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专题 04 一元一次不等式
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重难突破
知识点一 一元一次不等式的解法
1、一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的不等式，叫做一元
一
次不等式．一般形式 （ ）．
注意：
一元一次不等式应满足三个条件，缺一不可：
①左右两边都是整式；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是1．
2、一元一次不等式的解法
基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
注意：在去分母或系数化为1时，若不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．
典例1
（2021•宁波模拟）不等式 的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式 ，
解得： ．
表示在数轴上为：
故选： ．
典例2
（2020春•宝安区校级月考）解不等式并把解集表示在数轴上：
（1） ，
（2）
【解答】解：（1） ，
，
，
，
（2） ，
，，
，
典例3
若关于 的不等式 的正整数解只有4个，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
而关于 的不等式 的正整数解只有4个，
不等式 的4个正整数解只能为1、2、3、4，
，
．
故选： ．
知识点二 一元一次不等式实际应用
列不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式。列不
等式解决实际问题的一般步骤如下：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题目中的不等关系，要抓住题目中的关键词，
如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多”等词语；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）列：根据题目中的不等关系列出不等式；
（4）解：解出所列不等式的解集；
（5）检：检验答案是否符合题意．
（6）答：写出答案．
典例1
（2021春•福田区校级期中）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，
小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对 道题，根据题意得A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选： ．
典例2
（2021春•龙华区期中）某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但
要保证利润率不低于 ，则至多可以打 折．
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【解答】解：设打 折，根据题意可得：
，
解得： ，
故至多可以打7折．
故选： ．
知识点三 一元一次不等式与一次函数
1、一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数 依据 解集 依据 解集
与一元一
x轴上方点的纵坐标 一次函数 的图象在 x轴下方点的纵 一次函数
次不等会
x轴上方的部分对应的自变量 坐标 的图
的关系
x的取值范围 象在x轴下方的
部分对应的自变
量x的取值范围
图示2、利用一次函数的图象解一元一次不等式 （或 ）
对于求形如 （或 ）的不等式的解集，可以将它们看作求一次函数
和 的同一直角坐标系内，相应的函数值 （或 ）而得到的相应的自
变量x的取值范围.
典例1
（2020春•茌平县期末）如图是一次函数 与 的图象，则不等式 的解集是
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，一次函数 与 的交点横坐标是3，则不等式 的解集
是 ．
故选： ．典例2
（2020•龙岗区校级模拟）已知一次函数 的图象经过点 与 ，则不等式 的解
集是
A． B． C． D．
【解答】解： 一次函数 的图象经过点 与 ，
不等式 的解集为 ．
故选： ．
典例3
（2020秋•罗湖区校级期中）一次函数 与 的图象如图所示，则以下结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤当 时： ．正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 一次函数 的图象经过第一、三象限，
，所以①正确；
一次函数 的图象与 轴的交点在 轴的负半轴上，
，所以②错误；
一次函数 的图象经过第二、四象限，
，所以③错误；
一次函数 的图象与 轴的交点在 轴的正半轴上，
，所以④正确；时， ，
当 时： ．所以⑤正确．
故选： ．
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2021春•南海区校级月考）下列不等式中是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【解答】解：是一元一次不等式的有 ．
故选： ．
2．（2021•南海区二模）下列四个不等式的解集在数轴上表示如图所示的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，解得： ，不合题意；
、 ，解得： ，符合题意；
、 ，解得： ，不合题意；
、 ，解得： ，不合题意．
故选： ．
3．（2020•顺德区模拟）不等式 的非负整数解的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：
是非负整数，
，1，2，3故选： ．
4．（2019秋•临泉县期末）如图，若一次函数 的图象与两坐标轴分别交于 ， 两点，点 的
坐标为 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解： 一次函数 的图象过 ，
，
函数解析式为 ，
当 时， ，
， ，
不等式 的解集为 ，
故选： ．
5．（2020秋•兴化市期末）如图，已知直线 过点 ，过点 的直线 交 轴于点
，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：当 时， ；当 时， ，
所以不等式 的解集为 ．故选： ．
6．（2020•西湖区二模）一次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小聪有
一道题没答，竞赛成绩超过80分，设小聪答错了 道题，则
A． B．
C． D．
【解答】解：设小聪答错了 道题，则答对了 道题，
依题意得： ．
故选： ．
二、填空题（共5小题）
7．（2021春•三水区校级期中）不等式 的负整数解为 ．
【解答】解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
所以不等式的负整数解是 ， ，
故答案为： ， ．
8．（2021春•龙岗区期中）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，点 的横坐标为1，则
关于 的不等式 的解集是 ．
【解答】解：由图知：当直线 的图象在直线 的上方时，不等式 成立；
由于两直线的交点横坐标为： ，
观察图象可知，当 时， ，即不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
9．（2019春•龙岗区期中）不等式 的正整数解为 ．
【解答】解：由不等式 ，得 ，
则不等式 的正整数解为：1，2，故答案为：1，2．
10．（2021春•罗湖区期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 含量及购买
这两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素 含量（单位 千克） 600 100
原料价格（元 千克） 8 4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素 ，若所需甲种原料的质量为 千克，则 应
满足的不等式为 ．
【解答】解：若所需甲种原料的质量为 ，则需乙种原料 ．
根据题意，得 ．
故答案为： ．
11．（2020春•宝安区校级月考）对于任意实数 、 ，定义一种运算： ※ ．例如，2※
．请根据上述的定义解决问题：若不等式1※ ，则不等式的非负整数解是
．
【解答】解：根据题意，得： ，
，
解得 ，
所以不等式的非负整数解为0、1、2，
故答案为：0、1、2．
三、解答题（共2小题）
12．（2019•淄博）解不等式 ．
【解答】解：
去分母得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
解得 ．
13．（2021•宝安区模拟）国际红十字会购进进了一批单向呼吸机和双向呼吸机共 35台捐赠给巴西以应对
疫情，其中单向呼吸机一共花费12万元，双向呼吸机一共花费18万，且一台双向呼吸机的价格是一台单向呼吸机价格的2倍．
（1）求两种呼吸机每台价格各是多少万元？
（2）由于巴西疫情严重，国际红十字会计划再购进这两种呼吸机共100台，且单向呼吸机的数量不超过双
向呼吸机数量的3倍，如何购买才能使所需的资金最少？
【解答】解：（1）设单向呼吸机每台 万元，双向呼吸机每台 万元，
则有 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根， ，
答：单向呼吸机每台0.6万元，双向呼吸机每台1.2万元；
（2）设购进单向呼吸机呼吸机 台，购买总资金 万元，
依题意有 ，
解得 ，
，
，
随着 的增大而减小，
当 时， 有最小值为75，此时 ，
所以应购买单向呼吸机75台，双向呼吸机25台．
