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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 06 一次函数的图像
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022八上·西湖期末）已知一次函数 的图象经过点A，且y随x的增大而减小，
则点A的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：∵一次函数y＝kx＋1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0.
A、∵当x＝−2，y＝0时，−2k＋1＝0，解得k＝ ＞0，∴此点不符合题意；
B、∵当x＝2，y＝0时，2k＋1＝0，解得k＝− ＜0，∴此点符合题意；
C、∵当x＝－1，y＝0时，－k＋1＝0，解得k＝1＞0，∴此点不符合题意；
D、∵当x＝1，y＝2时，k＋1＝2，解得k＝1＞0，∴此点不符合题意.
故答案为：B.
【思路引导】根据一次函数的性质结合题意可得k<0，然后将各个点的坐标代入一次函数解析式中求出k
的值，据此判断.
2．（2分）（2021八上·河南期末）如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B
为圆心、 长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：当x=0时， ，点B的坐标为（0，-1）；当y=0时， ，解得， ，
点A的坐标为（2，0）；
即 ， ， ；
以点B为圆心、 长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，
故 ，则 ，
点C的坐标为 ；
故答案为：C.
【思路引导】 分别令x=0与y=0代入一次函数解析式求出对应的函数值y与自变量的值x，从而即可得
A、B坐标，从而利用勾股定理算出AB的长，然后根据同圆的半径相等得出BC=AB，进而即可解决问题.
3．（2分）（2021八上·包河期末）关于一次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（2，0） B．图象经过第三象限
C．函数y随自变量x的增大而减小 D．当x≥2时，y≤0
【答案】B
【完整解答】解：当 时， ，
∴图象经过点（2，0），故A不符合题意；
∵ ，
∴图象经过第一、二、四象限，故B符合题意；
∴函数y随自变量x的增大而减小，故C不符合题意；当 时， ，
∴当x≥2时，y≤0，故D不符合题意；
故答案为：B
【思路引导】根据 一次函数 ， 求解即可。
4．（2分）（2021八上·深圳期末）如图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与
乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：
公交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏；根据这两
种意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（ ）
A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元
B．图②能反映公交公司意见
C．图③能反映乘客意见
D．图②中当乘客量为1.5万时公交公司收支平衡
【答案】D
【完整解答】解：A、图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元，表达合理，该选项不
符合题意；
B、图②能反映公交公司意见，表达合理，该选项不符合题意；
C、图③能反映乘客意见，表达合理，该选项不符合题意；
D、图②中实线表示提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，表达不合理，该选项符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】根据图②中提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，判断D选项错误即可。
5．（2分）（2021八上·长丰期末）若y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B
（-1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【完整解答】解：∵y=（m-1）x+m2-1是y关于x的正比例函数，
∴m2-1=0，m-1≠0，
解得：m=-1，
∴m-1=-1-1=-2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵A（1，a）和B（-1，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图象上，且1＞-1，
∴a＜b．
故答案为：A．
【思路引导】利用正比例函数的定义可求出m的值，进而可得出m-1=-1-1=-2＜0，利用正比例函数的性质，
可得出y随x的增大而减小，结合1＞-1，即可得出答案。
6．（2分）（2021八上·枣庄月考）小明同学利用周末从家里出发骑自行车到某小区参加志愿服务活动、
活动结束后原路返回家中，他离家的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象如图中折线
所示，若 ，小明返回时骑行的平均速度是前往某小区时的平均速度的
，根据图中数据，下列结论中，正确的结论的是（ ）
①某小区离小明家12千米；②小明前往某小区时，中途休息了0.25小时；
③小明前往某小区时的平均速度是16千米/小时；
④小明在某小区志愿服务的时间为1小时；⑤a的值为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C
【完整解答】解：由 的纵坐标为12，可得某小区离小明家12千米；故①符合题意；
，则小明前往某小区时，中途休息了0.25小时，故②符合题意；
由小明前 小时的平均速度为： 千米/小时，
所以小明后段的速度与前段的速度相等，
所以后段的时间为： 小时，
小明前往某小区时的平均速度为： 千米/小时，故③不符合题意；
所以小明在某小区志愿服务的时间为1小时，故④符合题意；
返程时的速度为： 千米/小时，
返程用的时间为： 小时，
小时，故⑤符合题意；
综上：正确的有：①②④⑤，
故答案为：C
【思路引导】根据图象直接判断①②④；用小明前往某小区的路程除以时间即可求出平均速度，可以判断
③；求出返程的速度，然后用路程除以速度即得返回时间，再加上2即可判断⑤。
7．（2分）（2021八上·永安期末）如图，直线 a⊥b ，在某平面直角坐标系中，x轴 ，y轴 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，则坐标原点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：设过A、B的直线解析式为y=kx+b，
∵点A的坐标为（-3，2），点B的坐标为（2，-3），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB为 ，
∴直线AB经过第二、三、四象限，
如图，由A、B的坐标可知，沿CD方向为x轴正方向，沿CE方向为y轴正方向，
故将点A沿着CD方向平移3个单位，再沿着EC方向平移2个单位，即可到达原点位置，将点B沿着CE方
向平移3个单位，再沿着DC方向平移2个单位，即可到达原点位置，
则原点为点O.
