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专题 07 二次函数中的定值、定点问题
类型一、定值问题
例．如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于点 ， ，
与 轴交于点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式
(2) 是直线 下方抛物线上的一点，连接 、 、 ， 交 于 ， ，求点
的坐标．
(3)如图2，若动直线 与抛物线交于 ， 两点（直线 与 不重合），连接 ， ，直线 与
交于点 ．当 时，点 的横坐标是否为定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)定值 ，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得直线 的解析式，进而根据已知条件得出 ，过点 作 轴于点 ，根据平行线
分线段成比例求得 的坐标，即可得出 的横坐标，代入直线 解析式，即可求解；
（3）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．由点 ，点 ，可得到直线 的解析式为： ．得出点 的坐标可以表示为 ．由点 ，点
，得直线 的解析式为： ．同理可得可得到直线 的解析式为：
．联立可得 ，则点 的横坐标为定值 ．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：∵ 与 轴交于点 ，
当 时， ，则
设直线 的解析式为 ，
将 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴
如图所示，过点 作 轴于点 ，∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵直线 的解析式为 ，
∴当 时， ，即 ；
（3）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
∵直线 与 不重合，
∴ 且 且 ．
如图3，由点 ，点 ，∵到直线 的解析式为： ．
∵ ，
∴可设直线 的解析式为： ．
将 代入 ，
得 ．
∴ ．
∴点 的坐标可以表示为 ．
设直线 的解析式为： ，
由点 ，点 ，得
，
解得 ．
∴直线 的解析式为： ．
同上，由点 ，点 ，可得到直线 的解析式为： ．
∴ ．
∴ ．
∴点 的横坐标为定值 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求解析式，一次函数的平
移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练1】．如图，抛物线 经过 、 两点，直线 交y轴于点
C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线上一个动点（不与A重合）， 与抛物线的另一个交点为D， 交直线 于点E，
连接 ，求证： 轴．
(3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点， 分别交y轴于F、G两点，求证： 为定值．
【答案】(1) ；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设直线 的解析式为 ，设直线 的解析式为 ，联立直线 和抛物线解析式可求
出点P的横坐标 ，联立直线 和抛物线解析式可求出点 ，再联立直线 和可求出 ，即可证明；
（3）设 ， ，设直线 的解析式为： ，和抛物线解析式联立可得 ，
同理可得 ，由此可表示出 ，再联立 和抛物线利用根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 、 两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为
（2）证明：设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 ，设直线 的解析式为 ，
联立 ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ： 交直线 于点E，联立 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 轴；
（3）证明：∵ 分别交轴于F、G两点，
设 ， ，
设直线 的解析式为： ，
将 代入得： ，
∴直线 的解析式为： ，
同理直线 的解析式为： ，
联立 ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 与y轴交于点F，∴ 时， ，
即 ，
直线 与y轴交于点G，
∴ 时， ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
直线 与y轴交于点C，
∴ ，
∵直线 过点 ，
∴设直线 的解析式为： ，
联立 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ 为定值；
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，直线与抛物线交点的求法，根与系数的关系等，抽象性较强，
解题关键是能够想到根与系数的关系在解题过程中的运用．
【变式训练2】．已知抛物线 与x轴交于A、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于
