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专题 07 一次函数的应用（铅锤法求面积）
【方法说明】
常规图形中： 平面直角坐标系中：
例1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知直线 与x
轴相交于点A与y轴交于点B．
(1)A、B两点坐标分别为________，________；
(2)点 在x轴上，若点P是直线 上的一个动点，当 时，求点P的坐
标．
【答案】(1) ， ；(2) 或
【分析】（1）根据直线 ，令 求出 的值，令 求出 的值，即可得点
、 的坐标；
（2）分类讨论：点 在 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，
列出方程，利用方程求得点 的坐标即可．
【详解】（1）解：对于直线 ，
当 时， ．∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
①当点P在x轴下方时，
，
∴ ，
∵点P在x轴下方，
∴ ，
当 时，代入 得， ，
解得 ．
∴ ；
②当点P在x轴上方时，
，
∴ ，
∵点P在x轴上方，
∴ ．当 时，代入 得， ，
解得 ．
∴ ，
综上所述，满足条件的点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，
题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学
思想的应用是解决问题的关键．
例2．（2022秋·四川成都·八年级统考期中）如图1，已知直线 与y轴、x轴分别
交于 两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰 ， 所在直线为
．
(1)求 两点的坐标；
(2)求C点坐标及b的值；
(3)如图2，直线 交y轴于点D，在直线 上取一点E，使 与x轴相交于
点F．
①求证： ；
②在直线 上是否存在一点P，使 的面积等于 的面积？若存在，直接写出点
P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点 ；
(3)①见解析；②点P的坐标为 或
【分析】（1） 中求出 时y的值和 时x的值即可得；
（2）作 轴，证明 得 ， ，据此可得 ，再
根据待定系数法求解可得；（3）①过点C作 轴于点G，作 轴于点M， 轴于点N，证明
、 ，即可求解；
②当点P在点A的下方时，由 的面积
，即可求解；当点 在点
A的上方时，则点A是点 的中点，即可求解．
【详解】（1）解： 中，当 时， ，
则 ，
当 时， ，解得 ，
则 ；
（2）如图①，过点C作 轴于点D，
则 ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则点 ，
∵直线 所在直线解析式为 ，
将点 代入，得： ，解得 ．
（3）①过点C作 轴于点G，作 轴于点M， 轴于点N，则 ，
∵ ，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图③，作 轴于点H，
由 知 ，即 ，
则 ，
∴ ，
由①知 ，根据 、 得直线 解析式为 ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
设 ，
当P在点A的下方时
则
故
当 在点A的上方时
则点A是点 的中点，
由中点坐标公式得：点P的坐标为
∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、全等
三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及割补法求三角形的面积等知识点．
例3.（2022春·河南南阳·八年级统考期中）如图，一次函数 与两坐标轴分别相交
于点A．B，一次函数 的图象过点B，并与 轴交于点C，AC=10．
(1)求一次函数 的关系式；
(2)点P是一次函数 图象上的动点，设点P横坐标为n，△PBC的面积是S，求S关于n的函数关系式．
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时，
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）画出示意图分三种情况当 时，当 时以及当 时分别求解即可．
（1）
∵直线 经过点A、B
∴A(-2，0)、B(0，4)
∵AC=10
∴C(8，0)
∵一次函数 经过点B、C，
∴
解得
∴ ．
（2）
①当 时，②当 时，③当 时，
∴当 时， ；当 时， ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，直线的交点坐标等知识点，熟练掌
握待定系数法，画出示意图是解题的关键．
例4．（2022春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、
B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB=3．(1)求点A、B的坐标；
(2)如图1，若点C(−2，2)，求三角形ABC的面积；
(3)若点P是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP的面积为 ，求点P坐标．
【答案】(1)A（3，0），B（0，3）；
(2)三角形ABC的面积为 ；
(3)点P坐标为（8，8）或（-5，-5）．
【分析】（1）由OA=OB=3即可得出答案；
（2）找出三角形的底和高，根据三角形面积公式即可得解；
（3）根据点在象限平分线上的特点和三角形面积即可求出点P坐标．
【详解】（1）解：由OA=OB=3，可知：A（3，0），B（0，3）；
（2）解：设AC交y轴于点D，如图．
设直线AC的解析式为y=kx+b，代入点A、C坐标，得：
，
解得： ，
则直线AC解析式为y=- x+ ．
令x=0，则y= ，BD=BO-DO=3- = ，
∴S ABC=S CBD+S ABD= BD•2+ BD•3= × = ；
△ △ △
（3）解：由（2）可知：S AOB= < ，
△
∴点P不在三角形ABO内部．
∵点P在第一、三象限角平分线上，
∴设点P（a，a）．如图.①当P在第一象限时，
S ABP=S PAO+S PBO-S AOB
△ △ △ △
= OA•y + OB•x - OA•OB
p p