3
故答案为：C.【思路引导】利用点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， 求出直线AB为 ，经过
第二、三、四象限，再估计坐标轴和原点位置即可.
8．（2分）（2020八上·淳安期中）若点 、 是一次函数 图象上不
同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：
，
∵ ,
∴a+1>0,
∴a>-1.
故答案为：D.
【思路引导】把 代入原式，化简再分解因式，根据 ,得出a+1>0, 从而求出
a的取值范围.
9．（2分）（2020八上·包河期中）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相
遇时甲、乙所走路程的比为 ，甲、乙两车离AB中点C的路程 千米 与甲车出发时间 时
的关系图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A．A，B两地之间的距离为180千米
B．乙车的速度为36千米 时
C．a的值为
D．当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米
【答案】D
【完整解答】解：A、A、B两地之间的距离为18×2÷ ＝180（千米），所以A不符合题
意；
B、乙车的速度为180 ÷3＝36（千米/小时），所以B不符合题意；
C、甲车的速度为180 =24（千米/小时），
a的值为180÷2÷24＝3.75，所以C不符合题意；
D、乙车到达终点的时间为180÷36＝5（小时），
甲车行驶5小时的路程为24×5＝120（千米），
当乙车到达终点时，甲车距离终点距离为180﹣120＝60（千米），所以D符合题意．
故答案为：D
【思路引导】根据两车相遇时甲、乙所走路程的比为2：3及两车相遇所用时间，即可求出A、B两地之间
的距离；根据乙车的速度＝相遇时乙车行驶的路程÷两车相遇所用时间，进而求出乙车的速度；根据甲车
的速度＝相遇时甲车行驶的路程÷两车相遇所用时间即可求出甲车的速度，然后根据时间＝两地之间路程
的一半÷甲车的速度，进而求出a值；根据时间＝两地之间路程÷乙车的速度求出乙车到达终点所用时间，
再求出该时间内甲车行驶的路程，用两地间的距离与甲车行驶的路程之差即可得出结论．
10．（2分）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速
行驶至乙地，货车行驶的路程y(km)，小轿车行驶的路程y(km)与时间x(h)的对应关系如图所示，下列结
1 2论错误的是( )
A．甲、乙两地相距420km B．y＝60x，y＝
1 2
C．货车出发4.5h与小轿车首次相遇 D．两车首次相遇时距乙地150km
【答案】B
【完整解答】解：⑴由图可知，甲、乙两地相距420km，故选项A正确；
⑵①y=60x（0≤x≤7）；
1
②当x=5.75时，y=60×5.75=345，
1
x≥5时，设y=kx+b，
2
∵y 的图象经过（5.75，345），（6.5，420），
2
{5.75k+b=345
∴ , ，
6.5k+b=420
{ k=100
解得： , ，
b=−230
∴x≥5时，y=100x-230；
2
当x=5时，y=100×5-230=270，
∴小车速度是90km/h，即当x<3时，y=90x
2
当3时，y=270
2
{ 90x
故y 270 , ，故选项B错误;
2=
100x−230
⑶x=5时，y=100×5-230=270，即小轿车在3≤x≤5停车休整，离甲地270km，
当x=3时，y=180；x=5时，y=300，
1 1
∴火车在3≤x≤5时，会与小轿车相遇，
即270=60x，x=4.5；
当0＜x≤3时，小轿车的速度为270÷3=90km/h，
而货车速度为60km/h，
故货车在0＜x≤3时，不会与小轿车相遇，∴货车出发4.5小时后首次与小轿车相遇，距离甲地270km，距乙地150km．故选项C，D正确.