点 ，且 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)若抛物线上B、C 两点之间有一点N，且 的面积为4，求N点坐标；
(3)抛物线的对称轴交x 轴于M，P 为抛物线上一动点，直线 交抛物线于另一点Q，点P 关于抛物线
对称轴的对称点为 ，直线 交对称轴于G 点，试探究：在P 点运动的过程中，线段 的长度会发
生变化吗？若不变，请求其长度．
【答案】(1) ；(2)
(3)线段 的长度不变，
【分析】（1）根据点 的坐标可得 的值，根据对称轴公式可得对称轴是： ，根据 和抛物线
的对称性可得 与 的坐标，代入一个点的坐标可得抛物线的解析式；
（2）先求直线 的解析式，设 ，则 ，表示 的长，利用三角形面积
公式列式可得结论；
（3）如图2，先求 ，设 ，则 ，作辅助线，构建直角三
角形，先表示 的解析式： ，且 ，因为 与抛物线的交点为 、 ，列方
程组为 ，由根与系数的关系得： ，则 ，得，证明 ，列比例式可得 的方程，化简可得 ．
【详解】（1）把 代入抛物线 中得： ，
抛物线 ，
对称轴是： ，
，
， ，
把 代入得： ，
解得 ，
二次函数的解析式为： ；
（2）如图1，过 作 轴，交 于 ，
， ，
设直线 的解析式为： ，
则 ，解得： ，
直线 的解析式为： ，
设 ，则 ，
，，
，
，
，
；
（3） ，
，
设 ，则 ，
如图2，连接 ，交 于 ，过 作 于 ，则 ，
设 的解析式为： ，
把 代入得： ， ，
，
，
设 ，由 ，
则 ，
，
、 是直线 与抛物线的交点，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
将 代入 中得： ，
，
，，
，
，
；
在 点运动的过程中，线段 的长度不变，且 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形
的性质和判定、直线与抛物线的交点问题、三角形面积及二次函数的最值问题，第三问有难度，利用参数
表示直线的解析式，并利用比例式列等式可解决问题．
【变式训练3】．如图，已知抛物线 的顶点为A，且经过点 ．
(1)求顶点A的坐标；
(2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得 ，求点P坐标；
(3)如图（2），将原抛物线沿射线 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 交于C，D两点，
请问：在抛物线平移的过程中，线段 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理
由．
【答案】(1)(2)
(3) ，过程见解析
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据全等三角形的判定与性质可得点Q的坐标，根据待定系数法求出直线 的解析式，与抛物线联
立求出点P的坐标即可；
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与 的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股
定理，可得答案．
【详解】（1）解：把 代入 得：
，
解得 ，
∴ ，
∴顶点A的坐标是 ；
（2）过点B的 交 于点Q，过点B作 轴，分别过点A ，Q作 于点G，
于点H，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点Q的坐标是 ，
设直线 的解析式为 ，把点A ，Q 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
把直线 的解析式与 联立得，
，
解得 （不合题意，舍去），
当 时， ，
∴点P的坐标是 ；
（3）在抛物线平移的过程中，线段 的长度是定值，
设直线 的解析式为 ，把点A的坐标 代入得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴可设新的抛物线解析式为 ，联立 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即C、D两点的横坐标的差是1，C、D两点间的纵坐标的差为1，
∴ ，
∴在抛物线平移的过程中，线段 的长度是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质、勾股
定理、解方程组求函数交点坐标等知识，求出点Q的坐标是解题的关键．
【变式训练4】．如图1，抛物线 交x轴于点 和点 ，交于y轴点C，F为抛抛
物线顶点，点 在抛物线上．
(1)①求该抛物线所对应的函数解析式；
②求四边形ACFQ的面积；
(2)如图2，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物
线于点D，连接DA、DQ．①当 是直角三角形时，求出所有满足条件的D点的横坐标．
②如图3，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问： 是否为定值？如果是，请
直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)① ；②4
(2)①Q点坐标为 ；② 是为定值，定值为8
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②结合二次函数性质求得顶点 ， ，然后利用割补法求图形面积；
（2）①分 或 两种情况结合一次函数图象的性质分析求解；
②设 ，结合一次函数图象的性质分析求解
【详解】（1）①∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，解得
