文档内容
专题2.1 认识一元二次方程
【学习目标】
1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识；
2.理解方程的解的概念；经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义；
3.会估算一元二次方程的解；
4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，
了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
【知识梳理】
1）一元二次方程的概念
ax2 +bx+c=0(a≠0)
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形
式，这样的方程叫做一元二次方程。
2）一元二次方程的一般形式：
ax2 +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
3）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
注意：一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。常考点:利用根的概念求代数式的值；
4）一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使 ，一个使 ，则一
ax2 +bx+c=0
元二次方程 的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
【高频考点精讲】
【高频考点1】判断一元二次方程的个数
例1.（2022·成都市九年级年级专题练习）下列关于 的方程：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ，其中一元二次方程的个数是（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】依据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+ =6＝6是分式方程，不是一
元二次方程；
③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x−1）＝x2＋4x，整理后不
含x的二次项，不是一元二次方程．故选A．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2
变式1.（2022•仓山区九年级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+ −4＝0；
x
③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
2
②x2+ −4＝0属于分式方程；
x
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；
④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫
做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题
过程中容易忽视的知识点．
【高频考点2】利用一元二次方程的概念求字母的值
例2.（2022·台州市九年级月考）如果关于 的方程 是一元二次方程，
那么 的值为：（ ）
A． B． C． D．都不是
【答案】C
【分析】据一元二次方程的定义得到m-3≠0且m2-7=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件
的m的值．
【详解】解：根据题意得m-3≠0且m2-7=2，解得m=-3．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整
式方程叫一元二次方程．
变式1.（2022·重庆初三课时练习）若关于x的方程 是一元二次方程，
则m的取值范围是_________．
【答案】 且
【分析】利用一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件判断即可确定出m的范围．
【解析】由题意，得 ，且 ，所以 且 ，故答案是： 且 ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元
二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高
次数是2．
【高频考点3】一元二次方程的一般形式例3.（2022·河南郑州·九年级期中）已知一元二次方程 的常数项为4，则二次项系
数和一次项系数分别为（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【详解】解：一元二次方程3x2=-4+2x化为一般形式可得：3x2-2x+4=0，
∴二次项系数、一次项系数分别为：3，-2．故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，
都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；
c叫做常数项．
变式1．（2022·湖北初三月考）已知一元二次方程 ，若把二次项系数变为正数，
且使得方程根不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将方程的两边同时乘以 ，可以把二次项系数化成正数且使得方程根不变.
【解析】将方程的两边同时乘以 ，
得： 故选：B.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式和等式的基本性质：①等式两边同时加上相等的
数或式子，两边依然相等；②等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等；③等
式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.熟练掌握等式的基本性质是关键.
1
变式2．（2022•河南九年级月考）将一元二次方程 x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一
3
般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【分析】首先把方程化成一般式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．
1
【解答】解： x（x﹣2）＝5，
3
1 2
x2− x﹣5＝0，
3 3
x2﹣2x﹣15＝0，
二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣15，
故答案为：x2﹣2x﹣15＝0；1；﹣2；﹣15．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于 x的一元二次方程
经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【高频考点4】利用一元二次方程的解求字母的值
例4.（2021·江苏常州市·九年级一模）若 是关于 的方程 的一个解，则的值为_______．
【答案】
【分析】把x=2代入方程2x2-mx+1=0列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【详解】解：依题意，得2×22-2m+1=0，解得：m= ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边
相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
变式1.（2022·河南九年级期中）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，
则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得﹣a2+4＝0，解得a＝±2，然后
根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，所以a的值为﹣2．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的 定义以及一元二次方程的根，掌握以上定义的解题的关键．
【高频考点5】利用一元二次方程的解求代数式的值
例5.（2021春•招远市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（
）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【分析】根据m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，
∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，
∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．
1
变式1.（2022•阜阳月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2− −a的值
a
为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
1
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a2﹣3a+1＝0，两边除以a得到a+ =3，然后利用整体
a
代入的方法计算．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴a2﹣3a+1＝0，
1 1 1 1
∵a≠0，∴a﹣3+ =0，即a+ =3，∴2− −a＝2﹣（a+ ）＝2﹣3＝﹣1．故选：B．
a a a a【点睛】本题考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
变式2.（2022•平邑县九年级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为
（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
【分析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的解的知识，解题关键是把a的值代入原方程，从中获取代数式a2
﹣1的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
【高频考点6】赋值法求一元二次方程的定根（特征根问题）
.例 5．（2022·安徽合肥市·九年级期中）若方程 中， 满足
和 ，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵ ，把 代入得： ，即方程的一个解是
，
把 代入得： ，即方程的一个解是 ；故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的
关键．
变式1．（2022·浙江江干初二期中）若 则关于x的方程 的
解是___________.