故答案为：B.
【思路引导】根据题意，货车匀速行驶，可求出其运动的函数解析式；小轿车的运动，分三个阶段，所以
可以求得其函数解析式也为3段，所以选项错误；其余三项，通过读题目中的图象，即可得出正确答案。
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·南京期末）已知一次函数 （k、b是常数， ）的图象与x轴
交于点 ，与y轴交于点 .若 ，则k的取值范围为 .
【答案】
【完整解答】解：∵一次函数 y=kx+b （ k、b 是常数， k≠0 ）的图象与x轴交于点 (2，0) ，与y轴
交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 .
故答案为： .
【思路引导】将已知两个点的坐标分别代入函数解析式，可得到m=-2k，再根据m的取值范围，可求出k
的取值范围.
12．（2分）（2021八上·句容期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，若点A关
于x轴的对称点B在直线y=-x+1上，则m的值为 .【答案】2
【完整解答】解：∵点A（3，m），
∴点A关于x轴的对称点B（3，-m），
∵B在直线y=-x+1上，
∴-m=-3+1=-2，
∴m=2.
故答案为：2.
【思路引导】首先根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数求出点B的坐标，然后将点B
的坐标代入y=-x+1中进行计算就可求出m的值.
13．（2分）（2021八上·本溪期末）若点 在直线 上，且m，n都是正整数，则点P
坐标是 ．
【答案】
【完整解答】解：直线 图象如下：当 时， ，点 ，满足条件，
当 时， ，不符合题意，
故答案为： ．
【思路引导】根据要求结合函数解析式求解即可。
14．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交
于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 ．
【答案】(﹣ ，2)
【完整解答】∵直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝ ＝ ，∴点C的坐标为(﹣ ，2)．
故答案为(﹣ ，2)．
【思路引导】利用y＝﹣ x+4求出点A(3，0)，点B(0，4)．过点C作CE⊥y轴于点E，可得OC＝OA=3，
OE＝ OB=2，利用勾股定理求出CE的长，即得点C坐标.
15．（2分）（2021八上·南京期末）已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图
象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是 .
【答案】 或
【完整解答】解：如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴ ＝k，
∴k≥ 满足题意；
当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【思路引导】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的
定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性
质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B
与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可
推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得
△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
16．（2分）（2021八上·平阴期末）如图放置的△OAB，△BAB，OBAB 都是边长为2的等边三角形，
1 1 1 2 2 2 3
边0A在y轴上，点B，B，B，……都在直线y＝ x上，则点A 的坐标是
1 2 3 2022【答案】（ ，2024）
【完整解答】解：由题意知OB =2×2022=4044，
2022
设B （x， ），
2022
则x2+（ ）2=40442，
解得x= ，
∴B （ ，2022），
2022
∴A （ ，2024），
2022
故答案为：（ ，2024）．
【思路引导】先求出OB 的长度，由于点B 在直线y＝ x上，可设B （x， ），根据勾股定
2022 2022 2022
理建立关于x方程并解之，即得点B 的坐标，再根据B 和A 的关系即可求出结论.