∴该抛物线的函数表达式为： ；
②∵ ，
∴顶点 ，
∵ ， ，
∴ ，且 ∥x轴，
∵ ，
∴ ；
（2）①∵点P在线段EB上，
∴ 不可能为直角，∴当 为直角三角形时，有 或 ，
ⅰ．当 时，则 ，
∵ ， ，
∴直线AQ解析式为 ，
∴设直线DA解析式为 ，
把 代入可求得 ，
∴直线DQ解析式为 ，
联立直线DQ和抛物线解析式可得 ，
解得 或
∴ （舍）或 （舍）
∴此种情况不存在
ⅱ．当 时，设 ，
设直线AD的解析式为 ，
把A、D坐标代入可得 ，解得 ，
设直线DQ解析式为 ，同理可求得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得
当 时，∵ ，
∴ （舍）
当 时，∵ ，D点横坐标为
综上可知：D点横坐标
②设 ，
由A、D的坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ；
由点B、D的坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，
则 是为定值，定值为8．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三
角形等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【变式训练5】．过原点的抛物线 与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线 ，
顶点为B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），点E是直线 上方抛物线上一点，连接 ， ， ，若 的面积为4，求点E的坐标；
(3)如图（2），设直线 （ ）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线 的对称点为 ，
直线 与直线 交于点P，求证：BP的长为定值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)见解析
【分析】（1）根据题意和待定系数法进行计算即可得；
（2）设抛物线对称轴交x轴于点H，交 于点M，过点E作 轴于点N，根据题意得 ，
， ，根据点E是直线 上方抛物线上一点，设 ，则 ，可得
，设直线 的解析式 ，把 ， 代入，得
，进行计算得直线 的解析式为 ，即可得 ，根据 ，
，即可得 ，进行
计算即可得；
（3）联立方程得， ，解得 ， ，
根据点D关于直线 的对称点为 得 ，设直线 的解析式为
，把 和 代入，进行计算得
直线 的解析式为 ，根据直线 与直线 交于点P得当 时 ，可得 ，即可得．
【详解】（1）解：∵抛物线 过原点，且对称轴为直线 ，
∴ ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图所示，设抛物线对称轴交x轴于点H，交 于点M，过点E作 轴于点N，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，顶点为B，
∴ ， ，
令 ，则 ，
，
，
，
∴ ，
∵点E是直线 上方抛物线上一点，
∴设 ，则 ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，得
，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得， ， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 或 ；
（3）证明：如图所示，
联立方程得， ，
解得， 或 ，
∴ ， ，
∵点D关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 和
代入，得
，
解得， ，
即直线 的解析式为 ，
∵直线 与直线 交于点P，∴当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的长为定值．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，二次函数的性质，
一次函数的性质．
类型二、定点问题
例．已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图1， 为直线 上方抛物线 上的动点，过 点作 于点 ，若 ，求 点坐标；
(3)如图2，将抛物线 沿 轴平移得 ，使 的顶点落在 轴上，若过定点 的直线交抛物线于 、
两点，过 点的直线 与抛物线交于点 ，求证：直线 必过定点
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，运用待定系数法可得直线 的解析式为，设 ，则 ， ，可证得： 是等腰直角三角形， 是等腰直
角三角形，再由 ，建立方程求解即可得出答案；
（3）先求得平移后的抛物线 的解析式为： ，设 ， ，则直线 的解
析式为 ，由直线 经过定点 ，可得 ，再由直线 经过
点 ，可得直线 的解析式为 ，进而求得 ，再运用待定系
数法求得直线 的解析式为 ，当 时， ，即
直线 必过定点 ， ．
【详解】（1）解： 抛物线 经过点 ， ，
，
解得： ，
抛物线 的解析式为 ；
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
， ， ，
，
轴，
是等腰直角三角形，
， ，
又 ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得： ， ，
为直线 上方抛物线 上的动点，
，
，
；
（3）证明：如图2， 抛物线 ，
