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专题 2.6 一元一次不等式组
典例体系 （本专题共 4 0 题 2 4 页）
一、知识点
1、不等式组中含有一个未知数，并且所含 未知数的项的次数都是 1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。
使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，
叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解
集的过程叫解不等式组。
2、、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些
不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不
等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。
3、确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。
二、考点点拨与训练
考点1：解一元一次不等式组
典例：（2020·浙江八年级期末）解不等式组 ，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
方法或规律点拨
本题考查了不等式组的解法，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上
只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解
集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．巩固练习
1．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）关于 的不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·广西贵港市·八年级期末）下列用数轴表示不等式组 的解集正确的是（ ）
A． B． C．
D．
3．（2021·全国九年级专题练习）不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）不等式组 的解为_____．
5．（2021·湖南娄底市·八年级期末）解不等式组：
6．（2020·浙江八年级期末）解不等式组：
（1） ；
（2） ．7．（2021·浙江金华市·八年级期末）解不等式组 ．
8．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）解下列一元一次不等式组．
9．（2021·湖南怀化市·八年级期末）解不等式（或组）：
（1）
（2）
10．（2021·浙江杭州市·八年级期末）解关于x的不等式组：
考点2：求不等式组的整数解
典例：（2021·湖南怀化市·八年级期末）已知不等式组 ．
（1）解这个不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）若 是这个不等式组的最小整数解，求 的值．
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次不等式组的求解，结合代数式求值是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）不等式组 的最大整数解为__________．
2．（2021·贵州铜仁市·八年级期末）不等式组 的正整数解是______．
3．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）不等式组 的整数解为____________．4．（2021·辽宁本溪市·九年级期末）不等式组 的整数解是_________．
6．（2021·浙江宁波市·八年级期末）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
．
7．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
9．（2021·全国七年级）解不等式组： ，并求出最小整数解与最大整数解的和．
考点3：列一元一次不等式组
典例：试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）不等式的正整数解只有1，2，3；
（2）不等式的整数解只有－2，－1，0，1．
巩固练习
1．（2020·浙江杭州市·九年级一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩
9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的
求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C． D．
2．（2019·浙江杭州市·八年级期末）小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为 ，面积不
小于 ，则宽的长度 应满足的不等式组为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·临沂商城实验学校七年级期末）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商
品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则
下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．120x≥80×5% B．120x﹣80≥80×5%
C．120× ≥80×5% D．120× ﹣80≥80×5%
4．（2019·赤壁市神山中学七年级期末）七年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)
人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（ ）
A．8x769(x1) B．8x739(x1)
C． D．
5．（2019·全国八年级单元测试）某企业次定购买 ， 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下
表：
型 型
价格（万无 台） 12 10
月污水处理能力（吨 月） 200 160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？
这解决这个问题，高购买 型污水处理设备 台，所列不等式组下确是
A． B．
C． D．
6．已知两个语句：
①式子 的值在1(含1)与3(含3)之间；
②式子 的值不小于1且不大于3．
请回答以下问题：
（1）两个语句表达的意思是否一样(不用说明理由)？
（2）把两个语句分别用数学式子表示出来．
考点4：一元一次不等式组的应用
典例：（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业
决定购买A、B两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出136万元购买
设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．
A型 B型
价格（万元/） 15 12
月污水处理能力（吨/月） 250 200
（1）该企业有哪几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱？并说明理由．
方法或规律点拨此题考查方案类不等式组的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意，根据题意列得不等式组是解题
的关键．
巩固练习
1．（2020·福建省惠安第三中学七年级月考）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 ”到“结果是
否 ”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次就停止，那么 的取值范围可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江湖州市·八年级期末）为了美化校园，某学校决定利用现有的332盆甲种花卉和310盆乙种
花卉，搭配A，B两种园艺造型共50个，摆放在校园道路两侧．已知一个A种园艺造型需甲种花卉7盆，
乙种花卉5盆；一个B种园艺造型需甲种花卉6盆，乙种花卉8盆．
（1）问搭配A，B两种园艺造型共有几种方案？
