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专题 07 期中选择填空必刷（压轴 18 考点 43 题）
一．算术平方根（共2小题）
1．设S ＝1 ，S ＝1 ，S ＝1 ，…，S ＝1 ，
1 2 3 n
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解： ， ， ，
＝ ，…，
，
∴
＝1+1 …+1+ ﹣
＝24+1﹣
＝ ．
故选：A．
2．若a、b均为整数，当x＝ ﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当x＝ ﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，
∴（ ﹣1）2+a（ ﹣1）+b＝0，6﹣2 + a﹣a+b＝0，
∵a、b均为整数，
∴6﹣a+b＝0，﹣2 + a＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ab＝2﹣4＝ ，
∴则ab的算术平方根为： ＝ ，
故答案为： ．
二．实数的性质（共1小题）
3．若|a|＝ ，则﹣ 的相反数是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|a|＝ ，
∴a2＝6，
∴﹣ ＝﹣ ＝﹣2，
﹣2的相反数是2．
故本题的答案是2．
三．实数与数轴（共3小题）
4．如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所
表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2） B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，
∴点A表示的数为m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m∵OA＝2OB，
∴OB＝ OA＝ ，
故选：D．
5．一个长为3，宽为2的长方形从表示﹣1的点开始绕着逆时针翻转90°到达E点，则E点
所表示的数是 ﹣ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：﹣1﹣2＝﹣3．
故E点所表示的数是﹣3．
故答案为：﹣3．
6．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD
＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上
的点P，则P点所对应的数为 708 3 ．
【答案】故点P对应的数为7083．
【解答】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应﹣1，点B 对应5．
翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12；
翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19；
翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26；
••••••
翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082；
翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083．
故答案为：7083．
四．实数大小比较（共1小题）7．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③
；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，
则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③ + + ＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
五．估算无理数的大小（共2小题）
8．定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[﹣ ]＝
﹣2，按此规定，[1﹣2 ]＝ ﹣ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵ ＜2 ＝ ＜ ，
∴4＜2 ＜5，
∴﹣4＞﹣2 ＞﹣5，
∴﹣3＞1﹣2 ＞﹣4，故，[1﹣2 ]＝﹣4．
故答案为：﹣4．
9．对于实数 P，我们规定：用 表示不小于 的最小整数．例如： ，
，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变
为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2．
【答案】3．
【解答】解：根据定义进行运算得，将 36按照题目的定义进行运算求解．36 {
}＝6 { }＝3 { }＝2，
∴对36只需进行次操作后变为3，
故答案为：3．
六．二元一次方程的应用（共1小题）
10．如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形
ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为 l，则标号为①的正方
形的边长为（ ）
A． l B． l C． l D． l
【答案】B
【解答】解：长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴两个大正方形相同、2个长方形相同．
设两个大正方形边长为y，小正方形的边长为x，
∴小长方形的边长分别为（y﹣x）、（x+y），大长方形边长为（2y﹣x）、（2y+x），∵大长方形周长＝1，即：2[（2y﹣x）+（2y+x）]＝1，
∴8y＝1，
∴y＝
∵3个正方形和2个长方形的周长和为 l，
即： ，
∴16y+4x＝ ，
∴x＝ ，
则标号为①的正方形的边长为 ，
故选：B．
七．二元一次方程组的解（共2小题）
11．已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣ ；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组 ，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组 ，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组 ，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣ +
因此④是正确的，
故选：D．
12．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：①将a＝1代入原方程组，得 解得
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边，
左边＝3，右边＝3，
当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②解原方程组，得∴x+y＝3，
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y为自然数的解有 ， ， ， ．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
故选：D．
八．二元一次方程组的应用（共1小题）
13．足球赛的积分方法如下：赢一场比赛得3分，平一场得一分，输一场得0分；某小组
四个队进行单循环赛，其中一队积7分，该队赢 2 场，平了 1 场．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设该队胜x场，平y场，则
解得
∴该队赢2场，平了1场．
故答案为：2，1．
九．三元一次方程组的应用（共3小题）
14．有甲，乙，丙三种笔，已知买甲种笔 2支和乙种1支，丙种3支共12.5元，买甲种1
支，乙4支，丙种5支，共18.5元，那么买甲种1支，乙种2支，丙种3支，共需
11.5 元．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设买1支甲，乙，丙三种笔各a，b，c元．
由题意得 ，
由②×2﹣①得：b+c＝3.5 ③，
由③代入①得：a+c＝4.5 ④，
由④+2×③得：a+2b+3c＝11.5．
故答案为：11.5．
15．甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物，多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元、15元、25元，乙购买的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6
倍，绣球数量是甲的8倍，丙购买的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣
球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额 2510元，丙比甲多用420元，则三家花店
购买多肉共花费 42 0 元．
【答案】420．
【解答】解：设甲花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是x株，y株，z株，
则乙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是10x株，6y株，8z株，丙花店准
备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是3x株，7y株，z株，
由题意得：5（x+10x+3x）+15（y+6y+7y）+25（z+8z+z）＝2510，
5×3x+15×7y+25z﹣（5x+15y+25z）＝420，
∴ ，
由②得x＝42﹣9y③，
∵x，y都是整数，
∴y的取值可能是1，2，3，4，
把③代入①并整理得z＝ ，
∵z是整数，
∴y的取值只能是4，
当y＝4时，x＝42﹣9y＝6，
∴5（x+10x+3x）＝70x＝70×6＝420（元），
∴三家花店购买多肉共花费420元．
故答案为：420．
16．“五谷者，万民之命，国之重宝．”“三农问题”始终是国家关注的重点问题．六月
初是小麦成熟收获的季节，小麦的增产增收离不开“一喷三防”（即小麦穗期使用杀虫
剂、杀菌剂、植物生长调节剂等混合喷打，达到防病虫、防干热风、防早衰的效果）．
某农夫欲配制甲、乙、丙三种不同的农药，购进杀虫剂、杀菌剂、植物生长调节剂三种
原料．甲农药中杀虫剂、杀菌剂、植物生长调节剂的质量之比为2：3：1，乙农药中含
杀虫剂的质量是其余两种原料质量之和的2倍，丙农药中杀虫剂的质量比乙农药杀虫剂
的质量高50%，其余两种原料的质量与乙农药恰好相反．已知甲、乙两种农药所含三种
原料的总质量相等，甲农药成本为230元，乙、丙两种农药的成本之和为480元（每种农药的成本为该农药中所含三种原料的成本之和）．现用杀菌剂、植物生长剂按质量之
比为13：3配制一种新农药丁，且所含植物生长剂的质量与甲农药中杀菌剂的质量相同，
则新农药丁的成本为 67 0 元 ．
【答案】670元．
【解答】解：设甲农药中杀虫剂、杀菌剂、植物生长调节剂的质量分别为2a、3a、a，
则总质量为6a，
∵甲、乙两种农药所含三种原料的总质量相等，乙农药中含杀虫剂的质量是其余两种原
料质量之和的2倍，
∴可得乙农药中含杀虫剂的质量为4a，设乙中农药植物生长调节剂的质量为m，则乙中
杀菌剂农药的质量为（2a﹣m），
∵丙农药中杀虫剂的质量比乙农药杀虫剂的质量高50%，其余两种原料的质量与乙农药
恰好相反，
∴丙农药中杀虫剂、杀菌剂、植物生长调节剂的质量分别为6a、m、2a﹣m，
∵新农药丁所含植物生长剂的质量与甲农药中杀菌剂的质量相同，且是用杀菌剂、植物
生长剂按质量之比为13：3配置的，
∴新农药丁杀菌剂、植物生长剂按质量分别为 13a、3a，则新农药丁的成本为
（13ay+3az）元，
设杀虫剂、杀菌剂、植物生长调节剂的成本单价分别为x、y、z元，
根据题意可列方程组得： ，
整理得： ，
由①×5﹣②得：13ay+3az＝670，
∴新农药丁的成本为670（元），
故答案为：670元．
一十．点的坐标（共1小题）
17．若点P在x轴的下方，y轴的左方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．则点P的
坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【答案】D【解答】解：∵点P在x轴的下方，到x轴的距离是3，
∴P点纵坐标为﹣3，
∵P在y轴的左方，到y轴的距离是2，
∴P点横坐标为﹣2，
∴P（﹣2，﹣3），
故选：D．
一十一．规律型：点的坐标（共5小题）
18．如图，一个粒子在第一象限和x，y轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到
（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，
1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒运动一个单位长度，那么 2020秒
时，这个粒子所处位置为（ ）
A．（4，44） B．（5，44） C．（44，4） D．（44，5）
【答案】A
【解答】解：由题意，
