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专题 07 二次函数中的定值、定点问题
类型一、定值问题
例．如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于点 ， ，
与 轴交于点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式
(2) 是直线 下方抛物线上的一点，连接 、 、 ， 交 于 ， ，求点
的坐标．
(3)如图2，若动直线 与抛物线交于 ， 两点（直线 与 不重合），连接 ， ，直线 与
交于点 ．当 时，点 的横坐标是否为定值，请说明理由．
【变式训练1】．如图，抛物线 经过 、 两点，直线 交y轴于点
C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线上一个动点（不与A重合）， 与抛物线的另一个交点为D， 交直线 于点E，连接 ，求证： 轴．
(3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点， 分别交y轴于F、G两点，求证： 为定值．
【变式训练2】．已知抛物线 与x轴交于A、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于
点 ，且 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若抛物线上B、C 两点之间有一点N，且 的面积为4，求N点坐标；
(3)抛物线的对称轴交x 轴于M，P 为抛物线上一动点，直线 交抛物线于另一点Q，点P 关于抛物线
对称轴的对称点为 ，直线 交对称轴于G 点，试探究：在P 点运动的过程中，线段 的长度会发
生变化吗？若不变，请求其长度．
【变式训练3】．如图，已知抛物线 的顶点为A，且经过点 ．(1)求顶点A的坐标；
(2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得 ，求点P坐标；
(3)如图（2），将原抛物线沿射线 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 交于C，D两点，
请问：在抛物线平移的过程中，线段 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理
由．
【变式训练4】．如图1，抛物线 交x轴于点 和点 ，交于y轴点C，F为抛抛
物线顶点，点 在抛物线上．
(1)①求该抛物线所对应的函数解析式；②求四边形ACFQ的面积；
(2)如图2，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物
线于点D，连接DA、DQ．
①当 是直角三角形时，求出所有满足条件的D点的横坐标．
②如图3，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问： 是否为定值？如果是，请
直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．【变式训练5】．过原点的抛物线 与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线 ，
顶点为B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），点E是直线 上方抛物线上一点，连接 ， ， ，若 的面积为4，求点E的
坐标；
(3)如图（2），设直线 （ ）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线 的对称点为 ，
直线 与直线 交于点P，求证：BP的长为定值．
类型二、定点问题
例．已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点
(1)求抛物线 的解析式；(2)如图1， 为直线 上方抛物线 上的动点，过 点作 于点 ，若 ，求 点坐标；
(3)如图2，将抛物线 沿 轴平移得 ，使 的顶点落在 轴上，若过定点 的直线交抛物线于 、
两点，过 点的直线 与抛物线交于点 ，求证：直线 必过定点
【变式训练1】．如图（1）所示，抛物线 ，经过 ， ， 三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否一点 ，使得以 ， ， 的顶点的三角形与 相似，如有请求出满足要求的所有
点，如果没有，请说明理由．
(3)如图（2）所示，点 ， 为抛物线上的动点，满足 ，请证明直线 必定通过一个定点，并求
出这个定点的坐标．
【变式训练2】．如图1，抛物线 与 轴的正半轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，
其对称轴为直线 ．
(1)直接写出抛物线C的解析式；(2)已知点 ，点 ， 均在抛物线上（点 在点 右侧），若以 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形，求点 的坐标；
(3)如图2，将抛物线 平移得到抛物线 ，使 的顶点在原点，过点 的两条直线 ， ，它们
与 轴不平行，都与抛物线 只有一个公共点分别为点 和点 ，求证：直线 必过定点．
【变式训练3】．如图1，抛物线 ： 与x轴的正半轴交点B，与y轴交于点C，
，其对称轴为直线 ．
(1)直接写出抛物线 的解析式；
(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边
形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)如图2，作抛物线 关于原点O中心对称的抛物线 ，若抛物线 与直线 交于E，F两点，
与直线 交于M，N两点，且 ，点P，Q分别是 、 的中点，求证：直线 必
定经过一个定点，并求出该定点坐标．
【变式训练4】．如图1，已知抛物线 （m是常数）的顶点为P，直线
．(1)求证：点P在直线
上；
(2)已知直线
与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值；
(3)如图2，当
时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足