【答案】 或
【分析】由 ，即可得到方程的解．
【解析】解：
令 时，有 ；令 时，有 ；∴ ，
则关于x的方程 的解是： 或 ；故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解进行解题．变式2．（2022·浙江诸暨初二月考）已知关于 的方程 的系数满足
，我们把这样的方程称为“西施”方程．已知“西施”方程
的一个根是另一个根的3倍，则这个方程的两个根是_____．
【答案】﹣1、﹣3或﹣1、﹣ ．
【分析】根据题意得到原方程的一个根是x＝﹣1，由“西施”方程ax2+bx+c＝0的一个根是另一个
根的3倍得到该方程的另一个根．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．
又∵“西施”方程ax2+bx+c＝0的一个根是另一个根的3倍，∴这个方程的另一根为﹣3或﹣ ．
综上所述，该方程的两个根是﹣1、﹣3或﹣1、﹣ ．故答案为：﹣1、﹣3或﹣1、﹣ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意，该题中根据限制性条件“西施”方程
ax2+bx+c＝0的一个根是另一个根的3倍”可以得到该方程的另一根有2个值．
【高频考点7】 一元二次方程的近似解（根）问题
例7．（2022·浙江·衢州市九年级阶段练习）下表是用计算器探索函数y＝2x2﹣2x﹣10所得的数
值，则方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
x ﹣2.1 ﹣2.2 ﹣2.3 ﹣2.4
y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56
A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41
【答案】C
【分析】根据表可得，方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个解应在﹣2.3与﹣2.4之间，再由y的值可得，
它的根近似的看作是﹣2.3．
【详解】∵当x＝﹣2.3时，y＝﹣0.11，当x＝﹣2.4时，y＝0.56，则方程的根﹣2.3＜x＜﹣2.4，
∵|﹣0.11|＜|0.56|，∴方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为x≈﹣2.32．故选：C．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是看y值的变化．
变式1. （2022·山西太原·九年级期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时，小明所
在的小组采用了赋值法，计算结果如表：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位是 ___．
【答案】1【分析】由表格可知当 时， ； 时， ，故方程
的一个解在1.1和1.2之间，即可得出答案．
【详解】由表可知，当x取1.1与1.2之间的某个数时， ，即此时这个数是方程的一个解，
∴方程的一个解x的取值范围是 ．故答案为1．
【点睛】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本
题的关键．
【能力提升】
一．选择题
1.（2022·成都市八年级年级专题练习）下列关于 的方程：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ，其中一元二次方程的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】依据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+ =6＝6是分式方程，不是一
元二次方程；
③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x−1）＝x2＋4x，整理后不
含x的二次项，不是一元二次方程．故选A．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2022·上海九年级专题练习）下列方程中，常数项为0的是（ ）
A． x2+x+1=0 B．2x2-x-12=12 C． D．
【答案】D
【分析】要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式．
【详解】A、x2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；B、2x2-x-24=0，常数项为-24，
故本选项不符合；
C、2x2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；D、2x2-x=0，常数项为0，故本选项符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意一元二次方程的一般形式是：a +bx+c=0
（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一
般形式中 叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系
数，常数项．
3．（2022·杭州市 八年级期中）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝
2019，则一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1得到at2＋bt＋2＝0，利
用at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2＋b
（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．
【详解】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1，所以at2＋bt＋2＝
0，
而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，
所以at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019，则x﹣1＝2019，解得x＝2020，
所以一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．故选：B．
【点睛】本题考查是一元二次方程的根，考查方程中的整体未知数，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·江苏苏州市·九年级期中）定义运算： ．若a，b是方程的两根，则 的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．2m
【答案】A
【分析】由题意易得 ，进而可得 ，
然后代入求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∵a，b是方程 的两根，∴把a，b代入方程得：
，
∴ ，即 ，
∴ ；故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
5.（2022•黄冈月考）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（
）
1 1
A．2 B．− C．﹣2 D．
2 2
【分析】把x＝﹣2代入原方程得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，然后解关于m的方程即
可．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m
1
＝15，解得m= ．故选：D．
2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．
2020
6.（2022•麦积区九年级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则a2−2019a+