设粒子运动到A ，A ，…，A 时所用的间分别为a ，a ，…，a ，
1 2 n 1 2 n
则a
1
＝2，a
2
＝6，a
3
＝12，a
4
＝20，…，a
n
﹣a
n﹣1
＝2n，
a ﹣a ＝2×2，
2 1
a ﹣a ＝2×3，
3 2
a ﹣a ＝2×4，
4 3
…，
a n ﹣a n﹣1 ＝2n，
相加得：
a ﹣a ＝2（2+3+4+…+n）＝n2+n﹣2，
n 1
∴a ＝n（n+1）．
n
∵44×45＝1980，故运动了1980秒时它到点A （44，44）；
44又由运动规律知：A ，A ，…，A 中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
1 2 n
故达到A （44，44）时向左运动40秒到达点（4，44），
44
即运动了2020秒．所求点应为（4，44）．
故选：A．
19．如图，平面直角坐标系中长方形ABCD 的四个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣
1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，
速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3
个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M ，第二次相遇时的点为
1
M ，第三次相遇时的点为M ，……，则点M 的坐标为（ ）
2 3 2021
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（0，﹣1）
【答案】A
【解答】解：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M 坐标为（1，0），
1
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M 坐标为（﹣1，0），
2
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M 坐标为（1，2），
3
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M 坐标为（0，﹣1），
4
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M 坐标为（﹣1，2），
5
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M 坐标为（1，0），
6
∴五次相遇一循环，
∵2021÷5＝404......1，
∴M 的坐标为（1，0）．
2021
故选：A．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点（1，0），（2，0）的位置，然后向右滚动，第
1次滚动使点C落在点（3，0）的位置，第2次滚动使点D落在点（4，0）的位置，…，
按此规律滚动下去，则第2022次滚动后，顶点A的坐标是（ ）
A．（2021，1） B．（2022，1） C．（2023，1） D．（2024，1）
【答案】D
【解答】解：滚动1次后，A1（2，1）；
滚动2次后，A2（4，1）；
滚动3次后，A3（5，0）；
滚动4次后，A4（5，0）．
滚动4次为1个循环．
∴A （4n+2，1），A （4n+4，1），A （4n+5，0），A （4n+5，0）．
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
∵2022÷4＝505……2，
∴A （4×505+4，1），即A （2024，1）．
2022 2022
故选：D．
21．如图，在一单位为1的方格纸上，△A A A ，△A A A ，△A A A ……，都是斜边在x
1 2 3 3 4 5 5 6 7
轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点坐标分别为
1 2 3
A （2，0），A （1．﹣1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的坐标为 （ 1 ，
1 2 3 2018
﹣ 100 9 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A （1，﹣1），A （2，2），A （1，﹣3），A （2，4），A （1，﹣5），A （2，
2 4 6 8 10 12
6），
…，
∴当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数
∴点A 在第四象限，横坐标是1，纵坐标是﹣2018÷2＝﹣1009，
2018
∴A 的坐标为（1，﹣1009）．
2018
故答案为（1，﹣1009）．
22．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 x轴或y轴平行．从内到外，它们
的边长依次为2a，4a，6a，8a，…（a＞0），顶点依次用A ，A ，A ，A ，…表示，则
1 2 3 4
顶点A 的坐标是 （﹣ 50 5 a ，﹣ 50 5 a ） ．
2017
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由已知，各顶点每四次一循环，则A 在第505个正方形的顶点上，且在
2017
第三象限；根据正方形边长，A 、A 、A 等各顶点坐标到两个坐标轴距离分别为a、
1 5 9
2a、3a等等，到第505个正方形时，A 到坐标轴的距离为505a．
2017
故答案为：（﹣505a，﹣505a）
一十二．坐标与图形性质（共2小题）
23．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（ ）
A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5
【答案】C
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴b＝5，a≠﹣1，
故选：C．
24．如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 （ 3 ， 0 ）或（ 9 ， 0 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，设P点坐标为（x，0），
根据题意得 •4•|6﹣x|＝6，
解得x＝3或9，
所以P点坐标为（3，0）或（9，0）．
故答案为：（3，0）或（9，0）．
一十三．对顶角、邻补角（共1小题）
25．如图，直线 AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与
∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为
补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有
③⑤ ．（填序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，
因此①不符合题意；由对顶角相等可得②不符合题意；
∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；
∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；
∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；
∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；
故答案为：③⑤
一十四．平行线的性质（共10小题）
26．如图，将长方形 ABCD 沿线段 EF 折叠到 EB'C'F 的位置，若∠EFC'＝100°，则
∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
27．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点
H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点
G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：设FBE＝∠FEB＝ ，则∠AFE＝2 ，
α α∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝ ，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°， β
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2 ，
在△AEF中，80°+2 +180°﹣2 ＝180° β
故 ﹣ ＝40°， α β
而∠βBEαG＝∠FEG﹣∠FEB＝ ﹣ ＝40°，
故选：B． β α
28．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于
点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD
平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选B．
29．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ∠ A + ∠ C ﹣∠ P ＝ 180 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，作PE∥CD，
∵PE∥CD，
∴∠C+∠CPE＝180°，
又∵AB∥CD，∴PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∴∠A+∠C﹣∠P＝180°，
故答案为：∠A+∠C﹣∠P＝180°．
30．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝
34°，则∠B的度数为 68 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE
＝∠MGE＝y．
则有 ，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
31．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝
155 度．【答案】155．
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
32．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝ 1 5 °．
【答案】15．
【解答】解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，
∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，
∴∠BFE＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AEF＝115°，
∴∠A'EF＝115°，
过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，
∵AD∥BC，
∴∠MB'F＝∠1，
∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，
∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，
∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，
∵∠A'＝90°，
∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，
∴∠A'EH＝2×50°＝100°，
∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．
故答案为：15．
33．如图，AB∥CD，P E平分∠P EB，P F平分∠P FD，若设∠P EB＝x°，∠P FD＝y°
2 1 2 1 1 1
则∠P ＝ （ x + y ） 度（用 x，y的代数式表示），若 P E平分∠P EB，P F平分
1 3 2 3
∠P FD，可得∠P ，P E平分∠P EB，P F平分∠P FD，可得∠P …，依次平分下去，
2 3 4 3 4 3 4则∠P ＝ （ ） n ﹣ 1 （ x + y ） 度．
n
【答案】（1）（x+y）；（2）（ ）n﹣1（x+y）．
【解答】解：（1）如图，分别过点P 、P 作直线MN∥AB，GH∥AB，
1 2
∴∠P EB＝∠MP E＝x°．
1 1
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P FD＝∠FP M＝y°．
1 1
∴∠EP F＝∠EP M+∠FP M＝x°+y°．
1 1 1
（2）∵P E平分∠BEP ，P F平分∠DFP ，
2 1 2 1
∴ ＝ ．
．
以 此 类 推 ： ， ， ... ，
．
故答案为：（x+y），（ ）n﹣1（x+y）．
34．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当
∠PCN＝ ∠PNC时，∠PCM＝ 22.5 ° 或 5 ° ．
