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专题 2.6 一元一次不等式组
一、选择题（本大题共13个小题，每题2分，共26分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2020·四川巴中市·七年级期末）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
A. 是一元一次不等式组，故正确；
B. 是二元一次不等式组，故不正确；
C. 是一元二次不等式组，故不正确；
D. 是分式不等式组，故不正确；
故选A．
2．（2019·全国八年级单元测试）“ 与5的和是正数且 的一半不大于3”用不等式组表示，正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：用a与5的和是正数得出a+5＞0，再利用a的一半不大于3，即小于等于3.
由题意可得：
故选A．3．（2020·浙江金华市·八年级期中）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解： ，
解不等式①得x≥3，
解不等式②得x＞2，
所以不等式组的解集为x≥3，
在数轴表示为：
，
答案选C．
4．（2021·全国九年级）不等式组 的整数解为（ ）
A．－2，－1，0 B．－2，－1，0，1 C．－2，－3 D．－2，－1
【答案】A
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组的解集是 ，
∴不等式组 的整数解为： 、 、 ，
故选：A
5．（2020·福建莆田市·七年级期末）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是 ，则物体 的质量
的取值范围，在数轴上可表示为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
∵由图可知，1g<m<2g，
∴在数轴上表示为：
．
故选A..
6．（2020·陕西商洛市·七年级期末）解不等式 ，其中所有整数解的和是（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．-1
【答案】C
【详解】
解不等式①得： ；
解不等式②得： ；
所以不等式组的解集为 ，其整数解有-1，0，1；
所以-1+0+1=0；
故选：C．
7．（2021·全国八年级）一元一次不等式组 的最大整数解是( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】
解①得， ，
解②得， ，
∴不等式组的解集为 ，∴不等式组的最大整数解是2，
故选：D．
8．（2020·重庆江北区·字水中学）若线段4、4、m能构成三角形，且使关于x的不等式组
有解的所有整数m的和为（ ）
A．6 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
解：∵线段4、4、m能构成三角形，
∴0＜m＜8，
，
解不等式②得：x≤4-m，
∴m-2＜4-m，
解得m＜3，
∴0＜m＜3，
∴所有整数m有1，2，
1+2=3．
故所有整数m的和为3．
故选：D．
9．（2020·浙江杭州市·九年级）若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵不等式组 有解，
∴m＜2，
故选A．
10．（2020·河北秦皇岛市·七年级期末）某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货
车将这批货物运往青岛，这列货车可挂 两种不同规格的货厢50节.已知甲种货物35吨和乙种货物15
吨可装满一节 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节 型货厢，按此要求安排 两种货
厢的节数，有几种运输方案（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C
【详解】
解：设用A型货厢x节，B型货厢 节，
根据题意列式： ，解得 ，
因为x只能取整数，所以x可以取28，29，30，对应的 是22，21，20，有三种方案．
故选：C．
11．（2020·四川成都市·八年级期中）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围
是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解： ，
①式化简得：
又∵该不等式的解集为 ，
∴ ．
故选C．
12．（2020·四川眉山市·东坡区百坡中学七年级月考）按教育局严格规定百坡初中19级各班人数不得超过
60人，该校某班级在一次学习活动中， 把班级分成x个小组开展活动，若每组8人，则余2人，若每组
9人，则有一组人数不足7人，但超过2人，则x的值可能是下列数据中的（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【详解】
解：由题意得 ，
解不等式组得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵x为整数，
∴本题选C．故选：C
13．（2020·四川省绵阳南山中学双语学校七年级月考）已知关于 ， 的二元一次方程组
，若 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解： ，
①+②得： ，即 ，
①-3×②4y=-2，y=
根据 得： ，
去分母得： ，解得： ．
故选择：D．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
14．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）把一些书分给几名同学，如果每人分4本，那么余9本；如果
前面的每名同学分6本，那么最后一人就分得不超过2本，则这些书有________本．
【答案】37
【详解】
解：设共有x名同学分书，则这批书共有（4x+9）本，
依题意，得 ，
解得： ，
又∵x为正整数，
∴x＝7，
∴4x+9＝37．
故答案为：37．
15．（2019·浙江台州市·七年级期末）甲种蔬菜保鲜的适宜温度（单位：℃）是 ，乙种蔬菜保鲜
的适宜温度是 ，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：℃）的范围是
______．【答案】
【详解】
解：因为甲种蔬菜保鲜的适宜温度是 ，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是 ，
所以将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，保鲜的适宜温度范围是 ．
故答案为： ．
16．（2020·吉林延边朝鲜族自治州·七年级期末）把m 个练习本分给n 个学生，如果每人分3本，那么余
80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n的值为________.