= •3a+ •3a- ×3×3= ．
∴a=8，
故P（8，8）；
②当P在第三象限时，
S ABP'=S PAO+S PBO+S AOB
' '
△ △ △ △
= •(−3a)+ •(−3a)+ ×3×3= ．
∴a=-5，
故P'（-5，-5），
综上，点P坐标为（8，8）或（-5，-5）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正比例函数的性质，点的坐标以及三角形面积等知
识，熟练掌握这些是解题的关键．
例5．（2021春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知：如图，直线： 分别交 ，
轴于 、 两点．以线段 为直角边在第一象限内作等腰直角 ， ；直
线 经过点 与点 ，且与直线 在 轴下方相交于点 ．
（1）请求出直线 的函数关系式；
（2）求出 的面积；（3）在直线 上不同于点 ，是否存在一点 ，使得 与 面积相等，如若存在，
请求出点 的坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点 ，使 的面积与四边形 的面积相等？若存在，直
接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，点 坐标为 ；（4）存在， 坐标
为 或 或 ．
【分析】（1）先求得A、B两点坐标，然后过点C作CM⊥x轴于点M，利用AAS可证明
△BOA≌△AMC，确定点C的坐标，再用待定系数法求函数解析式；
（2）联立方程组求得点E的坐标，利用三角形面积公式即可求得面积；
（3）结合两个三角形的面积相等的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求得结果；
（4）易求得四边形ABCD的面积，分点F在x轴或y轴上两种情况，在x轴上又分三种情
况，设点F的坐标，结合三角形和四边形面积相等列方程求解．
【详解】（1）∵直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，
令 ，则 ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ．
过点 作 轴于点M，
则∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠ACM
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°
∴AB=AC
在△BOA与△AMC中，
∴ ，
∴ ， ，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴ ，
又∵ ，
设直线 的解析式为 ，则有
解得：
∴直线的 解析式为： ．
（2）联立方程组 ，
解得： ，
∴ ．
∴ ．
（3）存在．
∵ 与 面积相等，且底AD相等，
∴底边AD上的高相等，
∴P点的纵坐标为 ，
∴在 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴点 坐标为 ．
（4）存在．在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
，
=14．
①当点F在y轴上时，设F点坐标为(0，y) ，如图，
∵ 的面积与四边形 的面积相等，
∴ ，
解得：y=8或y=0，
∴ 坐标为 或 ；
②当点F在x轴上时，设F点坐标为(m，0) ，
若F点在O点左侧，则m<0，如图，
则 ，
∴ ，
解得：m=0(不合题意，舍去)
若点F在线段OM上（包括两个端点），即0 m 7，如图，
则 ， ≤ ≤
∴ ，
解得：m=0∴点 坐标为 ；
若点F位于点M的右侧，则m>7，如图，
则 ，
∴ ，
解得：m=6（不合题意），
此时点F不存在；
或 ，
∴ ，
解得：m=56
∴点 坐标为 ；
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判
定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是
关键．
课后训练
1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别
交于 、 两点，点 为 轴负半轴上一点，且 ．(1)求直线 的函数表达式；
(2)点 是直线 上的一动点，在 轴上是否存在一点 ，使以 、 、 、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，找出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点 是直线 上的一动点，连接 ，使得 将四边形 的
面积分成 的两部分，请求出满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 的坐标为 或
(3) 或
【分析】（1）先求得 的坐标，根据已知条件得出 ，待定系数法求直线解析式，
即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当 为边时，②当 为对角线时，分别画出图形，根据平行
四边形的性质，即可求解；
（3）根据题意可得 或 ，进而得出 点的坐标，求得直线 的
解析式，联立 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，
当 时， ；当 时，
∴ , ，
∴
∵ ，∴
即
设直线 的解析式为 ，
∴
解得：
∴直线解析式为 ；
（2）解：当 为边时，∵
∴ 轴，
∴ 点的横坐标为 ,
将 代入 ，得
∴ ；
当 为对角线时， 的中点为 ，则
∴综上所述， 的坐标为 或 ；
（3）解：如图所示，设 交 轴于点 ，
∵ 将四边形 的面积分成 的两部分，
则 或
∵
∴
则 或
当 时，设直线 的解析式为∴ ，解得：
∴直线 的解析式为
联立 ，解得：
∴
当 时，设直线 的解析式为
∴ ，解得： ，∴直线 的解析式为
联立 ，解得： ，∴
综上所述 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，待定系数法求直线解
析式，求两直线交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
2．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线 经过原点 和