【答案】22.5°或5°．
【解答】解：①设∠PCN＝ ，
α
∵∠PCN＝ ∠PNC，
∴∠PNC＝4 ，
∵∠ANC＝2α∠AMC，∠ANC＝∠AMC+∠NCM，
∴∠AMC＝∠NCM＝2 ，
∴∠PCM＝∠PCN+∠NαCM＝3 ，
∵CP平分∠ACM， α
∴∠PCM＝∠ACP＝3 ，
∴∠ACD＝2∠ACP+∠αMCD＝6 +2 ＝8 ，
∵AB∥CD，∠BAC＝120°， α α α
∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，
∴8 ＝60°，
α
∴ ＝ ，
∴α∠PCM＝3 ＝22.5°．
②当点N在点α A的左侧时，
设∠PCN＝ ，∠ACP＝ ，
∵CP平分∠αACM， β
∴∠PCM＝∠ACP＝ ，
∴∠ACN＝∠PCN﹣∠β ACP＝ ﹣ ，
α β∴∠PNC＝4∠PCN＝4 ，∠NMC＝2 ，
∵AP∥CD，∠BAC＝1α20°， α
∴∠NMC＝∠MCD＝2 ，∠ACD＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠MCD＝∠ACD﹣∠αACP＝60°﹣2 ，
∴2 ＝60°﹣2 ，即： ＝30°﹣ ， β
∵∠αCAB＝∠PβNC+∠AαCN， β
∴120°＝4 + ﹣ ，
∴5 ﹣ ＝α12α0°，β
将 α＝3β0°﹣ 代入上式解得： ＝5°，
∴∠αPCM＝β＝5°； β
③当点N在βA，P之间时，
设∠PCN＝ ，∠ACN＝ ，则∠ACP＝ + ，
∵CP平分∠αACM， β α β
∴∠ACP＝∠PCM＝ + ，∠ACM＝2（ + ），
∴∠MCD＝60°﹣∠AαCMβ＝60°﹣2（ + α），β
由已知得：∠PNC＝4∠PCN＝4 ，α β
∴∠ANC＝180°﹣∠PNC＝180°﹣α4 ，
∵∠ANC＝2∠NMC， α
∴∠NMC＝90°﹣2 ，
∵∠NMC＝∠MCDα，
∴90°﹣2 ＝60°﹣2（ + ），
∴ ＝﹣1α5°，不合题意α，β此种情况不存在．
综β上所述：∠PCM的度数为22.5°或5°．
故答案为：22.5°或5°．
35．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，CE平分∠AEG，且∠CGE＝
，则下列结论：
α①∠EDG＝ ；
②∠CEB＝2 ；α
α
③∠CEF＝90° ；
④∠FED+∠DCE+∠FGE＝180°﹣ ；其中正确的有 ①④ ．（请填写序号）
α
【答案】①④．
【解答】解：∵∠CGE＝ ，AB∥CD，
∴∠CGE＝∠GEB＝ ，∠αEDG＝∠DEB
∴∠AEG＝180°﹣ ，α
∵CE平分∠AEG，α
∴∠AEC＝∠CEG＝ ∠AEG＝90°﹣ ，
∵∠CED＝90°， α
∴∠AEC+∠DEB＝90°，
∴∠DEB＝ ＝ ∠GEB，
即DE平分∠GαEB，
∴∠CEB＝2 ，
故①正确，②α 错误；
∵EF⊥CD，AB∥CD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝ ，
故③错误； α
∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEB＝ ，
∴∠CEF＝∠GED， α∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°﹣ ，∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°﹣ ，
∠FGE＝ ， α α
∴∠FEDα+∠DCE+∠FGE＝180°，
故④正确；
综上所述，正确的有①④，
故答案为：①④．
一十五．平行线的判定与性质（共2小题）
36．如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕
点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射
线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度
是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射
线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 15 或
22.5 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝
90°，
分两种情况：
①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，
此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，
解得t＝15；
②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）
＝135°﹣5t°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，
当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，
此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，
解得t＝22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
故答案为15或22.5．
37．如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平
分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是
GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ：∠QFP＝
3：2，则∠EHG＝ 30 ° ．
【答案】30°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠EFD，∴∠PEF+∠PFE＝ （∠BEF+∠EFD）＝90°，
∵∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°，
∵GH⊥EG，
∴∠EGH＝∠EPF＝90°，
∴FP∥HG，
∴∠FPH＝∠PHK，∠QFP＝∠EHG，
设∠PHK＝x°，则∠FPH＝∠HPK＝∠PHK＝x°，∠FPK＝∠FPH+∠HPK＝2x°，
∴∠EPK＝∠EPF+∠FPK＝90°+2x°，
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK＝ ∠EPK＝ （90°+2x°）＝45°+x°，
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°，