2022 2022 2022
17．（2分）（2021八上·枣庄月考）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，
和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时
间，y 表示乌龟所行的路程，y 表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000
1 2
米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是
．（把你认为正确说法的序号都填上）【答案】①②
【完整解答】由图像可得，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，
故①符合题意；
由图像可得，乌龟在60分的时候到达终点，兔子在50分的时候到达终点，
∴兔子先到达终点，
故②符合题意；
由图像可得，乌龟0分的时候出发，兔子40分的时候出发，
∴兔子比乌龟晚出发40分钟，
∴③不符合题意；
设y=kx+b（k≠0）（40≤x≤60）．
1 1 1
根据图示知，该直线经过点（40，600），（60，1000），
则 ，
解得 ，
所以该函数解析式为y=20x-200（40≤x≤60），
1
同理，y=100x-4000（40≤x≤50），
2
当y=y 时，兔子追上乌龟，
1 2
此时20x-200=100x-4000，
解得：x=47.5，
∴y=y=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟．
1 2
故④不符合题意．
∴正确的说法是①②．
故答案为：①②．【思路引导】根据函数图象中的数据，可以直接判断出①②③，再根据函数图象中的数据，可以分别求出
得当40≤x≤60时，y 与x的函数关系式和当40≤x≤50时，y 与x的函数关系式，然后理工它们的函数值
1 2
相等，即可得到兔子在多少米处追上乌龟，从而可以判断④。
18．（2分）（2020八上·义乌月考）设直线 ： 和直线 ： （
是正整数）及 轴围成的三角形面积是 ，当 时，直线 ： 和直线 ：
，这两条直线与 轴围成的面积记为 ，则 .
【答案】
【完整解答】解：联立
解得：
∴直线 ： 和直线 ： 的交点为（-1，-1）
将y=0代入 中，解得：
∴直线 与x轴的交点为（ ，0）
将y=0代入 中，解得：
∴直线 与x轴的交点为（ ，0）∴
∴ ＋ ＋ ＋……＋
=
=
=
故答案为： .
【思路引导】分别求出直线 与直线 的交点为（-1，-1），再求出直线 与直线 的与x轴的交
点坐标，根据三角形的面积公式可得 ，然后分别代入计
算即可.
19．（2分）（2020八上·亳州月考）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相
遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离AB中点C的路程y（千米）与甲车出发时间t（时）的关系图象如图所示，则下列说法：
（1）A、B两地之间的距离为180千米 （2）乙车的速度为36千米/时（3）a的值为3.75 （4）当乙车到
达终点时，甲车距离终点还有30千米；
其中正确的说法是 （把正确答案的序号全部写出来）．
【答案】①②③
【完整解答】由图象可得，A、B两地之间的距离为为18×2×5＝36×5＝180（千米），①符合题意；
乙车的速度为：（180÷2＋18）÷3＝（90＋18）÷3＝108÷3＝36（千米/时），②符合题意；
甲车的速度为：（180÷2−18）÷3＝（90−18）÷3＝72÷3＝24（千米/时），a＝180÷2÷24＝90÷24＝
3.75，③符合题意；
当乙车到达终点时，甲车距离终点还有180−180÷36×24＝180−5×24＝180−120＝60（千米），故④不符
合题意；
故答案为：①②③．
【思路引导】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题。
20．（2分）（2017八上·西安期末）如图，长方形 的顶点 的坐标为 ，动点 从
原点 出发，以每秒 个单位的速度沿折线 运动，到点 时停止，同时，动点 从
点 出发，以每秒 个单位的速度在线段 上运动，当一个点停止时，另一个点也随之停止．在
运动过程中，当线段 恰好经过点 时，运动时间 的值是 ．【答案】2或5
【完整解答】设直线 的方程为 ．
∵矩形 的顶点 的坐标为 ，
∴ ， ．
①当点 在线段 上，即 时，
如图，
、 ．
∵直线 经过点 ，
∴ ．解得 ．
②当点 在线段 上，即 时，
如图， 、 ．
∵直线 经过点 ，∴ ，方程组无解．
③当直线 轴时，即 时，该直线 也经过点 ，此时 ，
综上所述， 的值是 或 ．
【思路引导】设直线PQ的方程为y=kx+b（k≠0），根据点B的坐标及矩形的性质，可求出OA、OC的长，
再分类讨论：当点P在线段OA上运动；点P在线段AB上运动时；③当直线 P Q ⊥ x 轴时，然后把点P、
Q、M的坐标分别代入函数解析式，通过方程组来求t的值。
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·印台期末）直线 沿着 轴向上平移 个单位后，经过点
和 轴正半轴上的一点 ，若 （ 为坐标原点）的面积为 ，求 的值.