点 ，经过点A的另一条直线交 轴于点 ，交 轴于点， 点坐标为
(1)求直线 的表达式；
(2)求直线 的表达式；
(3)求 的面积；
(4)点 是第三象限在直线 上一点，满足 ，求 点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求解即可；
（3）过点A作 于点 ，通过点A、B的坐标可求 ，即可求解；
（4）设 ，根据 ，求解即可．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为： ，其中
点 在直线 上
．
直线 的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为： ．
点 在直线上，代入可得： ，
解得：
直线 的表达式为 ．
（3）解：点 在 轴上，设 点坐标 ，
∴ ，解得： ，
∴ 点坐标为 ，
过点A作 于点 ，如图，
；
（4）解：如图，设 ，
∵ ，
∴ ，
由（3）得： ，∴ ，
∵点 是第三象限在直线 上一点，
∴ ，
∴ 点坐标为 ；
【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及到待定系数法求解析式、求面积等，灵活运用
所学知识是关键．
3．（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点 的直线 与坐标轴相交于 、
两点，已知点 是第二象限的点，设 的面积为 ．
(1)写出 与 之间的函数关系，并写出 的取值范围；
(2)当 的面积为 时，求出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 ，使得 与 、 、 中任意两点形成的三
角形面积也为 ，若存在，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， ， ， ， ， ，．
【分析】（1）先求出点A坐标，由 可求函数关系式，
（2）将 代入函数解析式可求得点 ；
（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．
【详解】（1）解：点 在第二象限，则 因为
当 时，x ，则
（ )
（2）由（1）可知
当
则
此时：
所以
（3）存在点M满足条件，
I．当M点在y轴时，若 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点M在原点上方时，点M坐标为 ，
∴当点M在原点下方时，点M坐标为 ，
II．当M点在y轴时，若 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点M在原点上方时，点M坐标为 ，
∴当点M在原点下方时，点M坐标为 ；
III．当M点在y轴时，若 ，即 ，，
∴ ，
∴当点M在点B上方时，点M坐标为 ，
∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；
IV．当M点在x轴时，若 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点M在原点右侧时，点M坐标为 ，
∴当点M在原点左侧时，点M坐标为 ，与点A重合，不合题意舍去；
V．当M点在x轴时，若 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵点A坐标为 ，
∴当点M在点A左侧时，点M坐标为 ，
∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；
综上所述：点M坐标为 ， ， ， ，
， ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解
题的关键是分类讨论的数学思想．
4．（2022秋·山东济南·八年级校联考期中）如图，在直角坐标系中，已知直线
与x轴相交于点A与y轴交于点B．(1)A点和B点坐标分别为 ， ；
(2)点C在x轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
(3)点 在x轴上，若点P是直线 上的一个动点，当 时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)C的坐标是 或 或
(3)点P的坐标为 或
【分析】（1）根据直线 ，令 求出x的值，令 求出y的值，即可得点
A、B的坐标；
（2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答；
（3）分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，
列出方程，利用方程求得点P的坐标即可．
【详解】（1）对于直线 ，
当 时， ．
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）如图，①当 时，点C与点 关于y轴对称，故 符合题意；
②当 时，
∵
∴ ，
∵
∴
综上所述，符合条件的点C的坐标是 或 或 ；
（3）∵
∴
∴
∵
∴ ；
①当点P在x轴下方时，
∴
∵点P在x轴下方，
∴
当 时，代入 得， ，
解得
∴ ；
②当点P在x轴上方时，∴
∵点P在x轴上方，
∴
当 时，代入 得， ，解得
∴
综上所述，满足条件的点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，三角形的面积等
知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．另外，注意分
类讨论和“数形结合”数学思想的应用．
5.（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，
直线y＝ x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若
将 DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
△
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求 ADE的面积；
△
(3)y轴上是否存在一点P，使得 ＝ ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）
(2)9