∵∠HPQ：∠QFP＝3：2，
∴∠QFP＝30°，
∴∠EHG＝∠QFP＝30°；
故答案为：30°．
一十六．命题与定理（共1小题）
38．如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，
有以下四个命题：
①若SQ∥EF，则SQ＝EF；
②若SQ＝EF，则SQ∥EF；
③若PR⊥EF，则PR＝EF；
④若PR＝EF，则PR⊥EF．其中真命题有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：①若SQ∥EF，则SQ＝EF，是真命题．理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴SE∥QF，
∵SQ∥EF，
∴四边形EFQS是平行四边形，
∴SQ＝EF．
②若SQ＝EF，则SQ∥EF，是假命题．
理由：如图1中，S′Q′＝EF，但是四边形EFQ′S′是等腰梯形，EF与S′Q′不平
行．
③若PR⊥EF，则PR＝EF，是真命题．
理由：如图2中，过点R作RM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝CD，
∵RM⊥AB，
∴∠RMB＝90°，
∴四边形BCRM是矩形，
∴RM＝BC，
同法可证EN＝CD，∴RM＝EN，
∵EF⊥PR，∠B＝90°，
∴∠RPM+∠EFB＝180°，
∵∠EFB+∠EFN＝180°，
∴∠RPM＝∠EFN，
在△RMP和△ENF中，
，
∴△RMP≌△ENF（AAS），
∴RP＝EF．
④若PR＝EF，则PR⊥EF，是假命题．
理由：如图2中，R′P′＝EF，显然R′P′与EF不垂直．
故选：C．
一十七．平移的性质（共1小题）
39．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知这种红色地毯的售
价为每平方米32元，主楼道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 512
元．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为
5.5米，2.5米，
∴地毯的长度为2.5+5.5＝8米，地毯的面积为8×2＝16平方米，
∴买地毯至少需要16×32＝512元．
故答案为：512．
一十八．坐标与图形变化-平移（共4小题）
40．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A （﹣1，1），第
1
二次向右跳动3个单位至点A （2，1），第三次跳动至点A （﹣2，2），第四次向右跳
2 3
动5个单位至点A （3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A 的
4 2020
坐标是（ ）A．（1012，1011） B．（1009，1008）
C．（1010，1009） D．（1011，1010）
【答案】D
【解答】解：因为A （﹣1，1），A （2，1），A （﹣2，2），A （3，2），A （﹣
1 2 3 4 5
3，3），A 6 （4，3），A 7 （﹣4，4），A 8 （5，4）…A 2n﹣1 （﹣n，n） A 2n （n+1，n）
（n为正整数）
所以2n＝2020，
n＝1010
所以A （1011，1010）
2020
故选：D．
41．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点
P （1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P （﹣1，1），第3次向上跳动1个
1 2
单位至点P ，第4次向右跳动3个单位至点P ，第5次又向上跳动1个单位至点P ，第
3 4 5
6次向左跳动4个单位至点P ，…照此规律，点P第2020次跳动至点P 的坐标是（
6 2020
）
A．（﹣506，1010） B．（﹣505，1010）
C．（506，1010） D．（505，1010）【答案】C
【解答】解：设第n次跳动至点P ，
n
观察发现：P（1，0），P （1，1），P （﹣1，1），P （﹣1，2），P （2，2），P
1 2 3 4 5
（2，3），P （﹣2，3），P （﹣2，4），P （3，4），P （3，5），…，
6 7 8 9
∴P （n+1，2n），P （n+1，2n+1），P （﹣n﹣1，2n+1），P （﹣n﹣1，
4n 4n+1 4n+2 4n+3
2n+2）（n为自然数）．
∵2020＝505×4，
∴P （505+1，505×2），即（506，1010）．
2020
故选：C．
42．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q
分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 （ 0 ， 3 ）或（﹣ 4 ， 0 ）
．
【答案】（0，3）或（﹣4，0）．
【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，
∴n﹣n+3＝3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．
故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．
43．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A
1
（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A （1，1），第3次向上跳动1个单
2
位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，
……依此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A 的坐标是 （﹣ 506 ， 1010 ）
2020
．
【答案】（﹣506，1010）．
【解答】解：设第n次跳动至点A ，
n
观察，发现：A（﹣1，0），A （﹣1，1），A （1，1），A （1，2），A （﹣2，
1 2 3 4
2），A （﹣2，3），A （2，3），A （2，4），A （﹣3，4），A （﹣3，5），…，
5 6 7 8 9
∴A （﹣n﹣1，2n），A （﹣n﹣1，2n+1），A （n+1，2n+1），A （n+1，
4n 4n+1 4n+2 4n+3
2n+2）（n为自然数）．
∵2020＝505×4，
∴A （﹣505﹣1，505×2），即（﹣506，1010）．
2020
故答案为：（﹣506，1010）．
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