（3）根据整数包括正整数，负整数和0，作答即可；
（4）根据正实数包括正有理数和正无理数，作答即可；
（5）根据负实数包括负有理数和负无理数，作答即可；
【详解】（1）解：正无理数集合：{ …}；
（2）负无理数集合：{ …}
（3）整数集合：{ …}
（4）正实数集合：{ …}；
（5）负实数集合：{ …}．
14．（1）如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表
示两个数为：_______、_______．
（2）利用如图所示 方格，请画出顶点在格点上且边长为无理数的2个正方形．
【答案】（1） ， ；（2）见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键．
（1）利用勾股定理求出 的长，再确定弧与数轴的交点表示的数即可；
（2）在方格中画出边长为 和 的正方形即可．
【详解】解：（1）∵正方形的边长为1，
∴ ，
∴ ，
∴点B表示的实数为 ，点D表示的实数为 ；
故答案为： ， ．
（2）如图：正方形 即为所求．15．现有五个实数： ， ， ， ，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D
(1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________；
(2)①用圆规在数轴上精确地表示出 （提示：注意观察正方形 的面积）；
②将上述五个数按从小到大的顺序用“ ”连接
【答案】(1) ； ；
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较大小，解题的关键是熟练掌握实数与数轴．
（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可；
（2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以 的长为半径画弧，则
此弧与数轴正方向的交点所表示的数为 ；
②利用数轴上点的特点进行解答即可．
【详解】（1）解：点A表示数为 ；点B表示数为 ；点D表示数为 ．
故答案为： ； ； ．
（2）解：①如图，
∵正方形的面积为： ，∴正方形的边长 ；
②根据数轴可得， ．
16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，
也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷．
【数学应用】
（1）在如图1的数轴上作出表示 的点；
【生活应用】
（2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，水平距离
，踏板离地的垂直高度 ，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）取表示数4的点，过该点作垂线，截取长度为1的线段，然后构造直角三角形，则斜边由勾股定理可
得为 ，然后再以表示数0的点为圆心， 为半径画弧与数轴相交即可得到数为 的点；
（2）设秋千绳索 的长为 由题意，可得 ，由题意，四边形 为矩形，则
， ， ，然后对 应用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，点 即为所作；
（2）解：设秋千绳索 的长为 ，由题意，可得 ，四边形 为矩形， ，
， ，
，在 中，
解得，
答：秋千绳索 的长为 ．
