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专题 2.1 认识实数
1. 理解无理数和实数的概念，明白实数是有理数和无理数的统称，能准确判断一个
数是有理数还是无理数。
2. 掌握实数的分类方法，可按定义（有理数、无理数）和性质（正实数、0、负实数
教学目标
）对实数进行分类，体会分类思想。
3. 了解实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上表示部分简单无理数，感受数形结
合思想。
1.重点
（1）无理数和实数概念的建立，通过丰富实例让学生理解无理数无限不循环的本质
特征。
教学重难点 （2）掌握实数的分类，包括按定义和性质分类 ，能清晰对给定实数进行归类。
2.难点
（1）深入理解无理数概念，无理数较为抽象，从其产生背景、与有理数区别等多方
面引导理解。（2）领会实数与数轴上点一一对应的关系 ，借助具体例子和图形，帮助学生体会这
种抽象对应。
知识点01 无理数
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根
号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
【即学即练】在实数 ， ， ， ， （两个 之间依次多一个 ）， ， 中，无
理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
知识点02 实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
实数 实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【即学即练】把下列各数的序号填在相应的横线上：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧0，⑨ （每两个1之间依次多一
个0）．
整数 _______________；
负分数 _____________；
无理数 _____________．题型01 无理数的概念
【典例1】下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B．0.3 C． D．
【变式2】在实数： ， ，3， ， ， （相邻每个1之间依次多一个0）， 中，
无理数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型02 无理数的大小估算
【典例2】下列各数，比 大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式2】如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
题型03 实数概念理解
【典例3】已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数 ；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、 和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数题型04 实数的分类
【典例4】把下列各数分别填在相应的括号内：
（相邻两个3之间1的个数依次增加1）， ．
整数：{ …}；
有理数：{ …}；
无理数：{ …}．
【变式1】把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
① ，② ，③ ，④ （相邻两个1之间依次增加一个1），⑤ ，⑥ ，
⑦ ，⑧ ．
整数：{ …}；
非负实数：{ …}；
无理数：{ …}．
【变式2】把下列各数填入相应集合的括号内
， ， ，3.14， ， ， ， ，2.13133133313…（相邻两个1之间的3的个数逐次加
1）
正分数集合：{_________…}；
负有理数集合：{_________…}；
无理数集合：{_________ …}
题型05 实数的性质
【典例5】实数 的相反数为 ．
【变式1】实数 的绝对值为 ．
【变式2】 的相反数是 ，绝对值是 ．
题型06 实数的数轴
【典例6】如图，数轴上的点 表示的数为 ，则 ．
【变式1】如图，在数轴上，点 表示的数为 ， 垂直数轴， ，连接 ，以点 为圆心，
长为半径作弧，交数轴的正半轴于点 ，则点 表示的实数为 ．【变式2】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是 的正方形网格上的格点，以点A为圆心，
长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 ．
题型07 实数的大小比较
【典例7】比较大小： ．
【变式1】比较大小： ．(填“ ”“ ”或“ ”)
【变式2】比较大小： （选填“ ”，“ ”或“ ”）．
一、单选题
1．在实数 ， ， ， 中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即 （ 为“勾”， 为
“股”， 为“弦”）若“勾”为 ，“股”为 ，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ）
A． 点 B． 点 C． 点 D． 点4．下列各数中： （3和3之间的0的个数依次增加1个）， ，无理
数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列判断正确的是（ ）
A． 是分数，是有理数 B． 是整数，是有理数
C． 是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数
二、填空题
6．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
7．小于 的所有正整数和是 ．
8．如图，点 表示的实数是 ．
9．在实数 ， ， ，0， ， ， ， ， 无理数有 个．
10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点 处，记 右侧最近的整数点为
．以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，记 右侧最近的整数点为 ；以点 为圆心，
为半径画半圆，交数轴于点 ，…，如此继续，则 的长为 ．
三、解答题
11．（1）比较 与 的大小；
（2）比较 与 的大小
12．如图，数轴上表示 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C
所表示的数为x．
(1)写出实数x的值．(2)求 的值．
13．把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；② ；③0；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
；⑧ ；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
(1)正无理数集合：{____________…}；
(2)负无理数集合：{____________…}；
(3)整数集合：{____________…}；
(4)正实数集合：{____________…}；
(5)负实数集合：{____________…}．
14．（1）如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表
示两个数为：_______、_______．
（2）利用如图所示 方格，请画出顶点在格点上且边长为无理数的2个正方形．
15．现有五个实数： ， ， ， ，4．其中四个数分别对应如图所示数轴上的点A，B，C，D
(1)点A表示数___________；点B表示数___________；点D表示数___________；
(2)①用圆规在数轴上精确地表示出 （提示：注意观察正方形 的面积）；
②将上述五个数按从小到大的顺序用“ ”连接
16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，
也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷．
【数学应用】
（1）在如图1的数轴上作出表示 的点；【生活应用】
（2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，水平距离
，踏板离地的垂直高度 ，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索 的长．