(3)y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得 ＝
【分析】(1) 直线y＝ x+4中，分别令x=0、y=0，确定B、A坐标，运用勾股定理计算
AB，根据折叠性质，AC=AB，确定OC的长即可确定点C的坐标．
（2）证明Rt AOD≌Rt AED，根据 计算即可．
△ △（3）设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．根据 ，计算m的值即可．
【详解】（1）当x＝0时，y＝ x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时， x+4＝0，
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
在Rt AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝△ ＝5．
由折叠的性质，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．
（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝
180°，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD．
又∵∠BDA＝∠CDA，
在Rt AOD和Rt AED中，
△ △
∴Rt AOD≌Rt AED，
△ △
∴ ．
（3）存在点P，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下：
设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．
∵ ＝ ，∴ ，
∴|m+6|＝3，
解得：m＝﹣3或m＝﹣9，
∴y轴上存在点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得 ＝ ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与
几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的
关键．
6.（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴、y轴分别
交于点B、A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x
轴于点D，OB的垂直平分线l交AB于点E，交x轴于点G，连接CE．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)判定四边形EGDC的形状，并说明理由；
(3)点M在直线l上，使得S ABM＝ S ABC，求点M的坐标．
△ △
【答案】(1)A（0，4），B（2，0），C（6，2）；
(2)四边形EGDC是矩形，理由见解析；
(3)M（1，7）或（1，−3）．
【分析】（1）令x＝0求出y，令y＝0求出x，即可得到点A、B的坐标，然后证明
AOB≌△BDC（AAS）即可求出点C的坐标；
△
（2）证明CE＝GD＝5，CE GD，推出四边形EGDC是平行四边形，再根据∠EGD＝90°
即可得出四边形EGDC是矩形；
（3）设M（1，m），求出AB＝BC＝ ，根据S ABM＝ S ABC构建方程即可解决问
△ △
题．
【详解】（1）解：在一次函数y＝−2x＋4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2，
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，
∴OD＝6，
∴C（6，2）；
（2）四边形EGDC是矩形．
理由：∵EG垂直平分线段OB，
∴OG＝GB＝1，
当x＝1时，y＝−2x＋4＝2，
∴E（1，2），
∵C（6，2），
∴CE＝5，
∵G（1，0），D（6，0），
∴GD＝5，
∴CE＝GD，CE GD，
∴四边形EGDC是平行四边形，
∵∠EGD＝90°，
∴四边形EGDC是矩形；
（3）设M（1，m），
∵E（1，2），AB＝BC＝ ，S ABM＝ S ABC，
△ △
∴ ×|m−2|·2＝ × × × ，
解得m＝7或m＝−3，
∴M（1，7）或（1，−3）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，一次函数的图象和性质，
全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
常考题型．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
其中 ， 满足(1)填空： ， ；
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积
(3)在（2）的条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形
的面积相等，请求出点 的坐标．
【答案】(1)-1，3
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，MN为M点纵坐标的绝对值，也是三角形 的高，根
据三角形面积公式即可得出答案；
（3）设BM与y轴的交点为Q点，先用待定系数法求出BM的解析式，再求出Q点坐标，
根据P点所在的位置分类讨论，分为P点在Q点下方或P点在Q点上方两种情况，设出P
点坐标，通过 代入，即可求出P点坐标．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ 且 ，
∴ ， ，
故答案为：-1，3；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，
∵ ， ，
∴AB=3-(-1)=4
∵ 位于第三象限
∴∴
故答案为： ；
（3）当 时， ，
设BM与y轴的交点为Q点，BM的解析式为 ，
将 和 代入得：
，解得 ，
∴BM的解析式为 ，
当x=0时， ，
∴ ,
设 ，当P点位于Q点下方时，如图所示，
∴
解得 ，
∴ ；
当P点位于Q点上方时，如图所示，解得 ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数中的几何问题，包括已知点表示三角形面积，以及已知三角
形面积找出点的坐标，分类讨论思想和灵活运用函数知识和几何知识是本题的关键．