的
a2+1
值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一个根，将x＝a代入方程，得到关于a的等式，变形后
代入所求式子中计算，即可求出值．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
则a2−2019a+ 2020 = 2020a﹣1﹣2019a + 2020 = a﹣1+ 1 = a2+1 −1 = 2020a −1＝2019．
a2+1 2020a a a a
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．7.（2022•余杭区月考）若 a﹣b+c＝0，则一元二次方程 ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是
（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
【分析】由a﹣b+c＝0可知把x换成1成立，则可求得答案．
【解答】解：∵a﹣b+c＝0，∴a×12﹣b×1+c＝0，
∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1，故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
8.（2022•唐山月考）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根
为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定
【分析】由于x＝﹣1时有a+b＝2020，于是可判断此方程必有一根为﹣1．
【解答】解：当x＝﹣1时，a+b﹣2020＝0，则a+b＝2020，
所以若a+b＝2020，则此方程必有一根为﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．
9.（2022•海淀区校级期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样
一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”
其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对
齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好
沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列
方程正确的是（ ）
A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为 x尺，则木
杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由
实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
10．（2022·山东青岛开发区育才中学初三月考）关于 的方程 必有一个
根为（ ）A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【答案】A
【分析】分别把 ， ， ， 代入 中，利用一元二次方程的解，
当 为任意值时，则对应的 的值一定为方程的解.
【解析】解：A、当 是， ，所以方程 必有一个根为
1，所以A选项正确；
B、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为
，所以B选项错误；
C、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为
，所以C选项错误；
D、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根
为 ，所以D选项错误.故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
11．（2022·山东·八年级期末）观察下列表格，一元二次方程 的一个近似解为
（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
【答案】B
【分析】根据表格中的数据，可判断代数式 的值为4.61和4.56时，对应 的值为-1.12
和-1.11，观察原方程可理解为求代数式 的值为4.6时，对应的 的值，由此判断即可．
【详解】解：∵ 时， ； 时， ；
∴ 时，对应 应满足 ，
∴原方程的近似解为：-1.118，故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．
二．填空题
12.（2022•昌图县期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是
．
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．
13.（2022•新都区校级月考）关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，
方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程．
【分析】利用一元二次方程定义和一元一次方程定义进行解答即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣4≠0，
解得：m≠±2，
由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：m≠±2；m＝﹣2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义和
一元一次方程定义．
14.（2022•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项
系数是 ．
【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫
二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括
号，再移项，最后合并即可．
【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，
二次项系数为：6．
故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，可以得到一
元二次方程的一般形式，写出二次项系数．
15.（2022•蜀山区校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的
长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为 ．（方程化为一般
式）【分析】如果设剪去的边长为x，那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×2﹣x2）＝64．
【解答】解：设剪去的边长为x，
那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×2﹣x2）＝64，
化为一般形式为：x2﹣24x+80＝0，故答案为：x2﹣24x+80＝0．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是正确的表示出有关线段的
长，难度不大．
16．（2022·浙江嘉兴初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同
根，则这个共同根是_____．
【答案】x=1
【分析】由题意设公共解，再用②-①得（m+6）（t-1）=0得出t=1.
【解析】由题意设同一共同根为t，则
②-①得（m+6）（t-1）=0 ∴当唯一公共根t=1时，两方程有公共根.
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的意
义.