【答案】解：直线y=kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，得到y=kx+b+1，
∵直线y=kx+b+1经过点A（-2，0）和y轴正半轴上的一点B，
∴B（0，b+1），
∵△ABO的面积是： ×2×（b+1）=4，
解得b=3.
【思路引导】由直线y=kx+b+1经过点A（-2，0）和y轴正半轴上的一点B，可得B点的坐标，根据三角形
面积公式即可得出答案.
22．（5分）（2020八上·普宁期中）如图，已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作
AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．求正比例函数的表达式．【答案】解：∵AH⊥x轴，点A的横坐标为3，
∴OH＝3，
∵△AOH的面积为3，
∴ AH•OH＝3，
∴AH＝2，
∵点A在第四象限，
∴点A的坐标为（3，﹣2）．
将A（3，﹣2）代入y＝kx，
得﹣2＝3k，解得：k＝ ，
∴正比例函数的表达式为y＝ x．
【思路引导】利用三角形的面积公式求出 AH＝2， 再求出 点A的坐标为（3，﹣2） ，最后利用待定系数
法求函数解析式即可。
23．（5分）（2019八上·嘉定期中）已知直线 过点 ， A是直线 图像上的点，
若过A向x轴作垂线，垂足为B，且 ，求点A的坐标.
【答案】解：已知直线 过点
∴
∴
∴直线
设点A的坐标为 ，点B的坐标为∴
∴
∴A的坐标为
【思路引导】根据待定系数法，可得函数解析式，根据三角形的面积公式可得方程，解方程，可得点A的
坐标．
24．（5分）（2019八上·利辛月考）已知正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图象都经过点A(2，4)，
且一次函数的图象与x轴正半轴相交于点B，S =8，求正比例函数和一次函数的表达式。
△AOB
【答案】解：将点A(2，4)代入y=kx，得k=2，
则正比例函数的表达式为y=2x．(3分)
设点B的坐标为(m，0)，由题意得S = ×4m=8，解得m=4，
△AOB
∴点B的坐标为(4，0)．
将点A(2，4)，点B(4，0)代入一次函数y=ax+b得，
，解得 ， 故一次函数的表达式为y=-2x+8．
【思路引导】根据点A的坐标即可得到正比例函数的解析式，可以设B点的坐标，根据三角形的面积计算
得到B点的坐标，将点的坐标代入一次函数中，即可得到答案。
25．（15分）如图，一次函数y=ax+b的图像与正比例函数y=kx的图像交于点M，
（1）（5分）求正比例函数和一次函数的解析式；
（2）（5分）根据图像写出使正比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）（5分）求ΔMOP的面积。
【答案】（1）解：∵y=ax+b经过(1，0)和(0，-2)∴
解得：k=2，b=-2
一次函数表达式为：y=2x-2
∵点M在该一次函数上，
∴m=2 2-2=2
∴M点坐标为（2，2）
又∵M在函数 y=kx上，
∴ k= = =1
∴正比例函数为y=x.
（2）解：由图像可知，当x=2时，一次函数与正比例函数相交；x<2时，正比例函数图象在一次函数上方，
故：x<2时，x>2x-2
（3）解：作MN垂直X轴，易知MN＝2.
故S ＝ 1 2＝1.
ΔMOP
【思路引导】（1）将点(1，0)和(0，-2)代入一次函数y=ax+b解析式求得a、b，确定一次函数解析式。
再确定点M坐标，通过M坐标求得过点M的正比例函数的解析式。
（2）数形结合，由图像可知，正比例函数的值大于一次函数的值所对应部分应为点M左侧部分。再写出对
应x的取值范围。
（3）作MN垂直X轴，根据三角形面积公式易得。
26．（7分）（2021八上·榆林期末）王亮家距离李刚家6.5千米，星期天王亮骑车去李刚家玩，中途自
行车突然“爆胎”，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他加快速度骑车到李刚家.王亮的行驶
路程 （千米）与所用时间 （分钟）之间的函数图象如图所示：（1）（3分）求王亮加速后行驶路程s（千米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系式；
（2）（4分）求当王亮距离李刚家1.5千米时，t的值.