【答案】41或42
【详解】
由题意可得m=3n+80， 0<m-5(n-1)<5，
解得40<n<42.5，
因为n为整数，所以n值为41或42，
故答案为：41或42 ．
17．（2019·义乌市稠州中学教育集团八年级月考）按如下程序进行运算：
并规定，程序运行到“结果是否大于49”为一次运算，且运算进行3次才停止，则可输入的整数 的个数
是______个．
【答案】6
【详解】
解：根据题意得：第一次：2x-1，
第二次：2（2x-1）-1=4x-3，
第三次：2（4x-3）-1=8x-7，
根据题意得： ，
解得：7＜x≤13．
则x的整数值是：8，9，10，11，12，13．
共有6个．
故答案为：6．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题12分，满分62分）
18．（2021·山东泰安市·八年级期末）（1）解不等式 ，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组 ，并写出它的整数解．（3）解不等式组： ．
【答案】（1）x＜2；（2）0，1，2，3；（3）x＜-2
【详解】
解：（1）移项得，4x-2x＜1+3，
合并同类项得，2x＜4，
系数化为1得，x＜2．
在数轴上表示为：
．
（2） ，
解①得：x＞-1，
解②得：x≤3，
故不等式的解集为：-1＜x≤3，
其的整数解为0，1，2，3；
（3） ，
解①得：x＜ ，
解②得：x＜-2，
故不等式的解集为：x＜-2．
19．（2020·江西赣州市·九年级）解关于x的不等式组 ，x仅有2个正整数解，求a的取值范围．
【答案】
【详解】
解：解不等式组 ，
得
∵x仅有2个正整数解，
∴ ，∴ ．
20．（2020·浙江八年级期末）学校为激励更多班级积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖
把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的班级．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把
拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不
超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】（1）拖把每把20元，扫帚每把10元；（2）有3种购买方案，①买拖把67把，扫帚133把；②
买拖把68把，扫帚132把；③买拖把69把，扫帚131把；选择方案①最省钱
【详解】
解：（1）设拖把每把x元，扫帚每把y元．
则 ，解得： ，
答：拖把每把20元，扫帚每把10元．
（2）购买拖把 把，则扫帚（200- ）把．
则 ，解得： ≤a≤69，
∵ 为整数，
∴ =67，68，69，
∴有3种购买方案，①买拖把67把，扫帚133把；②买拖把68把，扫帚132把；③买拖把69把，扫帚
131把．
当a=67时，共花费67×20+133×10=2670元；
当a=68时，共花费68×20+132×10=2680元；
当a=69时，共花费69×20+131×10=2690元；
∵2670＜2680＜2690，
∴选择方案①买拖把67把，扫帚133把最省钱．
21．（2020·福建莆田市·七年级期末）已知关于x、y的方程组 的解满足 ，
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式 的解集为 ？
【答案】（1） ；（2）3
【详解】
解：解方程组 ，①+②得：2x=4m+2，
解得：x=2m+1，代入①，
解得：y=m-3，
∴方程组的解为： ，
∵x≥0，y＜1，
∴ ，
解得： ；
（2）∵（2-m）x＞2-m的解集为x＜1，
∴2-m＜0，
∴m＞2，
又∵m＜4，m是整数，
∴m=3．
22．（2021·安徽滁州市·八年级期末）某校运动会需购买 两种奖品， 单价是 元/件， 单价是
元/件，已知购买 种奖品 （件）与购买 奖品 件）之间的函数关系如图所示．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）学校计划购买 两种奖品的总费用不超过 元，且 种奖品的数量不大于 种奖品数量的 倍．
设购买 两种奖品的总费用为 元，请你设计购买 两种奖品的方案，怎样购买才能使费用最少，
的最小值是多少？
【答案】（1） ；（2）购买 种奖品 件， 种奖品 件，能使总费用最少为 元
【详解】
解：设 ，
则解得：
；
解：由题意得
解得：
，
，
随 的增大而减小，
时， ，
当 时， ；
即应购买 种奖品 件， 种奖品 件，才能使总费用最少为 元．
23．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）学校计划利用一片空地建造一个矩形的学生自行车棚（不考虑
门），其中一面靠墙，这堵墙的长度为7.9米，计划建造车棚的面积为12平方米．现有可造车棚的建造材
料总长为11米．
（1）给出一种设计方案；
（2）若矩形车棚的长、宽都要求为整数（单位：米），一共有几种方案？
（3）若要使所有建造材料恰好用完，应怎么设计？
【答案】（1）长为4米，宽为3米；（2）三种，宽为2m，长为6m；宽为3m，长为4m；宽为4m时，长
为3m；（3）长为3米，宽为4米
【详解】
（1）∵长 宽=12平方米，
∴当长为4米，宽为3米时，满足题意；
（2）设矩形的长为y米，宽为x米，根据题意得：
，
∵矩形的长、宽都是整数米，
∴x=2，y=6或x=3，y=4或x=4，y=3，
∴一共有3种方案：
宽为2m时，长为6m，
宽为3m时，长为4m，宽为4m时，长为3m；
（3）∵要使11m长的建造材料恰好用完，则2x+y=11，
由（2）得：x=4，y=3时，2x+y=11，
∴要使11m长的建造材料恰好用完，应使宽为4m，长为3m．
24．（2021·江苏无锡市·八年级期末）某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液
300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之
和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W
元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【答案】（1）每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；（2）W＝﹣5m+15000，W的最小值是
11250．
【详解】
解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，
解得 ，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大
于口罩包数的3倍，
∴ ，
解得700≤m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
25．（2021·江西赣州市·八年级期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设 ，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， 为第1根小棒．数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：______；（填“能”或“不能”）
（2）若 ，则 ______度；
活动二：
如图乙所示，从点 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 为第1根小棒，且 ．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则 ______， ______， ______（用含 的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求 的范围．
【答案】（1）能；（2） ；（3） ； ； ；（4）
【详解】
（1）∵角的两边为两条射线，没有长度限制，
∴小棒可以无限摆下去；
（2）∵ ， ，
∴ 为等腰三角形， ，
∴ ；
（3）∵ ，,
∴ ，
∴ ，∴ ；
（4）∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
∴
解得， ．