将抛物线 沿 轴平移得 ，使 的顶点落在 轴上，抛物线 的解析式为： ，
设 ， ，
则直线 的解析式为 ，
直线 经过定点 ，
，
，
直线 经过点 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
由 ，
解得： 或 ，
，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，
得 ，
解得： ，
，，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
直线 必过定点 ， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，等腰直角三角形的判
定和性质，抛物线的平移变换，直线恒过定点问题，解决本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有
一个交点得出直线 和直线 的 与 和 的关系．
【变式训练1】．如图（1）所示，抛物线 ，经过 ， ， 三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否一点 ，使得以 ， ， 的顶点的三角形与 相似，如有请求出满足要求的所有
点，如果没有，请说明理由．
(3)如图（2）所示，点 ， 为抛物线上的动点，满足 ，请证明直线 必定通过一个定点，并求
出这个定点的坐标．
【答案】(1) ；(2) ；(3)【分析】（1）设抛物线解析式为 ，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）假设 ，如图所示， 易求得此时 ，不在抛物线上．同理当
时 也不在抛物线上，当 时求得 ，符合要求．
（3）设 ， ，所以 ， ； ，
．根据 ，得出 ，设 的直线方程为： ，代入
P，Q的坐标有 ， 得出 的方程为 ，即可求解．
【详解】（1）设抛物线解析式为 ，
抛物线过点 代入得
解得：
所以抛物线解析式为： ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
当 ，则 ，即
∴ ，过点 作 轴，∵
∴
∴
∴
设 ，则 ①
又∵
∴ ②
联立①②解得： （负值舍去）
∴
由 ，当 时， ，故 ，不在抛物线上
当 时，则 ，即 ，如图所示，则由 ，当 时， ，故 ，不在抛物线上
当 时，则 ，即 ，如图所示，
同理可得
由 ，当 时， ，故 ，在抛物线上，符合要求．综上满足要求的点为
（3）如图（3）所示，设 ， ，
所以 ， ； ， ．
∵
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
设 的直线方程为： ，代入P，Q的坐标有
所以 的方程为 代入上式可得
当 时 恒等于4，所以 总经过定点 ．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数求解析式，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三
角形的性质与判定以及二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练2】．如图1，抛物线 与 轴的正半轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，
其对称轴为直线 ．
(1)直接写出抛物线C的解析式；
(2)已知点 ，点 ， 均在抛物线上（点 在点 右侧），若以 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形，求点 的坐标；
(3)如图2，将抛物线 平移得到抛物线 ，使 的顶点在原点，过点 的两条直线 ， ，它们
与 轴不平行，都与抛物线 只有一个公共点分别为点 和点 ，求证：直线 必过定点．
【答案】(1)抛物线的解析式为： ．(2)点 的坐标为 或 ，．
(3)见解析
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线 ，可得 ①，由抛物线 可得 ，
；把 代入 中，得 ②，由此可得， ， ；
（2）需要分情况讨论，①若 ，由点的平移可知，点 左平移1个单位长度，向下平移5个单位
长度得到点 ，设 ，则 ，将点 代入 得，
，求解节课得出点 的坐标；②若 ，由点 和点 的坐标可知，
点 和点 的中点坐标为 ， ，设 ，则 ，将点
代入 得， ，求出 即可求出点 的坐
标；
（3）根据题意得，抛物线 的解析式为： ，设 ， ，则直线 可设为
，直线 可设为 ，因为直线 与抛物线只有一个公共点，所以联立
与抛物线 ，得 ，得 ，所以
△
，解得 ，可求出直线 的解析式为：
，同理可得，直线 的解析式为： ，联立 和的解析式可得， ，由点 ， 代入可得 ，所以直线
的解析式为： ，则直线 过定点 ．
【详解】（1）解： 抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ①，
抛物线 与 轴的正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，
， ，
，
， ，
把 代入 中，得 ②，
由①②可知， ， ，
抛物线的解析式为： ．
（2）解：若 ，
四边形 是平行四边形，
∴ 且 ，
， ，
向左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点 ，
点 ， 都在抛物线上，点 在点 的右侧，
点 左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点 ，
设 ，则 ，
将点 代入 得， ，解得 ，
，