【答案】（1）解：设王亮加速后行驶路程s（千米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系式；
函数过点（15，2）（30，6.5）代入得：
，
解得： ，
∴王亮加速后行驶路程s（千米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系式； ；
（2）解：当王亮距离李刚家1.5千米时 ，王亮已经行驶了6-1.5=5千米，
将s=5代入S=0.3t-2.5得5=0.3t-2.5，解得t=25.
答：当王亮距离李刚家1.5千米时，t的值为25.
【思路引导】（1）设s与t之间的函数关系式为：s=mt+n，将（15，2）、（30，6.5）代入可求出m、
n，据此可得s与t的关系式；
（2）当王亮距离李刚家1.5千米时 ，王亮已经行驶了6-1.5=5千米，将s=5代入（1）所求的函数解析式
即可算出t的值.
27．（11分）（2021八上·于洪期末）寒假将至，某健身俱乐部面向大中学生推出优惠活动，活动方案如
下：
方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生健身x（次），按照方案一所需费用为y（元），且y＝kx+b；按照方案二所需费用为y
1 1 1 2（元），且y＝kx．在平面直角坐标系中的函数图象如图所示．
2 2
（1）（2分）求k 和b的值，并说明它们的实际意义；
1
（2）（2分）求k 的值；
2
（3）（3分）八年级学生小华计划寒假前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明
理由．
（4）（4分）小华的同学小琳也计划在该俱乐部健身，若她准备300元的健身费用，最多可以健身多少
次？
【答案】（1）解：∵ 过点（0，30），（10，180），
∴ ，解得： ，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b=30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6=25（元），
则k=25×0.8=20；
2
（3）解：选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y=15x+30，y=20x．
1 2
当健身8次时， 选择方案一所需费用：y=15×8+30=150（元），
1
选择方案二所需费用：y=20×8=160（元），
2
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
（4）解：当 时，
解得：即小琳选择方案一时，可以健身18次，
当 时，则
解得：
即小琳选择方案二时，可以健身15次，
所以小琳最多健身18次.
【思路引导】（1）把点（0，30），（10，180），代入关于k 和b的二元一次方程组，求解即可；
1
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按
八折优惠，求出k 的值；
2
（3）把x=8分别带入到两个函数关系式可得出结论；
（4）把y=300分别带入到两个函数关系式可得出结论。
28．（7分）（2021八上·鼓楼期末）如图，已知 为正比例函数 的图象上一点，
轴，垂足为点B.
（1）（3分）求m的值；
（2）（4分）点P从O出发，以每秒 个单位的速度，沿射线 方向运动.设运动时间为 .
①过点P作 交直线 于点Q，若 ，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意
的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 为正比例函数 的图象上一点，∴当 时， ，
的值为 ；
（2）解：∵ ，
∴OA= ，
①若 ，则 ，
当点P在线段 上时，则 ，即 ，解得 ，
当点P在线段 的延长线上时，则 ，即 ，解得 ；
②当 为等腰三角形时，分三种情况讨论：
若 ，则点P在 的垂直平分线上，此时 ，即 ，求得 ，
若 ，则 ，即 ，求得 ，
若 ，过点B作BE⊥OA，如图所示，
∵ ，
∴BE= = =4.8，
∴OE= ，
∵OE=PE，
∴ ，即 ，求得 ，
综上可得：t的值为 或 或 .
【思路引导】（1）将点M的坐标的正比例函数解析式，可求出m的值.（2）利用点A的坐标，根据勾股定理求出OA的长；①利用全等三角形的性质，可知AP=AB=6，分情况讨
论：当点P在线段OA上时，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P在线段
OA的延长线上时，根据OP=OA+AP，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；②利
用△POB是等腰三角形，分情况讨论：当PO=PB时，可知点P在线段OB的垂直平分线上，可求出OP的长，
即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当OP=OB时，可知OP=8，可得到关于t的方程，解方程求出
t的值；当BP=PO时，过点B作BE⊥OA，利用三角形的面积公式可求出BE的长，利用勾股定理求出OE的
长，根据OE=PE建立关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