（2）若一个A种园艺造型的成本是200元，一个B种园艺造型的成本是300元，哪种方案成本最低？请写
出此方案．
4．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）“一方有难，八方相助”是中华民族的优良传统．“新冠肺炎”疫情
期间，我市向湖北省某县捐赠A型医疗物资290件和B型医疗物资100件．计划租用甲、乙两种型号的汽
车共8辆运送过去．经了解，甲种汽车每辆最多能载A型医疗物资40件和B型医疗物资10件，乙种汽车
每辆最多能载A型医疗物资30件和B型医疗物资20件．
（1）请你帮助设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲种汽车每辆的运费是1200元，乙种汽车每辆的运费是1000元，这次运送的费用最少需要多少
钱？
5．（2021·四川成都市·八年级期末）2020年12月7日，成都市郫都区新增1例本土新冠肺炎确诊病例，
让全体市民再次加强了疫情防范意识．某单位准备用3000元购买医用口罩和洗手液发放给全体职工，若医
用口罩购买500个，洗手液购买100瓶，则剩余200元；若医用口罩购买800个，洗手液购买80瓶，则还
差40元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）根据疫情防控实际需要，单位决定购买医用口罩500个，洗手液和酒精消毒喷雾共90瓶，若需购买
洗手液的瓶数最多为75瓶且购买酒精消毒喷雾的瓶数不超过洗手液瓶数的 ，酒精消毒喷雾每瓶的单价
是32元，请你设计一种购买方案，要求所花的费用最少，并求出最少费用．
6．（2021·河南郑州市·八年级期末）为了防疫，某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温
枪的单价比乙品牌额温枪的单价低 元，且用 元购买甲品牌额温枪的数量是用 元购买乙品牌
额温枪的数量的 倍．
（1）求甲、乙两种品牌额温枪的单价；（2）若学校计划购买甲．乙两种品牌的额温枪共 个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量
的 倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过 元．设购买甲品牌额温枪 个，总费用为 元，则
该校共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低?最低费用是多少元?
7．（2021·湖南娄底市·八年级期末）某校准备组织290名师生进行野外考察活动，行李共有100件．学校
计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每
辆最多能载30人和20件行李．
（1）设租用甲种汽车 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案．
（2）如果甲、乙两种汽车每辆车的租车费用分别为2500元和2000元，请你选择最省钱的一种方案．
8．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）某商场销售A、B两种型号的计算器，两种计算器的进货价格分别为
每台15元，20元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润38元；销售6台A型号和3台型
号计算器，可获利润6元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？
（2）商场准备用不多于1250元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，且全部售出后至少获利460元．
问：最少需要购进A型号的计算器多少台？最多可购进A型号的计算器多少台？
9．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）筹建中的迪荡中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了
这项生产任务，该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张：生产椅子的必须4人一组，每组每
天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务．
（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅？
（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出
一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案．
10．（2020·盐城市初级中学八年级月考）某商场销售A、B两种自行车，其进价和售价如表：
商品名称 A B
进价（元/辆） 2000 1600
售价（元/辆） 2100 1750
现在商场准备一次性购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润
为y元．
（1）求出y与m的函数关系式；
（2）商场要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13000元，求获利最大
的方案以及最大利润．11．（2021·广东深圳市·深圳外国语学校八年级期末）某商家欲购进甲､乙两种抗疫用品共180件，其进价
和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
（1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲､乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元
一次方程组求解）
（2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货
方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
12．（2020·成都市新都区新川外国语学校八年级月考）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在
分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这
批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D
县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往
E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体
的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
A地 B地 C地
运往D县的费用（元/吨） 220 200 200
运往E县的费用（元/吨） 250 220 210
为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，
该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
13．（2020·四川攀枝花市·九年级二模）某单位欲购办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1
套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两种型号桌椅的单价.
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于60套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌
椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）求出总费用最少的购置方案．
14．（2021·全国八年级）为发展农村经济，修建一批沼气池．某村共264户村民，村里得335200元政府
补助款，不足部分由村民集资，修建A型、B型沼气池共20个，两种沼气池每个的修建费用、修建用地、
可供使用户数情况如表：
沼气池 修建费用（万元/个） 修建用地（m2/个） 可供使用的户数（户/个）A型 3 48 20
B型 2 6 3
已知政府只批给该村沼气池修建用地708m2，设修建A型沼气池x个；修建两种沼气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）既不超过政府批给该村沼气池修建用地，又要使该村每户村民都用上沼气的修建方案有哪几种？
（3）若选择（2）中费用最少的修建方案，平均每户村民应自筹资金多少元？
