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专题04 一元二次方程（难点）
一、单选题
1．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
2．已知一元二次方程 ，若方程有解，则必须（ ）
A．n=0 B． n=0或mn异号
C．n是m的整数倍 D．mn异号
3．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
4．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A．x 、 = B．x 、 =
1 2 1 2
C．x 、 = D．x 、 =
1 2 1 2
5．下面结论错误的是（ ）
A．方程 ，则 ，
B．方程 有实根，则
C．方程 可配方得
D．方程 两根 ，
6．关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（ ）
A．当a＝ 时，方程的两根互为相反数
B．当a＝0时，方程的根是x＝﹣1
1C．若方程有实数根，则a≠0且a≤
D．若方程有实数根，则a≤
7．空地上有一段长为a米的旧墙 ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总
长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则有一种围法
B．若 ，则有一种围法
C．若 ，则有两种围法
D．若 ，则有一种围法
8．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x，x，则x2+3x+xx+1的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．10 B．9 C．8 D．7
9．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
10．两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常数，且 ，如果
是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020 D．
11．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
212．已知平行四边形 的面积为12，且 的长是方程 的两个根．过点
A作直线 的垂线交 于点E，过点A作直线 的垂线交 于点F，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
二、填空题
13．已知a，b是方程 的两个根，则 的值 ．
14．已知m是方程式 的根，则式子 的值为 ．
15．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实
数根，则a+b+c的值为 ．
16．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程 的两个根为 ，
则 ．
17．对于实数a，b，定义运算“*”： ，例如：4*2，因为 ，所以
，若 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 ．
18．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②
若两个根为x，x，且x＞x，则x＞3，x＜3；③若两个根为x，x，则（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
（x﹣3）；④若x＝ （p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正
2
确的结论是 ．
19．如图，正方形 放在平面直角坐标系中，其中点 为坐标原点， 、 两点分别在 轴
3的负半轴和 轴的正半轴上，点 的坐标为 ．已知点 、点 分别从点 、 同时出
发，点 以每秒 个单位长度的速度在线段 上来回运动．点 沿 方向，以每秒
个单位长度的速度向点 运动，当点 到达点 时， 、 两点都停止运动．在 、
的运动过程中，存在某个时刻，使得 的面积为 ．则点 的坐标为 ．
20．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程
的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，即
，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程
三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是
（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
21．（1）用配方法解方程：
（2）解关于x的方程：
22．关于x的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金
分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优
4选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足： ，且 ，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足： ，求 的值．
23．为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“五一”小长假期间，各地游客纷纷来到重庆歌乐山烈士陵
园瞻仰革命遗址．据统计，重庆歌乐山烈士陵园4月30日接待游客1.2万人次，5月2日接待游客2.7万人
次．
（1）求今年4月30日到5月2日，重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率；
（2）由于暴雨天气，重庆歌乐山烈士陵园5月3日接待游客人次比5月2日减少了 ，5月4日天气放晴，
接待游客人次比5月3日增加了6a%，又因假期即将结束，5月5日接待游客人次比5月4日减少了
a%，即使这样，5月5日接待游客人次还是比4月30日增加了50%，求a的值．
24．阅读材料．材料：若一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数 ， 分别满足 ， ，且 ，求 的值．
25．已知关于x的方程 ．
求证：不论 为何实数时，方程 有固定的自然数解，并求这自然
数；
设方程另外的两个根为 、 ，求 、 的关系式；
若方程 的三个根均为自然数，求 的值．
26．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果一个多项式
不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，
5使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看
似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
；
例如：求代数式 的最小值为 ．可
知当 时， 有最小值，最小值是 ，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ______；
(2)当a为何值时，多项式 有最大值，并求出这个最大值；
(3)当a，b为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小值．
27．著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现．”我
们向伟人看齐，将这种勤思善学、励能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜．
【提出问题】
我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的
根与新方程的根是否也会产生某种联系？
【构造关系】
将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照 的比例放大或缩小，其中 ，我们称新
方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为 ．
(1)当系变倍数为3时，求解一元二次方程 的“系变方程”．
【自能探究】
(2)已知某一元二次方程有两个实数根 、 ，当 时，其“系变方程”也有两个实数根 、 ，且
，求 的最小值．
(3)已知关于 的方程 有四个实数根 、 、 、 ，问是否存在
6定值 ，对于任意实数 ，都满足 ，若存在，请求出 的值．若不存在，请说明理由．
28．如图①，在 中， 于D， ，点E是 上一动点（不与点A，D
重合），在 内作矩形 ，点F在 上，点G、H在 上，设 ，连接 ．
(1)设矩形 的面积为 ， 的面积为 ，令 ，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变
量的取值范围）
(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为 ，当 为等腰三角形时，
求点M的坐标．
29．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出
来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵
其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、
2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
7(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，
可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新
三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为 的4倍，且 ，求 的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一
个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中 为9个数中
的最大数，且满足 求P及 的值．
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