文档内容
专题 07 根与系数求值的四种考法
类型一、整体代入求值
例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根，
， ，掌握根与系数的关系是解题关键．
【变式训练1】已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于
．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出 , ，代入求值
即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，则 ，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值．
【变式训练2】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b 的值是 ．
【答案】8．
【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b 进行变形计
算可得结果.
【详解】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+ ＝3﹣3a﹣b+ ＝3﹣2a﹣（a+b）+ ＝3﹣2a+1+
＝4﹣2a+ ＝4+ ＝4+ ＝4+4＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关
键.
【变式训练2】若 ，边是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】2024
【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案．
【详解】解： 是一元二次方程 的两个实数根，
【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解．
【变式训练3】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据已知判断出m，n是方程 的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ，
∴m，n是方程 的两实数根，∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是
方程 的两实数根是解题的关键．
类型二、降幂思想求值
例．设 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值为 .
【答案】11
【详解】∵ ， 是一元二次方程 的两根，∴ ， ， ， .
∴
.
【变式训练1】若 是方程 的两个实数根，求 的值．
【答案】3
【分析】根据 是方程 的实数根，表示出 ，代入原式，整理化简，再把 ，
，代入即可求出．
【详解】解：∵ 是方程 的实数根，
∴ ，
∴ ， ，
两边同时乘以 ，
∴ ，把 代入 可得
原式
把 代入 可得
原式 ，
∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若 是一元二次方 的两根时，
则 ， ．
【变式训练2】若 ，那么代数式 的值是 .
【答案】- 6
【详解】试题分析：由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x（x2+x）+x2-7，然后将其整体代
入求值即可．
解：∵ ，
∴x2+x=1，
∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6.
故答案为−6.
【变式训练3】已知 ， 是方程 的两个根，那么 ______．
【答案】5
【解析】∵ ， 是方程 的两个根，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：5．
类型三、构造方程思想求值
例．如果x、y是两个实数（ ）且 ， ，则 的值等于
（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】C
【分析】由 ，可得 ，可得 ，可得 ， 是方程
的两个根， ， ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，而 ， ，
∴ ， 是方程 的两个根，
∴ ， ，∴ ；故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键．
【变式训练1】若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【详解】解：由 得：∴
又由 可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．
【变式训练2】已知a、b、c均为实数，且 ， ，则 ．
【答案】4
【分析】先变形得到a+b=4，ab=2c2-4 c+10，再根据根与系数的关系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4
c+10=0的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（c- ）2=0，得到x=2，c= ，然后计算abc的值即可；
【详解】∵a+b=4，ab=2c2-4 c+10
∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4 c+10=0的两实数解，∴（x-2）2+2（c- ）2=0
∴x-2=0或c- =0，解得x=2，c=
∴ab=2×3-4 × +10=4，∴abc=4× =4
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次
方程是解决本题的关键．
【变式训练3】已知实数a、b满足 ，求 的值．
【答案】
【分析】由 的特征可以联想到a、b是方程 的两个实数根，再利用根与系数的关系求解．
【详解】已知实数a、b满足 ，
则a、b是方程 的两个实数根．
整理方程为一般式得： ．
根据根与系数的关系得： ．
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是善于利用“转化”的思想．
类型四、根的大小问题
例.m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0
(1)两个正根；(2)一正一负两根；(3)两根都大于1．
【答案】(1)m＞3或m＜0；(2)1＜m＜3；(3)﹣6+3 ≤m≤1
【解析】(1)解：（1）由题意可得， ，解得，m＞3或m＜0，
即当m＞3或m＜0时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两个正根．
(2)由题意可得， ，解得：1＜m＜3；
即当1＜m＜3时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有一正一负两根．
(3)根据题意，得： ，即 ，解得：﹣6+3 ≤m≤1，
即当﹣6+3 ≤m≤1时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两根都大于1．
【变式训练】已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确；
当a＞0时，两根之积 ，故方程的两根异号，故②说法错误；
由一元二次方程的求根公式得 ，
∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确；
由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
∴正确的结论有：①③④
故选：C
课后作业
1．已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用
降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程 的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1∵ ，同理：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行
整式的运算是解题的关键．
2．已知x2+x-1=0，则3x2+3x-5= ．
【答案】-2
【分析】用整体代入的方法解题.
【详解】由x2+x-1=0得，x2+x=1，所以3(x2+x)=3，即3x2+3x=3.
所以3x2+3x-5=3-5=-2.
故答案为-2.
3．若 ， 是方程 的两根，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得 ， ，
则 ， ，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ， ，
即 ，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的
关键．
4．若p、q是方程 的两个不相等的实数根，则代数式 的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 ，再根据根与系数的关系得到 ，然后利
用整体思想计算即可．
【详解】∵若p、q是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ， ，∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降
次消元是解题的关键．
5．设 是方程 的两实数根，则 ．
【答案】
【分析】先将 代入方程得到 ，推出 ，将其代入所求代数式中得
，根据根与系数关系式求得 ，即可得到答案.
【详解】∵ 是方程 的两实数根，
∴ ,∴ ,∴ ,
∴ ,
∵ 是方程 的两实数根，∴ ,
∴ 2016，
故答案为：2016.
【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出
是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处.
6．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系：
， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________，
___________；
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．
【答案】(1) ，(2)
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据 ，
最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由
，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，∴ ， ，
∵
，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．