若 ，
四边形 是平行四边形，
∴ 且 ，， ，
的中点坐标为 ，
设 ，则 ，
将点 代入 得，
，解得 或 ，
点 在点 的右侧，
．
综上，点 的坐标为 或 ；
（3）解：根据题意得，抛物线 的解析式为： ，
设 ， ，
则直线 可设为 ，
直线 可设为 ，
直线 与抛物线只有一个公共点，
联立 与抛物线 ，得 ，
得 ，
，解得 ，
△
直线 的解析式为： ，
同理可得，直线 的解析式为： ，联立 和 的解析式可得， ，
，
，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入可得 ，
直线 的解析式为： ，
直线 过定点 ．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，平行四边形存在性等内容熟练掌握
直线与二次函数的交点求法，本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有一个交点得出直线 和直
线 的 与 和 的关系．
【变式训练3】．如图1，抛物线 ： 与x轴的正半轴交点B，与y轴交于点C，
，其对称轴为直线 ．
(1)直接写出抛物线 的解析式；
(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边
形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)如图2，作抛物线 关于原点O中心对称的抛物线 ，若抛物线 与直线 交于E，F两点，
与直线 交于M，N两点，且 ，点P，Q分别是 、 的中点，求证：直线 必定经过一个定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)
(2)存在，G点坐标存在，为 或 或
(3)直线 过定点 ，证明见解析
【分析】（1）由 得出 ，根据对称轴为直线 和 代入即可解得；
（2）设D点坐标为 ，G点坐标为 ，分三种情况①当 为对角线时，②当 为对角
线时，③当 为对角线时，进行讨论即可；
（3）联立 与 ，解得 ，根据韦达定理得出 ，
，得出P和Q点的坐标，表示出直线 的解析式即可判断；
【详解】（1） 对称轴为直线 ，
即 ，
又∵ ，
，
将 和 代入 解得： ，
即函数解析式为： ；
（2）设D点坐标为 ，G点坐标为 ，且 ， ，
分情况讨论：
①当 为对角线时，则另一对角线是 ，由中点坐标公式可知：
线段 的中点坐标为 ，即 ，线段 的中点坐标为 ，即 ，
此时 的中点与 的中点为同一个点，
，
解得 ，
经检验，此时四边形 为平行四边形，此时G坐标为 ；
②当 为对角线时，则另一对角线是 ，由中点坐标公式可知：
线段 的中点坐标为 ，即 ，
线段 的中点坐标为 ，即 ，
此时 的中点与 的中点为同一个点，
，
解得 ，
经检验，此时四边形 为平行四边形，此时G坐标为 ；
③当 为对角线时，则另一对角线是 ，由中点坐标公式可知：
线段 的中点坐标为 ，即 ，
线段 的中点坐标为 ，即 ，
此时 的中点与 的中点为同一个点，，
解得 ，
经检验，此时四边形 为平行四边形，此时G坐标为 ；
综上所述，G点坐标存在，为 或 或 ；
（3）抛物线 关于原点O中心对称的抛物线为 ，
故抛物线 的解析式为： ，
联立 与 得 ，
所以 ， ，故 ，
联立 与 得 ，
可得 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将P、Q两点代入得 的解析式为 ，
所以直线 过定点 ；
【点睛】该题主要考查了二次函数和一次函数的图像和性质，平行四边形的性质以及韦达定理等知识点，
解答该题的关键是掌握二次函数和一次函数的图像和性质．
【变式训练4】．如图1，已知抛物线 （m是常数）的顶点为P，直线．
(1)求证：点P在直线
上；
(2)已知直线
与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值；
(3)如图2，当
时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足
，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)直线 经过定点 ．
【分析】（1）求出 ，判断 点在直线 上即可；
（2）联立 ，则 ，由根与系数的关系可得
，可知 点横坐标为 ，再分三种情况讨论即可求解；
（3）设直线 的解析式为 ，联立 ，得到 ，由根与系数的关系可得
， ，过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴交于点 ，可证明
，则 ，即 ，可求 与 的关系为： ，则直线 的解析式为 ，当 时， ，由此可知直线 经过定点 ．
【详解】（1）证明： ，
，
将 代入 ，得 ，
点在直线 上；
（2）解：联立 ，
，
，
点横坐标为 ，
∵点Q在直线 上，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ，
∴ ， ， ，
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
无解；
当 时， ，
无解；
综上， ；
（3）解：存在，理由如下：当 时， ，
令 ，则 ，
，
设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
联立 ，
，
， ，
过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴交于点 ，则 ，
，
， ，
，
∴ ，
，
， ， ， ，
，即 ，
∴ ，.
即 ，
把 ， 代入得，，
∴
，
当 时， ，
直线 经过定点 ．