17．（2021·北京九年级专题练习）已知 是关于 的一元二次方程 的一个
根，若 ，则 的值为____．
【答案】1．
【分析】把x=n代入方程求出mn2-4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【详解】解：把x=n代入方程得：mn2-4n-5=0，即mn2-4n=5，
代入 ，得：5+m=6，解得：m=1．故答案为：1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题
的关键．
1
18.（2022•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+ c＝0，则方程必有一根为
3
．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
1
【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+ c＝0，
3
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：x＝﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二
次方程的解也称为一元二次方程的根．
19．（2022•宝应县月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为
．
【分析】把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0中计算求出
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0得：a﹣b+c﹣1＝0，
把a＝1，b＝4代入得：1﹣4+c﹣1＝0，解得：c＝4，
方程为x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，解得：x ＝x ＝﹣2．故答案为：x ＝x ＝﹣2．
1 2 1 2
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，确定出正确的c值是解本题的关键．
20．（2022·浙江杭州市·八年级期中）若关于 的一元二次方程 有一根为
，则一元二次方程 必有一根为________．
【答案】x=2019
【分析】对于一元二次方程 ，设t=x+1得到at2+bt=1，利用at2+bt-1=0有
一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0必有一根为
x=2019．
【详解】解：对于一元二次方程 ，设t=x+1，所以at2+bt=1，即
at2+bt-1=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at2+bt-1=0有一个根为t=2020，则x+1=2020，解得x=2019，
所以 必有一根为x=2019．故答案为：x=2019．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
三．解答题
21．（2022·灌云县远扬双语学校九年级月考）一元二次方程 有一个解
为0，试求 的值．
【答案】1
【分析】据方程根的意义，把x=0代入方程得到关于m的方程，求出m的值再代入到2m-1中，
问题可解．
【详解】解：∵一元二次方程 有一个根为0，
∴ ，∴m=±1，∵m+1≠0，∴m=1，∴2m-1=2-1=1．
【点睛】此题考查一元二次方程的概念和方程根的概念．其易错点是对于一般形式的一元二次方
程 ，要注意
22．（2021•扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） （m﹣2）x﹣1＝
0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出 m的值，并
解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得 ，可求得m的值，进一步可求出方程的
解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得 ，解得m＝1，
此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x ＝1，x ；
1 2
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x ．
当m2+1＝0时，方程无解．
【点睛】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1＝1的情况．
23．（2022•巢湖市期末）数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，丽丽同学看
错了第②题※中的数，求得①的一个解x＝2，想想同学由于看错了第①题■中的数，求得②的
一个解x＝3．
（1）请写出老师布置的作业① ；② ．
（2）请解答老师布置的第②题作业．
【分析】将x＝2，代入（1）求出第（1）题中※中的数，然后将x＝3代入（2）求出第（2）题
※中的数，然后分别解答即可．
【解答】解：将x＝2，代入①得：（2﹣1）2﹣ ＝0，解得： ＝1，
∴①（x﹣1）2﹣1＝0，
将x＝3代入②得：32﹣3※+12＝0，解得：※＝7，
故答案为：①（x﹣1）2﹣1＝0； ②x2﹣7x+12＝0；
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：先分别求出未知部分，难度不大．
24．（2022•简阳市 月考）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成 ，定义 ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么 22表示的方程是一元
二次方程吗？请写出它的一般形式．
【分析】根据二阶行列式计算方法列出方程．
【解答】解：根据题意，得：（x+1）•2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，
它符合一元二次方程的定义．
【点睛】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，有理数的混合运算，掌握新定
义运算法则是解题的关键．
25.（2022•南岗区校级月考）阅读理解：
定义：如果关于x的方程a x2+b x+c =0（a ≠0，a 、b 、c 是常数）与a x2+b x+c =0
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
（a ≠0，a 、b 、c 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 a +a
2 2 2 2 1 2
＝0，b ＝b ，c +c ＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称
1 2 1 2
方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a ＝2，b ＝﹣3，c ＝1，根据a +a ＝0，b ＝
1 1 1 1 2 1
b ，c +c ＝0，求出a ，b ，c 就能确定这个方程的“对称方程”．
2 1 2 2 2 2
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
